上海市部分区初三第一学期九年级数学期中试卷汇总(含答案)

（时间：100分钟，满分150 分）

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．已知，那么等于（    ）

（A）；        （B）；         （C）；       （D）．

2．如图1，已知∥∥，则下列结论中，正确的是（   ）

（A）；   （B）；

  （C）；   （D）．

3．如图2，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC = 90º，

AB=4，BC = 2，CD=1，那么的值是（    ）．

（A）       （B）      （C）     （D）

4．已知，则下列判断错误的是（     ）

  （A）∥；  （B）；  （C）与的方向相反；   （D）．

5．根据你对相似的理解，下列命题中，不正确的是（   ）．

（A）三边之比为2：3：4的两个三角形一定相似   

（B）三内角之比为2：3：4的两个三角形一定相似

（C）两邻边之比为2：3的两个直角三角形一定相似  

（D）两邻边之比为2：3的两个矩形一定相似

6．下列四个三角形中，与图3中△ABC的相似的是（    ）

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．计算：                 .

8．如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是           ． 

9．线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，

那么_________厘米．

10．已知△ABC∽△DEF，且点D与点A对应，点E与点B对应，

   若，， 则           度.

11．如图4，已知中，点D、E分别在边AB、AC上，

若AD = 2、BD = 3，AC = 4.5，则EC =            。

12．如图5，在平行四边形中，对角线交于点O，

若，，用（x、y为实数）表示，

则等于               .

13．在正方形网格中，的位置如图6所示，

则的值为                     .

14．如图7，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且，

若AB=7，AC=5，BC=6，则的值为___________． 

15．已知锐角，满足，则的值为          。

16．如图8，已知矩形ABCD，AB=1，又ABEF是正方形，

若矩形CDEF与矩形ABCD相似，则AD长为：          。

17．如图9，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=3，

若，则=                    。

18．已知AD、BE是锐角△ABC的两条高，且AD、BE交于点H，

若，则的值为_________．

三．（本大题共8题，满分78分。

第19-22题，每题8分，第23-24题，每题10分，第25题12分，第26题14分，）

19．已知向量（如图10），求作向量：。

（图10）

20．如图11，点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且EF∥CD， 

   求证：DE∥BC

21．如图13，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上， DE∥BC，，四边形DBCE的面积比△ADE的面积大28。求△ABC的面积。

22．如图12，已知小明的身高是1.6米，他在路灯（图中AB）下的影子长为2米，又小明距路灯灯杆的底部3米，（1）求路灯灯泡距地面的高度；（2）若小明想让自己的影子与身高等长，他应该向什么方向走多少米？

23．如图14，已知中，，，，点D在边AB上，且，点E在边AC上，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，试求DE的长.

24．如图15，已知：梯形中，∥，，，，

点E是AD上一点，联结BE、CE，若，且，求.

25．已知△ABC， D、 E是射线BC上的两点，且BD=AB，CE=AC。

（1）若AB=AC，且∠BAC=90°（如图16），求证；

（2）若△ABC是直角三角形，且，求∠ABC的度数。（如果需要，自己画出符合条件的大致图形）

26． 已知平行四边形ABCD中，AB=1，E是射线DC上一点，直线AC、BE交于点P，

过点P作PQ∥AB，PQ交直线AD于点Q，

（1）当点E是DC中点时（如图17），求线段PQ的长度；

（2）当点E在线段DC上运动时，设，，求y关于x点函数解析式；

（3）当DE的长度为多少时，.

（图17）

2009学年第一学期九年级数学期中测试卷

参

一、选择题(每题4分，共24分)

7、      8、1：4     9、6       10、60     11、2.7    12、

13、     14、     15、      16、    17、    18、 

3、（第19~22题，每题8分，第23~24题，每题10分，第25题12分，第26题14分）

19、图略。总体原则，画对即可；方向出错，其它都对得4分；只画对得2分。

20、                             证明：∵ EF∥CD

                                       ∴……………………2分

                                       ∵

                                       即……………………2分

                                       ∴……………………2分

                                       ∴DE∥BC……………………2分

21、解：  ∴DE∥BC

          ∴∽……………………1分

          ∵

          ∴……………………1分

          ∴……………………2分

          ∵

        ∴  ……………………1分

        ∴     ……………………2分

          即……………………1分

22、                               解：(1)∵AB∥PQ

                                         ∴……………………1分

                                         ∵PQ=1.6    CQ=2    BQ=3

                                         ∴……………………1分

                                         ∴AB=4……………………2分

                            (2) ∵PQ=CQ=1.6

                              ∴AB=BC=4……………………1分

                              ∴BQ=2.4……………………1分

                              ∴小明应该向路灯方向走0.6米…………………2分

23、                   解： ⅰ）当∥时……………………1分

.

