陕西专升本(高等数学)模拟试卷10(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题 6. 证明题 

选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1． x=0是函数的(    )

A．可去间断点

B．跳跃间断点

C．振荡间断点

D．连续点

正确答案：B           

解析：即在x=0处左右极限存在但不相等，故x=0为跳跃间断点,所以选C.

2． 设函数f(x)=∫0x(t一1)dt，则f(x)有(    ).

A．极大值

B．极大值

C．极小值

D．极小值

正确答案：D           

解析：f’(x)=x一1．令f’(x)=0得x=1又f’’(x)=1＞0  故在x=1处有极小值f(1)，极小值所以选D.

3． 设函数f(x)的导函数为sinx，则f(x)有一个原函数为(    )

A．1一sinx

B．1+sinx

C．1一cisx

D．1+cosx

正确答案：A           

解析：由题知  f(x)=∫sinxdx=一cosx+c.要求f(x)的一个原函数，故令c=0，得f(x)=一cosx，则f(x)原函数为：∫f(x)dx=一∫cosxdx一一sinx+c令c=1得f(x)的一个原函数为1一sinx，所以选A.

4． 不定积分=(    )

A．

B．

C．

D．

正确答案：A           

解析：所以选择A.

5． 无穷级数(    )

A．当时，为条件收敛

B．当时，为绝对收敛

C．当时，为绝对收敛

D．当时，为发散的

正确答案：B           

解析：当5p＞1时，即，原函数绝对收敛．故选B.

填空题

6． 极限=__________．

正确答案：e-x           

解析：

7． 设=________．

正确答案：3e           

解析：

8． 设f(x)=(x一1)(x一2)(x一3)…(x一50)，则f’(2)=__________．

正确答案：48!           

解析：f(x)是50个一次因式的乘积，在x=2处f(x)=0．因此，对这种类型函数求零点处的导数，应利用其特点．有三个常用方法，分别叙述如下：解:用乘法求导法则，有f’(x)=(x一2)(x一3)…(x一50)+(x一1)(x一3)…(x一50)+(x一1)(x一2)…(x一50)+…+(x一1)(x一2)…(x一49)上式有50项，仅第二项不含(x一2)，其余49项均有这项因式．故可得f’(2)=(2—1)(2—3)…(2—50)=(一1)4848!=48!

9． 若级数绝对收敛，则P需满足___________．

正确答案：           

解析：

10． 微分方程的通解为____________．

正确答案：           

解析：该方程是可分离变量的微分方程，先分离变量，得

综合题

11． 求极限

正确答案：   

12． 设函数y=y(x)是由参数方程

正确答案：   

13． 求函数y=ln(1+x2)的凹凸区间与拐点．

正确答案：∵y=ln(1 4-x2)  ∴函数的定义域为(一∞，+∞)令y’’=0  解得x=一1，x=1将x=一1，x=1两点分割定义域得知下表由表可知函数的凹区间为[一1，1]，凸区间为(一∞,-1)U(1，+∞)，拐点为(—1，ln2)和(1，ln2)   

14． 设其中f与g具有二阶连续偏导数，求

正确答案：令xy为第1变量，为第2变量   

15． 设且f(x)在x=0点连续．求k的值及f’(x)．

正确答案：   

16． 计算：

正确答案：   

17． 求二重积分其中D为第一象限内圆x2+y2=2x及y=0所围成的平面区域．

正确答案：画积分区域D得：   

18． 计算曲线积分I=∫L(2xy-x3)dx+(x2+x-y3)dy，其中L是从点A(1，0)沿上半圆周x2+y2=1到点B(-1，0)的部分．

正确答案：画L图   

19． 求幂级数的收敛区间及和函数，并求的值．

正确答案：   

20． 设函数f(x)有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)表达式．

正确答案：   

证明题

21． 设函数f(x)在[0，a]连续，在(0，a)可导，且f(0)=0 f’(x)＞0，当0≤t≤a时，把右图中阴影部分的面积记为S(t)，当t为何值时，S(t)最小?

正确答案：当0≤t≤a时，   

22． 设函数f(x)在[0，1]上具有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=2证明：在(0，1)内至少存在一点ξ，使得2f’(ξ)+ξf’’(ξ)=0．

正确答案：对f(x)在[0，1]上应用罗尔定理，知至少存在一点η∈(0，1)使f’(η)=0令F(x)=x2f’(x)则F(0)=F(η)=0对F(x)在[0，η]上应用罗尔定理，知至少存在一点ξ∈(0，η)c(0，1)使F’(ξ)=2ξf’(ξ)+ξ2f’’(ξ)=0因为ξ≠0，所以有  2f’(ε)+ξf’’(ξ)=0