2022年浙江省高考数学试卷和答案解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（　　）

A．{2}    B．{1，2}    C．{2，4，6}    D．{1，2，4，6}

2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（　　）

A．a＝1，b＝﹣3    B．a＝﹣1，b＝3    C．a＝﹣1，b＝﹣3    D．a＝1，b＝3

3．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最大值是（　　）

A．20    B．18    C．13    D．6

4．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　）

A．22π    B．8π    C．π    D．π

6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（　　）

A．向左平移个单位长度    

B．向右平移个单位长度    

C．向左平移个单位长度    

D．向右平移个单位长度

7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（　　）

A．25    B．5    C．    D．

8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（　　）

A．α≤β≤γ    B．β≤α≤γ    C．β≤γ≤α    D．α≤γ≤β

9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，a|x﹣b|+|x﹣4|﹣|2x﹣5|≥0，则（　　）

A．a≤1，b≥3    B．a≤1，b≤3    C．a≥1，b≥3    D．a≥1，b≤3

10．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an2（n∈N*），则（　　）

A．2＜100a100＜    B．＜100a100＜3    

C．3＜100a100＜    D．＜100a100＜4

二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。

11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝　   　．

12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝　   　，a1+a2+a3+a4+a5＝　   　．

13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝　   　，cos2β＝　   　．

14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝　   　；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是 　   　．

15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P（ξ＝2）＝　   　，E（ξ）＝　   　．

16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是 　   　．

17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则2+2+…+2的取值范围是 　   　．

三、参题：本大题共5小题，共74分。参应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a＝c，cosC＝．

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．

19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．

（Ⅰ）证明：FN⊥AD；

（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an}的前n项和为Sn（n∈N*）．

（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；

（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．

21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点，且点Q（0，）在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝﹣x+3于C，D两点．

（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；

（Ⅱ）求|CD|的最小值．

22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：

（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；

（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．

（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）

 参与解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【参】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，

∴A∪B＝{1，2，4，6}，

故选：D．

【解析】本题考查了并集及其运算，属于基础题．

2．【参】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，

∴a＝﹣1，b＝3，

故选：B．

【解析】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．

3．【参】解：实数x，y满足约束条件

则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，

由已知可得A（2，3），

由图可知：当直线3x+4y﹣z＝0过点A时，z取最大值，

则z＝3x+4y的最大值是3×2+4×3＝18，

故选：B．

【解析】本题考查了简单线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题．

4．【参】解：∵sin2x+cos2x＝1，

①当sinx＝1时，则cosx＝0，∴充分性成立，

②当cosx＝0时，则sinx＝±1，∴必要性不成立，

∴sinx＝1是cosx＝0的充分不必要条件，

故选：A．

【解析】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．

5．【参】解：由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，下部是圆台，

所以几何体的体积为：+π×12×2+＝π．

故选：C．

【解析】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．

6．【参】解：把y＝2sin（3x+）图象上所有的点向右平移个单位可得y＝2sin[3（x﹣）+]＝2sin3x的图象．

故选：D．

【解析】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．

7．【参】解：由2a＝5，log83＝b，

可得8b＝23b＝3，

则4a﹣3b＝＝＝＝，

故选：C．

【解析】本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．

8．【参】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝AA1，

∴正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，

如图，过F作FG⊥AC，垂足点为G，连接GE，则A1A∥FG，

∴EF与AA1所成的角为∠EFG＝α，且tanα＝，

又GE∈[0，1]，∴tanα∈[0，1]，

∴EF与平面ABC所成的角为∠FEG＝β，且tanβ＝∈[1，+∞），

∴tanβ≥tanα，...①，

再过G点作GH⊥BC，垂足点为H，连接HF，

又易知FG⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，

∴BC⊥FG，又FG∩GH＝G，∴BC⊥平面GHF，

∴二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠GHF＝γ，且tanγ＝，又GH∈[0，1]，

∴tanγ∈[1，+∞），∴tanγ≥tanα，...②，

又GE≥GH，∴tanβ≤tanγ，...③，

由①②③得tanα≤tanβ≤tanγ，又α，β，γ∈[0，），y＝tanx在[0，）单调递增，

∴α≤β≤γ，

故选：A．

【解析】本题考查线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，考查了转化思想，属中档题．

9．【参】解法一：当a＜1，x→+∞时，

a|x﹣b|+|x﹣4|﹣|2x﹣5|＝a（x﹣b）+（x﹣4）﹣22+5＝（a+1﹣2）x﹣ab﹣4+5＜0，与已知条件矛盾，

∴a≥1，

若b＞3，则当x＝b时，

a|x﹣b|+|x﹣4|﹣|2x﹣5|＝|b﹣4|﹣2b+5＜0，与条件矛盾，

∴b≤3，

故ABC均错误，D正确．

解法二：由a|x﹣b|≥|2x﹣5|﹣|x﹣4|，作出f（x）＝|2x﹣5|﹣|x﹣4|的图象，如图，

数形结合，得a≥1且b≤3．

故选：D．

【解析】本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，数形结合法等提高解题效率，属于基础题．

10．【参】解：∵an+1﹣an＝﹣an2＜0，

∴{an}为递减数列，

又，且an≠0，

∴，

又a1＝1＞0，则an＞0，

∴，

∴，

∴，则，

∴；

由得，得，

累加可得，，

∴，

∴；

综上，．

故选：B．

【解析】本题考查递推数列，数列的单调性等知识，对化简变形能力要求较高，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．

