2018年湖南省株洲市中考数学试卷(带解析)

参与试题解析

一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）9的算术平方根是（）

A．3B．9C．±3D．±9

【解答】解：∵32=9，

∴9的算术平方根是3．

故选：A．

2．（3分）下列运算正确的是（）

A．2a+3b=5ab B．（﹣ab）2=a2b C．a2•a4=a8D．26

3=2

3

【解答】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、原式=a2b2，故本选项错误；

C、原式=a6，故本选项错误；

D、原式=2a3，故本选项正确．

故选：D．

3．（3分）如图，2

5的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间（）

A．点E和点F B．点F和点G C．点G和点H D．点H和点I

【解答】2

5的倒数是

5

2，

5

2在G和H之间，

故选：C．

4．（3分）据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，请用科学记数法表示地球海洋面积面积约为多少平方千米（）A．36×107B．3.6×108C．0.36×109D．3.6×109【解答】解：将360000000用科学记数法表示为：3.6×108．故选：B．

5．（3分）关于x的分式方程2+3

−=0解为x=4，则常数a的值为

（）

A．a=1B．a=2C．a=4D．a=10

【解答】解：把x=4代入方程2+3

−=0，得

2 4+3

4−=0，解得a=10．故选：D．

6．（3分）从﹣5，﹣10

3，﹣6，﹣1，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰

好为负整数的概率为（）

A．2

7B．

3

7C．

4

7D．

5

7

【解答】解：﹣5，﹣10

3，﹣6，﹣1，0，2，π这七个数中有两个负整数：﹣5，

﹣1

2

7

故选：A．

7．（3分）下列哪个选项中的不等式与不等式5x＞8+2x组成的不等式组的解集8

3＜x＜5（）

A．x+5＜0B．2x＞10C．3x﹣15＜0D．﹣x﹣5＞0

【解答】解：5x＞8+2x，

解得：x＞8 3，根据大小小大中间找可得另一个不等式的解集一定是x＜5，

故选：C．

8．（3分）已知二次函数y=ax2的图象如图，则下列哪个选项表示的点有可能在反比例函数y=的图象上（）

A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（2，3）D．（2，﹣3）

【解答】解：∵抛物线y=ax2开口向上，

∴a＞0，

∴点（2，3）可能在反比例函数y=的图象上．

故选：C．

9．（3分）如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，过l1上的点A作AB⊥l3交l3于点B，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是（）

A．∠2＞120°B．∠3＜60°C．∠4﹣∠3＞90°D．2∠3＞∠4

【解答】解：∵AB⊥l3，

∴∠ABC=90°，

∵∠1＜30°

∴∠ACB=90°﹣∠1＞60°，

∴∠2＜120°，

∵直线l1∥l2，

∴∠3=∠ABC＞60°，

∴∠4﹣∠3=180°﹣∠3﹣∠3=180°﹣2∠3＜60°，

2∠3＞∠4，

故选：D．

10．（3分）已知一系列直线y=a k x+b（a k均不相等且不为零，a k同号，k为大于或等于2的整数，b＞0）分别与直线y=0相交于一系列点A k，设A k的横坐

标为x k，则对于式子−

−（1≤i≤k，1≤j≤k，i≠j），下列一定正

确的是（）

A．大于1B．大于0C．小于﹣1D．小于0【解答】解：由题意x i=﹣，x j=﹣，

−

−=⋅

＞0，

故选：B．

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）单项式5mn2的次数3．

【解答】解：单项式5mn2的次数是：1+2=3．

故答案是：3．

12．（3分）睡眠是评价人类健康水平的一项重要指标，充足的睡眠是青少年健

康成长的必要条件之一，小强同学通过问卷调查的方式了解到本班三位同学某天的睡眠时间分别为7.8小时，8.6小时，8.8小时，则这三位同学该天的平均睡眠时间是8.4小时．

【解答】解：根据题意得：（7.8+8.6+8.8）÷3=8.4小时，

则这三位同学该天的平均睡眠时间是8.4小时，

故答案为：8.4小时

13．（3分）因式分解：a 2（a ﹣b ）﹣4（a ﹣b ）=

（a ﹣b ）（a ﹣2）

（a +2）．

【解答】解：a 2（a ﹣b ）﹣4（a ﹣b ）

=（a ﹣b ）（a 2﹣4）

=（a ﹣b ）（a ﹣2）（a +2），

故答案为：（a ﹣b ）（a ﹣2）（a +2）．14．（3分）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交点O ，AC=10，P 、Q 分别为AO 、AD 的中点，则PQ 的长度为 2.5．