                                则……………………2分

                             ∵AD=4  AB=6  BC=4

                                ∴……………………2分

                             ⅱ）当时……………………1分

                                 则∽

.

                                 ∴……………………2分

                                 ∵

                                 ∴

                                 ∴……………………2分

23、                  解一：∵BE⊥CE，  BC=，  cot∠CBE=2

∴EC=5，   BC=10……………………………………2分

∵AB∥CD，AD⊥AB

∴△ABE∽△DEC………………………………………2分

设DE=x，则AB=2x，AE=10-x，CD=…………1分

在Rt△ABE中， 

∴，（舍去）………………………2分

∴AB=8，CD=3………………………………………2分

∴………………1分

解二： 过点C作AB的垂线CF，垂足为点F………………1分

根据题意，可得△CBE≌△BCF……………………2分

∴BF=5  CD=AF=AB-5 ……………………………2分

设DE=x，则AB=2x，AE=10-x，CD=………1分

∴=2x-5………………………………………2分

解得x=4………………………………………………1分

即可求出梯形面积……………………………………1分

24、                            （1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠B=∠BCA=45°，

∠BDA=67.5°

∴∠DAC=22.5°

∠CAE=∠CEA=22.5°

即 ∠EAD=∠B……………………2分

∴△EAD∽△EBA…………………2分

∴…………………1分

(2)解：ⅰ）当∠BAC=90°时，（如上图）……………………………1分

          ∵      ∴△EAD∽△EBA

∴∠ABC=∠EAD

∵CE=CA    ∴∠E=∠EAC，∠ACB=2∠E

∴∠B=90°-2∠E，∠BDA=45°+∠E

∴∠DAC=45°-∠E

∴∠ABC=∠EAD=45°……………………………………1分

ⅱ）当∠ABC=90°…………………1分

∵

∴△EAD∽△EBA

又∠EAD≠∠ABC

∴此种情况不成立…………………1分

ⅲ）当∠ACB=90°时…………………1分

则∠AED=∠EAC=45°

∵

∴△EAD∽△EBA

∴∠ABC=∠EAD

又∵∠ABE=2∠DAC

∴∠ABC=30°…………………2分

【或者，一开始就由BD=AB，CE=AC推出，该结论对后面始终有效】

26、解：                （1）∵平行四边形ABCD，AB=1

                             ∴CD=1

                             ∵E为CD中点

                             ∴CE=DE=

                             ∵PQ∥DC

                             ∴…………………1分

                             ∵

                             ∴…………………1分

                             ∴

                             即…………………1分

（2）由DE=x，则EC=1-x

     ∵PQ∥DC

     ∴

     ∵…………………1分

     ∴…………………1分

     ∴（）…………………2分

（3） ⅰ）点E在线段DC上时，根据，又

          ∴

           即…………………1分

           解得…………………1分

         又   ∴…………………1分

 ⅱ）点E在线段DC的延长线上，且点P在线段AC的延长线上时，

      DE=x， EC=x-1， PQ=2x

∵PQ∥AB∥DE，  

∴，

     又，即  

       解得

         又   ∴   ………2分

ⅲ）当点E在线段DC的延长线上，

且点P在线段AC的反向延长线上时，

      DE=x， EC=x-1， PQ=2x

∵PQ∥AB∥DE，  

∴，

     ∴

     ∴   

     解得     又，  ∴    …………2分

     综上，符合条件的DE的长度可以为.…………………1分

卢湾区第一学期九年级期中考试数学试卷

（时间100分钟，满分150分）

(本试卷所有答案请书写在答题卷规定位置上)

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．把写成比例式（其中均不为0），下列选项中错误的是……………………………………………………………………（    ）

A．；     B．；     C．；    D．．

2．如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的…………………………………………（    ）  

A．2倍；       B．4倍；       C．8倍；      D．16倍．

3．下列命题中正确的是……………………………………………… （    ）

A．所有的菱形都相似；          B．所有的矩形都相似；     

C．所有的等腰三角形都相似；    D．所有的等边三角形都相似．

4．在Rt△ABC中，∠B=90º，若AC=a，∠A=，则AB的长为…………（    ）

A．；    B．；   C．；   D．．

5．点C在线段AB上，如果AB=3AC，，那么等于…………（    ）

A．；       B．；      C．；     D．．

6．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为5cm，若这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可能是下列各组中的…（    ）