二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。

11．【参】解：由S＝＝＝，

故答案为：．

【解析】本题考查学生的阅读能力，考查学生计算能力，属基础题．

12．【参】解：∵（x﹣1）4＝x4﹣4x3+6x2﹣4x+1，

∴a2＝﹣4+12＝8；

令x＝0，则a0＝2，

令x＝1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5＝0，

∴a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2．

故答案为：8，﹣2．

【解析】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．

13．【参】解：∵3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，

∴3sinα﹣cosα＝，

∴cosα＝3sinα﹣，

∵sin2α+cos2α＝1，

∴sin2α+（3sin）2＝1，

解得sinα＝，cosβ＝sinα＝，

cos2β＝2cos2β﹣1＝2×﹣1＝．

故答案为：；．

【解析】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14．【参】解：∵函数f（x）＝，∴f（）＝﹣+2＝，

∴f（f（））＝f（）＝+﹣1＝；

作出函数f（x）的图象如图：

由图可知，若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是．

故答案为：；3+．

【解析】本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．

15．【参】解：根据题意可得：ξ的取值可为1，2，3，4，

又P（ξ＝1）＝，

P（ξ＝2）＝，

P（ξ＝3）＝，

P（ξ＝4）＝，

∴E（ξ）＝1×+2×+3×+4×＝，

故答案为：；．

【解析】本题考查组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义，属基础题．

16．【参】解：如图，过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，

由于B（x2，y2）且x2＞0，则点B在渐近线上，不妨设，

设直线AB的倾斜角为θ，则，则，即，则|FB′|＝4m，

∴|OF|＝c＝3m，

又，则＝，

又，则，则，

∴点A的坐标为，

∴，即，

∴．

故答案为：．

【解析】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．

17．【参】解：以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

则A1（0，1），，A3（1，0），，A5（0，﹣1），，A7（﹣1，0），，

设P（x，y），

则2+2+…+2＝|PA1|2+|PA2|2+|PA3|2+|PA4|2+|PA5|2+|PA6|2+|PA7|2+|PA8|2＝8（x2+y2）+8，

∵cos22.5°≤|OP|≤1，∴，

∴，

∴12≤8（x2+y2）+8≤16，

即2+2+…+2的取值范围是[12+2，16]，

故答案为：[12+2，16]．

【解析】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．

三、参题：本大题共5小题，共74分。参应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．【参】解：（Ⅰ）因为cosC＝＞0，所以C∈（0，），且sinC＝＝，

