抛物线及其标准方程教案

一、课题：抛物线及其标准方程

二、教材： 数学选修1—1  2.3. 1抛物线及其标准方程P56—P59（全日制普通高中课程标准实验教科书  人民教育出版社A版）

三、教学重点： 

1、抛物线的定义及标准方程、焦点、准线；

2、进一步熟悉坐标法，利用坐标法求出抛物线的四种标准方程；

3、 会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程，并画出其图形；

4、会根据抛物线的焦点坐标或者准线方程，求出抛物线的标准方程。

四、教学难点：

1、用坐标法求出抛物线的标准方程；

2、引导学生正确进行数学图形语言、文字语言、符号语言及其相互转化；

3、抛物线的四种图形及标准方程的区分；

4、抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。

五、教学目标

1、知识目标：

掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线。

2、能力目标： 

通过对抛物线概念和标准方程的学习，领会求抛物线标准方程的步骤，特别是领会建立适当的坐标系的思路，培养学生观察、分析、抽象比较、归纳概括等能力，提高建立坐标系的能力，由圆锥曲线的统一定义，初步培养学生理解事物按一定准则、变化、制约的客观规律，形成学生对事物运动变化、对立、统一的辨证唯物主义观点。

3、德育目标：

通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生勇于探索、严密细致的科学态度，通过提问、讨论、思考等教学活动，调动学生积极参与教学，培养良好的学习习惯。

六、教学对象分析以及教材组织：

学生的基础普遍较低，数学基础差，抽象、逻辑推理能力差，厌学情绪浓等特点，我把本节内容：抛物线的定义及其标准方程和几何性质分三个课时。借助P56 “信息技术应用”栏目中抛物线生成过程，从形象中入手，使学生对抛物线有一个较为深刻的认识。学习方法以协作、讨论为主。

七、教学方法： 

启发引导法（通过椭圆与双曲线第二定义引出抛物线）。

以P56 “信息技术应用”栏目中抛物线生成过程为依托，采用实验探索、类比法、图表法。

实验探索：通过实验、演示，观察得出动点的轨迹是一条抛物线，在用坐标法探求方程。

类比法：一次函数反映到解析几何中为直线问题，反比例函数反映到解析几何中为双曲线问题，那么二次函数对应的是什么图形呢？由椭圆、双曲线的定义、标准方程的求法，类比出抛物线的定义、标准方程、性质。类比法使得学生对于教材容易接受，可减轻学生负担。

图表法：将抛物线定义、图像、标准方程、焦点坐标、准线方程列表，让学生填充表格，通过表格可以将它们对比，发现异同点，寻找规律，全面掌握所学知识。

依据建构主义教学原理，通过类比、归纳把新知识化归到原有的认知结构中去（二次函数与抛物线方程的对比，移图与建立适当建立坐标系的方法的归纳）。

P56 “信息技术应用”栏目中抛物线生成过程的应用可以增强课堂的趣味性，能够化解教学难点，有效的解决教学重点。

教    学    过    程

一、课题引入

利用学生已有知识提问学生:

1．类比引入：一次函数反映到解析几何中为直线问题，反比例函数反映到解析几何中为双曲线问题，那么二次函数对应的是什么图形呢？

2类比引入：平面内，与一个定点的距离和一条定直线的距离之比等于常数е的动点M的轨迹，当0< е<1时，动点M的轨迹是椭圆；当 е>1时，动点M的轨迹是双曲线；当 е＝1时它又是什么曲线呢？

(1)、椭圆的第二种定义：平面内，到定点F的距离和到定直线的距离的比是小于1的正常数）е的点的轨迹是椭圆。详见数学选修1—1 P41例6、P43B组第3题及P43-P44《用《几何画板》探究点和轨迹：椭圆》一文、P52例5、P54B组第3题

(2)、双曲线的第二种定义：平面内，到定点F的距离和到定直线的距离的比是大于1的常数е的点的轨迹是双曲线。详见数学选修1—1 P52例5、P54B组第3题

由此引出：平面内，到定点F的距离和到定直线的距离的比是等于1的常数的点的轨迹是什么？

（以问题为出发点，创设情景，提高学生求知欲）

选修1—1 P56“信息技术应用”栏目给出了抛物线生成过程，学生观察 

① 两条线段MH与MF长度的变化；② 观察追踪动点M得到的轨迹形状。

探索出当е＝1时动点M的轨迹为抛物线，进而给出抛物线的定义。

学生观察所得曲线上动点M（X，Y）所满足的几何条件为MH=MF,明确抛物线的定义:平面内，到定点F的距离和到定直线的距离的比是等于1的常数的点的轨迹叫做抛物线。    从而引出本节课的学习内容。