A．2 cm，3 cm；B．4 cm，6 cm；C．6 cm，7 cm；D．7 cm，9 cm．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．若（其中），则__________． 

8．若线段AB长为2cm，P是AB的黄金分割点，则较长线段PA =       cm．

9．如图，点G为△ABC重心，若AG =1，则AD的长度为_________． 

10．求值: ºº_________．

11．在Rt△ABC中，∠C=90º，若，则的值为_________．

12．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若，DE＝2，则BC的长为_______．

13．如图，∥∥，AB=2，AC=5，DF=7.5，则DE=_________．

14．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是边CD、BC边的中点，若，，则___________．（结果用、表示）

15．如图，已知AB∥CD，AD与BC交于点O，若AD∶BC= 5∶4，BO =1，DO =2.5，则AD =___________．

16．如图，在△ABC的边BC上，若，且BD=5，AC = 6，则CD的长为___________．

17．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，若，，，且△ADE与ABC相似，则AE的长为___________．

18．在答题纸的方格图中画出与矩形ABCD相似的图形（其中AB的对应边已在图中给出）．

三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分）

19．已知两个不平行的向量，求作向量：．

20．如图，已知点D、F在△ABC 的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，．

求证：EF∥DC．

21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，AC = 3，．

(1)求BC的长；

(2) 求的值．

22．如图，竖立在点B处的标杆AB 长2.1米，某测量工作人员站在D点处，此时人眼睛C与标杆顶端A、树顶端E在同一直线上(点D、B、F也在同一直线上，已知此人眼睛与地面的距离CD 长1.6米，且BD = 1米，BF = 5米，求所测量树的高度．

四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分）

23．如图，BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，BE与CF相交于点D．

(1) 求证：△ABE∽△ACF；

(2) 求证：△ABC∽△AEF；

(3) 若，求的值．

24．如图所示，在△ABC中，已知，边上中线。点P为线段AD上一点（与点A、D不重合），过P点作EF∥BC，分别交边AB、AC于点E、F，过点E、F分别作EG∥AD，FH∥AD，交BC边于点G、H．

（1）求证：P是线段EF的中点；（2）当四边形EGHF为菱形时，求EF的长；

（3） 如果，设AP长为，四边形EGHF面积为，求关于的函数解析式及其定义域．

五、（本题满分14分）

25．已知△ABC的面积为1， D、E分别是AB、AC边上的点，CD、BE交于F点，过点F作FM∥AB，FN∥AC，交BC边于M、N．

(1) 如图25-1，当D、E分别是AB、AC边上的中点时，求△FMN的面积；

(2）如图25-2，当，时，求△FMN的面积；

(3）当，时，用含有的代数式表示△FMN的面积．（直接写出答案）

卢湾区2009学年第一学期九年级数学期中考试

参及评分说明

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．C；    2．  B；      3． D；     4．B；    5． D．    6．B

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．；   8．；   9．；   10．；    11．3；   12．8；   

13．3；  14．；  15．；  16．4； 17．或3； 18．图略．

三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分）

19．解：化简得．………………………（4分）

∴向量是所求作向量．………………………（6分）

20．证明：DE∥BC，∴．………………………………（4分）

∵，∴．…………………………………（4分）

∴EF∥DC．…………………………………………………………（2分）

21．解：（1）在Rt△ABC中，∵，………………………（2分）

∴．………………………………………………………（2分）

又∵AC=3，∴．………………………………（1分）

（2）在Rt△ABC中，．………（2分）

∴．………………………………………（3分）

22．解：过C点作CH⊥EF，交AB与G交EF于H．………………（2分）

由题意得AB⊥DF，EF⊥DF ，∴AB∥EF．…………………………（2分）

∴．……………………………………………………………（2分）

易得CG= DB= 1(米)，CH= DF= 6(米)， (米) 

∴．………………………………………………………………（3分）

∴树高为4.6米．…………………………………………………………（1分）

四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分）

23．证明：(1) ∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠AEB=∠AFC =90º．……（2分）