由正弦定理可得：＝，

即有sinA＝＝sinC＝×＝；

（Ⅱ）因为4a＝c⇒a＝c＜c，

所以A＜C，故A∈（0，），

又因为sinA＝，所以cosA＝，

所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝；

由正弦定理可得：＝＝＝5，

所以a＝5sinA＝5，

所以S△ABC＝absinC＝×5×11×＝22．

【解析】本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题．

19．【参】证明：（I）由于CD⊥CB，CD⊥CF，

平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF⊂平面CDEF，CB⊂平面ABCD，

所以∠FCB为二面角F﹣DC﹣B的平面角，

则∠FCB＝60°，CD⊥平面CBF，则CD⊥FN．

又，

则△BCF是等边三角形，则CB⊥FN，

因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC∩BC＝C，FC⊂平面FCB，BC⊂平面FCB，

所以DC⊥平面FCB，因为FN⊂平面FCB，所以DC⊥FN，

又因为DC∩CB＝C，DC⊂平面ABCD，CB⊂平面ABCD，

所以FN⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，故FN⊥AD；

解：（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系：

于是，则，

，

设平面ADE的法向量＝（x，y，z），

则，∴，令x＝，则y＝﹣1，z＝，

∴平面ADE的法向量，

设BM与平面ADE所成角为θ，

则．

【解析】本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．

20．【参】解：（Ⅰ）因为等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1，

因为S4﹣2a2a3+6＝0，可得﹣2a2a3+6＝0，即2（a1+a4）﹣2a2a3+6＝0，

a1+a1+3d﹣（a1+d）（a1+2d）+3＝0，即﹣1﹣1+3d﹣（﹣1+d）（﹣1+2d）+3＝0，

整理可得：d2＝3d，解得d＝3，

所以Sn＝na1+d＝﹣n+＝，

即Sn＝；

（Ⅱ）因为对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，

则（a1+nd+4cn）2＝[a1+（n﹣1）d+cn][（a1+（n+1）d+15cn]，a1＝﹣1，

整理可得：cn2+[（14﹣8n）d+8]cn+d2＝0，则Δ＝[（14﹣8n）d+8]2﹣4d2≥0恒成立在n∈N+，

整理可得[（2n﹣3）d﹣2][n﹣2）d﹣1]≥0，

当n＝1时，可得d≤﹣2或d≥﹣1，而d＞1，

所以d的范围为（1，+∞）；

n＝2时，不等式变为（d﹣2）（﹣1）≥0，解得d≤2，而d＞1，

所以此时d∈（1，2]，

当n≥3时，d＞1，则[（2n﹣3）d﹣2][n﹣2）d﹣1]＞（2n﹣5）（n﹣3）≥0符合要求，

综上所述，对于每个n∈N*，d的取值范围为（1，2]，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列．

【解析】本题考查等差数列的性质的应用及等比数列的性质的应用，恒成立的判断方法，属于中档题．

21．【参】解：（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y），则|PM|2＝x2+（y﹣1）2＝12﹣12y2+y2﹣2y+1＝﹣11y2﹣2y+13，y∈[﹣1，1]，

而函数z＝﹣11y2﹣2y+13的对称轴为，则其最大值为，

∴，即点P到椭圆上点的距离的最大值为；

（Ⅱ）设直线AB：，

联立直线AB与椭圆方程有，消去y并整理可得，（12k2+1）x2+12kx﹣9＝0，

由韦达定理可得，，

∴＝，

设C（x3，y3），D（x4，y4），直线AP：，直线BP：，

联立以及，

可得，

∴由弦长公式可得＝

＝2||＝2||

＝＝≥＝，

当且仅当时等号成立，

∴|CD|的最小值为．

【解析】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题．

22．【参】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝+lnx（x＞0），

∴+＝，（x＞0），

由＞0，得x＞，∴f（x）在（，+∞）上单调递增；

由＜0，得0＜x＜，∴f（x）在（0，）上单调递减．

（Ⅱ）（i）证明：∵过（a，b）有三条不同的切线，

设切点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3）），

∴f（xi）﹣b＝f′（xi）（xi﹣a），（i＝1，2，3），∴方程f（x）﹣b＝f′（x）（x﹣a）有3个不同的根，

该方程整理为（﹣）（x﹣a）﹣，

设g（x）＝（）（x﹣a）﹣﹣lnx+b，

则g′（x）＝＝﹣（x﹣e）（x﹣a），

当0＜x＜e或x＞a时，g′（x）＜0；当e＜x＜a时，g′（x）＞0，

∴g（x）在（0，e），（a，+∞）上为减函数，在（e，a）上为增函数，

∵g（x）有3个不同的零点，∴g（e）＜0且g（a）＞0，

∴（）（e﹣a）﹣﹣lne+b＜0，且（）（a﹣a）﹣，

整理得到且，

此时，，且，

此时，﹣，

整理得，且，

此时，b﹣f（a）﹣（）＜+1﹣（）﹣，

设μ（a）为（e，+∞）上的减函数，∴μ（a）＜，

∴．

（ii）当0＜a＜e时，同（i）讨论，得：

g（x）在（0，a），（e，+∞）上为减函数，在（a，e）上为增函数，

不妨设x1＜x2＜x3，则0＜x1＜a＜x2＜e＜x3，

∵g（x）有3个不同的零点，∴g（a）＜0，且g（e）＞0，

∴（）（e﹣a）﹣，且（）（a﹣a）﹣，

整理得，

∵x1＜x2＜x3，∴0＜x1＜a＜x2＜e＜x3，

∵g（x）＝1﹣，

设t＝，则方程1﹣即为：

﹣，即为﹣（m+1）t+，

记，

则t1，t2，t3为﹣（m+1）t+有三个不同的根，

设k＝，m＝，

要证：，

即证，

即证：，

而﹣（m+1），且﹣（m+1），

∴（t1﹣t3）＝0，

∴，

∴即证﹣＜，

即证+＞0，

即证，

记，则，

∴φ（k）在（1，+∞）为增函数，∴φ（k）＞φ（m），

∴＞，

设ω（m）＝lnm+，0＜m＜1，

则ω′（x）＝＞，

∴ω（m）在（0，1）上是增函数，∴ω（m）＜ω（1）＝0，

∴lnm+＜0，

即＞0，

∴若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．

【解析】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是难题．