二、讲授新课

1、抛物线的初步认识

物理中抛物线的运动轨迹；

数学中二次函数的图象；

生活中抛物线的实例：数学选修1—1 P58-P59卫星接收天线的轴截面，P63第3题抛物拱形隧道，PA组第6题抛物线形拱桥，P65手电筒的反光镜及探照灯等。

2、抛物线的定义：平面内，到定点F的距离和到定直线的距离的比是等于1的常数的点的轨迹叫做抛物线。

3、抛物线标准方程的推导：

（1）学生回顾求曲线方程的步骤（建系、设点、列方程）；

（2）若焦点F和准线的距离为（）这样建立坐标系？

建立适当的直角坐标系。

设抛物线上任意一点M的坐标为（x，y），定点F到定直线 的距离为p，由已知动点M（x，y）到定点F的距离|MF|与动点M（x，y）到直线 的距离d之比为1，转化出关于x、y的等式，化简即得到抛物线的标准方程。

由学生思考，可能出现如下的各种建系的方法，让学生探求每种建系条件下得到的标准方程。

(A)                           (B)                          (C)

分别求出它们的方程：（A）                                              （以_____为原点）

（B）                                                                  （以_____为原点）

（C）                                                                   （以_____为原点）

由学生自己总结归纳：由于（1）和（2）中的方程都含有常数项，而（3）具有较简洁的形式，因而把叫做抛物线的标准方程。这个方程叫做是抛物线的一个标准方程，它是以(,0)为焦点，为准线的标准方程.

其中是焦点到准线的距离，的值永远大于0。

师：焦点与准线的相对位置关系还有以下三种情况，因此焦点在坐标轴上的标准方程还有三种形式，同学们有什么办法能把它们找出来？

生1：还是利用解析法，即建立适当的直角坐标系，用定义求解.

            .F                      .F                          .F

         (1)                              (2)                                (3)

P58探究栏目给出四种位置下的抛物线图形及所建的坐标系。

（3）将学生分成三组，分别推导这三种情况下的抛物线方程，最后师生协作填充P58探究栏目的抛物线分类讨论表格。

Ⅰ、四种方程的形式有哪些区别与联系？

生1：方程的左边为二次项，右边为一次项，且都含有基本量；

、一次项系数与焦点坐标有何关系？

生2：四倍关系；

、方程与图形有何关系？生3：一次项字母定轴；一次项系数的正负号定向.

  观察、归纳，寻找异同。

生2：还可以利用对称的方法，即焦点坐标为(,0)和(,0)的两类关于y轴对称，焦点坐标为(,0)与(0,)的两类关于对称.

强调：

的几何意义：焦点到准线的距离，的值永远大于0。

② 已知抛物线的标准方程 （p>0），迅速写出它的焦点坐标、准线方程；

③ 已知抛物线的焦点F或准线方程 （p>0），迅速写出其标准方程。

三、抛物线定义与标准方程的应用

1、例题讲解

P58例1（1）已知抛物线的标准方程是，求出它的焦点坐标和准线方程；

（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。

设计意图：巩固抛物线的标准方程。

分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是确定方程属于四种中的哪一类和参数的值。

归纳解题要点：定位、定量.

2、课堂练习

P59练习1.根据下列条件写出抛物线的方程：

①焦点是F（3,0）；  ②准线方程是x=-1/4 ；       焦点到准线的距离为2。

P59练习2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:

 (4)    (5)   

P58思考二次函数（1）y=x2；（2）y=ax2（а>０或０>а）的图像为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标和准线方程

（1）y=x2  ，x=y2  是不是抛物线的方程。是不是二次函数的解析式？

（2）今天所学到的抛物线标准方程与已学过的二次函数的解析式有何联系与区别？

以焦点在y轴，开口向上的抛物线为例，验证其方程形式恰符合二次函数特点

本环节的设计与本课开始时引入的问题前后贯通，遥相呼应。

P59练习3填空: (1) 抛物线( p>0)上一点M到焦点的距离是а(а> p/2),则点M到准线的距离是__________,点M的横坐标是____________.

(2)抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是___________.

（3）点M是抛物线上的一点，且点M的横坐标为5，则M到焦点的距离是______.分析：利用定义，M 到焦点的距离等于到准线的距离。

设计意图：巩固抛物线的定义及标准方程。

四、课堂小结

1、本节课的内容：抛物线的定义，焦点、准线的意义及四种标准方程等基本知识及其相互联系；

2、理解参数的几何意义：即焦点到准线的距离，简称焦准距，p>0；

3、掌握用坐标法求曲线方程的方法，要注意选好坐标系的恰当位置。

五、课后作业：P习题2.3A组2(2)(3);3;4;5;B1