又∵∠A是公共角，∴△ABE∽△ACF．………………………………（2分）

(2) ∵△ABC∽△AEF，∴， 即．……………（2分）

又∵∠A是公共角，∴△ABE∽△ACF．………………………………（2分）

（3）∵△ABE∽△ACF，∴．…………………………（1分）

∵，∴．………………………………………………（2分）

∵∠AEB=90º，∴．………………………………（1分）

24．解：∵EF∥BC，∴；．……………………（2分）

∴．……………………………………………………………（1分）

又∵BD=CD，∴EP=FP，即P是EF中点．…………………………（1分）

（2）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．…………………………………（1分）

∴，……………………………………………………………（1分）

设，则．∴，解得．……………（2分）

（3）∵EF∥BC，EG∥FH，∴四边形EGHF是平行四边形．

作PQ⊥BC，垂足为Q，则．………（1分）

由（2）得，，．…………………………（1分）

∴  ．………………………………（2分）

五、（本题满分14分）

25．解(1) ∵FM∥AB，∴．……………………………（1分）

同理，∴△FMN∽△ABC．………………………………（1分）

∵D、E分别是AB、AC边上的中点，

∴点F是△ABC的重心．∴．………………………………（1分）

∴．∴．………………………………（1分）（2）法一：过点D作DH∥BE，交AC于点H．……………………（1分）

∴．…………………………（1分）

∵，∴．……………………（1分）

∵DH∥BE，∴．

∵FM∥AB，∴．……………（1分）

∴．………………………………（2分）

由（1）得△FMN∽△ABC，∴．∴．（1分）

法二：∵FM∥AB，．①

∵FN∥AC，．②

①+②得．…………………………………………（2分）

由（1）得△FMN∽△ABC，设，

则，同理可得，………………………（2分）

∴．解得．………………………………………（2分）

∴∴．………………………………（1分）

（3）…………………………………………………（3分）

第一学期期中考试试卷

一、选择题：下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的．（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1、已知：在一张比例尺为1：20000的地图上，量得A、B两地的距离是5，那么A、B两地的实际距离是……………………………………………………………… （         ）

A）500     B）1000     C）5000     D）10000

2、已知两个相似三角形的相似比为4：9，则它们周长的比为…………………（         ）

A）2：3      B）4：9      C）3：2         D）16：81

3、已知中，，CD是AB上的高，则=………………（        ）

A）      B）      C）      D）

4、如图，DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中正确的是…………………………（        ）

A）    B）    C）     D）

5、⊿ABC中，∠C=90°，tanA=，那么三边BC∶AC∶AB是…………（         ）

A）1∶2∶3    B）1∶∶    C）2∶∶3    D）2∶3∶

6、如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，四边形DEGF为内接正方形，那么AD：DE：EB为………………………………………………………………（        ）

（A）3︰4︰5   （B）16︰12︰9   （C）9︰12︰16    （D）16︰9︰25

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7、设，那么              ；

8、如图，AB∥CD，AD、BC相交于O，且AO=5，BO=4，CO=16，那么DO=              ；

9、如图，直线∥∥，AB=4， BC=3，DF=14，那么DE=             ；

10、如图，在□ABCD中， =， =，则向量为              ．（结果用和表示）

11、如图，中，G为重心，，那么=                 ；

12、在Rt中，若，则                     ；

13、已知线段MN=2，点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，则MP=               ；

14、如图：平行四边形ABCD中，E为AB中点，，连E、F交AC于G，则AG：GC=        ；

15、如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30o，向高楼前进60米到C点，又测得楼顶的仰角为45o，则该高楼的高度大约为___________米；（结果可保留根号）．

16、如图：梯形ABCD，，对角线AC、BD交于点E，，则                 ；

17、如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，那么的值为         ；

18、己知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是                 ；

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19、（本题满分10分）

计算： 

20、（本题满分10分）

如图，已知，AD∥BC，∠BAD=90º，BD⊥DC，

求证：（1）△ABD∽△DCB；（2）；

21、（本题满分10分）

从10米高的甲楼顶A处望乙楼顶C处的仰角为30°，望乙楼底D处的俯角为45°，求乙楼CD的高度.（结果保留根号）

22、（本题满分10分）

如图，在中，矩形的一边在上，点、分别在边、边上，是边上的高，与相交于，已知BC=12，AH=6，EF:GF=1:2，求矩形的面积

23、（本题满分12分）

如图是横截面为梯形ABCD的水坝，坝顶宽AD＝6米，坝高为4米，斜坡AB的坡比i＝1︰1.2，斜坡DC的坡角为45°．

（1）求坝底BC的长；

（2）若将水坝加高，加高部分的横截面为梯形ADFE，点E、F分别在BA、CD的延长线上，当水坝顶宽EF为4.9米时，水坝加高了几米？

24、（本题满分12分）如图，在直角三角形ABC中，直角边．设分别为AB,BC上的动点，点自点A沿AB方向向点B作匀速移动且速度为每秒2cm，同时点自点沿方向向点作匀速移动且速度为每秒1cm，当P点到达B点时，Q点就停止移动.设移动的时间t秒．

（1）写出的面积与时间之间的函数表达式，并写出t的取值范围. 

