高等数学教案Word版(同济)第二章7

I 授课题目：

§2.5 函数的微分（三）（四）

II 教学目的与要求：

  1.掌握微分公式，会用微分公式求函数的微分;

  2.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性；

3.掌握微分在近似计算中的应用.

III 教学重点与难点：                       

  重点：微分公式，用微分公式求函数的微分

  难点：用微分公式求函数的微分

IV 讲授内容：

一、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

从函数的微分的表达式

知要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分。

1.基本初等函数的微分公式

导数公式                             微分公式

        导数公式                               微分公式

2.函数和、差、积、商的微分法则

函数可导

     函数和、差、积、商的求导法则      函数和、差、积、商的微分法则

3.复合函数的微分法则

设及的都可导，则复合函数的微分

而，因此，复合函数的微分公式还写成

或     

无论的是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式保持不变，称为微分形式不变性 

例，解

解 将看成中间变量，则

      在解复合函数的导数时，可以不写出中间变量，在解复合函数的微分时，可

以不写出中间变量

二、微分在近似计算中的应用

1.函数的近似计算

在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，利用微分能将一些复杂的计算公式用简单的近似公式代替。

计算公式：

如果函数在点处的导数，有

式还能写成

          （1）

或

               （2）

在式（2）让，那么式（2）就写成

                （3）

如果与都容易计算，那么就能利用式（1）近似计算

能利用式（2）近似计算

能用式（3）近似计算

此近似计算的实质就是用的线性函数近似表达函

数

从导数的几何意义知，就是用曲线在点处的切线近似代

替该曲线（就切点邻近部分说）

在式（3）让得

得几个在工程上常用的近似公式

（用弧度作单位表达）

（用弧度作单位表达）

2.误差估计

   间接误差

因为测量仪器、测量条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果会有误差，将它叫做间接误差

    绝对误差、相对误差

某个量的精确值为，它的近似值为，那么叫做的绝对误差，而绝对误差与的比值叫做的相对误差

在实际中，有时能够确定误差在某一个范围，某个量的精确值是，测得它的近似值是，又知它的误差不超过，即

那么叫做的绝对误差限，而叫做测量的相对误差限

V 小结与提问：

   小结：给出微分公式，给出微分在近似计算中的应用

   提问：怎么样理解函数的微分在近似计算中的应用？

VI 课外作业：

   P122-P124  3，7（1），9（1），10（2）