【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，

∴AC=BD=10，BO=DO=12BD ，∴OD=12

BD=5，∵点P 、Q 是AO ，AD 的中点，

∴PQ 是△AOD 的中位线，

∴PQ=12

DO=2.5．故答案为：2.5．

15．（3分）小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，

则小强同学生日的月数和日数的和为20．

【解答】解：设小强同学生日的月数为x ，日数为y ，依题意有

−=22

+=31，解得=11=9

，11+9=20．

答：小强同学生日的月数和日数的和为20．

故答案为：20．

16．（3分）如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM=48°．

【解答】解：连接OA ，

∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠AOB=360°5

=72°，∵△AMN 是正三角形，∴∠AOM=360°3

=120°，∴∠BOM=∠AOM ﹣∠AOB=48°，

故答案为：48°．

17．（3分）如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，点B的坐标为（0，22），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（22，22），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为4．

【解答】解：∵点B的坐标为（0，22），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt △O′A′B′，此时点B′的坐标为（22，22），

∴AA′=BB′=22，

∵△OAB是等腰直角三角形，

∴A（2，2），

∴AA′对应的高2，

∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为22×2=4．

故答案为：4．

18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD=CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN=32，在DB的延长线上

取一点P ，满足∠ABD=∠MAP +∠PAB ，则AP=6．

【解答】解：∵BD=CD ，AB=CD ，

∴BD=BA ，

又∵AM ⊥BD ，DN ⊥AB ，

∴DN=AM=32，

又∵∠ABD=∠MAP +∠PAB ，∠ABD=∠P +∠BAP ，

∴∠P=∠PAM ，

∴△APM 是等腰直角三角形，

∴AP=2AM=6，

故答案为：6．

三、解答题（本大题8小题，共66分）

19．（6分）计算：|﹣32|+2﹣1﹣3tan45°【解答】解：原式=32+12﹣3×1=32+12

﹣3=﹣1．

20．（6分）先化简，再求值：

2+2+1•（1﹣1+1）﹣2，其中x=2，y=2．

【解答】2+2+1•（1﹣1+1）﹣

2

=(+1)2

•+1−1+1﹣2

=(+1)﹣2=

当x=2，y=2时，原式=2．21．（8分）为提高公民法律意识，大力推进国家工作人员学法用法工作，今年年初某区组织本区900名教师参加“如法网”的法律知识考试，该区A 学校参考教师的考试成绩绘制成如下统计图和统计表（满分100分，考试分数均为整数，其中最低分76分）分数

人数85.5以下

1085.5以上

3596.5以上8

（1）求A 学校参加本次考试的教师人数；

（2）若该区各学校的基本情况一致，试估计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数；

（3）求A 学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分比．

【解答】解：（1）由表格中数据可得：85.5以下10人，85.5以上35人，

（2）由表格中85.5以下10人，85.5﹣90.5之间有：15人；

故计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数为：10+15

45×900=500

（人）；

（3）由表格中96.5以上8人，95.5﹣100.5之间有：9人，

则96分的有1人，可得90.5﹣95.5之间有：35﹣15﹣9=11（人），

则A学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百15+1+11

45×100%=60%．

22．（8分）如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=3千米，l3上的点N位于点M的

北偏东α方向上，且cosα=13

13，MN=213千米，点A和点N是城际线L上的两

个相邻的站点．

（1）求l2和l3之间的距离；

（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）

【解答】解：（1）过点M作MD⊥NC于点D，

∵cosα=13

13，MN=213千米，

∴cosα===13 13，解得：DM=2（km），

答：l2和l3之间的距离为2km；

（2）∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=3千米，

∴tan30°==3

=

3

3，

解得：AB=3（km），

可得：AC=3+2=5（km），

∵MN=213km，DM=2km，

∴DN=(213)2−22=43（km），

则NC=DN+BM=53（km），

∴AN=

2+2=(53)2+52=10（km），∵城际火车平均时速为150千米/小时，

∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要10

150=

1

15小时．

23．（8分）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN．

（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；

（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=1

4，求tan∠ABM的值．

【解答】解：（1）∵AD=AB ，AM=AN ，∠AMB=∠AND=90°

∴Rt △ABM ≌Rt △AND （HL ）．

（2）由Rt △ABM ≌Rt △AND 易得：∠DAN=∠BAM ，DN=BM

∵∠BAM +∠DAM=90°；∠DAN +∠ADN=90°

∴∠DAM=∠AND

∴ND ∥AM

∴△DNT ∽△AMT =∵AT=14，=13∵Rt △ABM

∴tan ∠ABM===13

．24．（8分）如图已知函数y=（k ＞0，x ＞0）的图象与一次函数y=mx +5（m ＜0）的图象相交不同的点A 、B ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，连接AO ，其中点A 的横坐标为x 0，△AOD 的面积为2．

（1）求k 的值及x 0=4时m 的值；

（2）记[x ]表示为不超过x 的最大整数，例如：[1.4]=1，[2]=2，设t=OD•DC ，

32＜m ＜﹣54

，求[m 2•t ]值．

【解答】解：（1）设A （x 0，y 0），则OD=x 0，AD=y 0，

∴S △AOD =12OD•AD=12

00=2，

∴k=x 0y 0=4；当x 0=4时，y 0=1，

∴A （4，1），

代入y=mx +5中得4m +5=1，m=﹣1；

（2）∵

=4=+5

，4=

+5，mx 2+5x ﹣4=0，

∵A 的横坐标为x0，

∴mx 02+5x 0=4，

当y=0时，mx +5=0，

x=﹣5，

∵OC=﹣5，OD=x 0，

∴m 2•t=m 2•（OD•DC ），

=m 2•x 0（﹣5﹣x 0），

=m （﹣5x 0﹣mx 02），=﹣4m ，

32＜m ＜﹣54

，∴5＜﹣4m ＜6，

∴[m 2•t ]=5．

（1）求证：直线CG为⊙O的切线；

（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB=CH，

①△CBH∽△OBC；

②求OH+HC的最大值．

【解答】解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

∵∠GAF=∠GCE，

∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴直线CG是⊙O的切线；

（2）①∵CB=CH，

∴∠CBH=∠CHB，

∵OB=OC，

∴∠CBH=∠OCB，

∴△CBH∽△OBC②由△CBH∽△OBC可知：=

∵AB=8，

∴BC2=HB•OC=4HB，

∴HB=

2 4，

∴OH=OB﹣HB=4﹣

2 4

∵CB=CH，

∴OH+HC=4−

2

4+BC，

当∠BOC=90°，此时BC=42

∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜42，令BC=x

∴OH+HC=﹣1

4（x﹣2）2+5

当x=2时，

∴OH+HC可取得最大值，最大值为5

26．（12分）如图，已知二次函数y=ax2﹣53x+c（a＞0）的图象抛物线与x 轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，

（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值；

（2）若a=15，求c的取值范围；

（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称

轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+1

2，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．

【解答】解：（1）抛物线的对称轴是：x=﹣2=﹣−53

2=3，解得：a=

5

2；

（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x2﹣53+c，∵二次函数与x轴有两个交点，

∴△＞0，

∴△=b2﹣4ac=(−53)2﹣4×15c，

∴c＜5 4；

（3）∵∠BOD=90°，∠DBO=60°，∴tan60°===3，

∴OB=3

3c，

∴B（3

3c，0），

把B（3

3c，0）代入y=ax2﹣53x+c中得：

2

3−53⋅

3

3+c=0，2

3﹣5c+c=0，∵c≠0，

∴ac=12，

∴c=12

，

把c=12代入y=ax 2﹣53x +c 中得：

y=a （x 2﹣53+122）=a （x ﹣43）（x ﹣3），∴x 1=43

，x 2=3，∴A （3，0），B （43，0），D （0，12），∴AB=43﹣3=33

，AE=332，∵F 的纵坐标为3+12

，∴F （532，6+12），

过点A 作AG ⊥DB 于G ，

∴BG=12AB=AE=332，AG=92

，DG=DB ﹣BG=83﹣332=1332，

∵∠ADB=∠AFE ，∠AGD=∠FEA=90°，∴△ADG ∽△AFE ，=，33292=6+12∴a=2，c=6，

∴y=2x 2﹣53x +6．