（2）当为何值时，为等腰三角形？

（3）能否与直角三角形ABC相似？若能，求的值；若不能，说明理由．

25、（本题满分14分）

如图，E、F分别为正方形ABCD边BC与CD延长线上的点，且BE=DF，EF分别交线段AC、线段AD于M、N两点(E不与B、C重合)

(1)若AB=1，E是BC的中点，试求△AEF的面积；

(2)求证：△AEM∽△FCM；

(3)若S△CEF：S△AEF=1：2，试求tan∠EFC的值

(4)设试求y关于x的函数关系式，并写出定义域.

2009学年第一学期初三数学期中答案

一、选择题

1.B  2.B  3.D  4.C  5.B  6.B  

二、填空题

 7.   8.20   9.8   10.   11.6     12. 

13.   14.1：5   15.30+30   16.27  17.  18.2或

三、解答题

19.解

20.证：①AD∥BC

      ∴∠ADB=∠DBC（2’）

   有∵BD⊥DC

     ∴∠BDC=90°  （2’）         

在△ABD与△DCB中

∠ADB=∠DBC

∠BAD=∠BDC

∴△ABD∽△DCB（2’）

②∵△ABD∽△DCB

∴（2’）

即（2’）

21.解：过A作AE⊥CD垂足为E，（1’）

由题意得：AB=ED=10，∠CAE=300，∠DAE=450，（3’）

在Rt△AED中AE=DE=10米(2’)

在Rt△CAE中CE=AE·tan300=米(2’)

∴CD=10+米（1’）

答：乙楼CD的高度为10+米。(1’)

22.解：∵GF∥BC

∴(3’)

设HK= GF=2x,

∴（2’）

x=3（3’）

即S=3×6=18（2’）

23.解

①过点A、D作AH⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为H、G

∵i=1:1.2，AH=4 ∴BH=4.8（2’）

∵∠C=450，DG=4 ∴CG=4（2’）

∴BC=4+4.8+6=14.8m（2’）

②过点E、F作EM⊥BC，FN⊥BC，垂足分别为M、G

设EM=x

∵i=1:1.2，EM=x ∴BM=1.2x（2’）

∵∠C=450，FN=x ∴CN=x（2’）

∴BC=1.2x+4.9+x=14.8   x=4.5  4.5-4=0.5(米)（2’）∴加高

24.

（1）              （2） (注：每个答案1’)               

         3）  ∴

（3）(注：每个答案1’)

∴

25.解

（1）△ABE≌△DAF

∴△AEF为等腰△(2’)

∴EA= (1’)

∴S△AEF (1’)

（（2）∠CMF=∠EMA(1’)

∠FCA=45°  ∠FEA=45°

∴∠FCA=∠FEA(2’)

∴△FCM∽△EMA(1’)

（3）设BE=

S△CEF=

S△AEF=

∴∴tan∠EFC= (1’)

（4）BE=  CE=

∴   

∴

∴(解析式2’，定义域1’)

青浦区第一学期九年级期中质量抽查考试

一、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分）

1．已知，下列等式中正确的是……………………………………（     ）.

（A）；            （B）； 

（C）；            （D）.

2．中，，若，，下列各式中正确的是 ……（     ）.

（A）；   （B）；　　（C）；　　（D）．

3．如图，点在平行四边形的边的延长线上，连结交于点．则图中与相似的三角形有………（     ）.

（A）1个；    （B）2个；        （C）3个；        （D）4个.

4．如图，在直角坐标平面内，点与原点的距离，线段与轴正半轴的夹角为， 则点的坐标是………（     ）. 

（A）（2，1）；    （B）（1，2）；    （C）（，）；　（D）（1，）．

5．已知，关于，下列说法中错误的是…………（     ）.

（A）；                    （B）与同方向；

（C）与反方向 ；            （D）是的2倍．

6．如图，在中，点、分别在、边上， ∥，

若， 则等于………………（     ）.

（A）；   （B）；  （C）；    （D）．

二、填空题（本题共12题，每小题4分，满分48分）

7．已知则       ．

8．计算：        ．

9．已知线段2cm，点是线段的黄金分割点，且>，

则线段         cm．

10．如图，的两条中线、相交于点G，如果＝3，那么＝        ．

11．若与的方向相反，且长度为5，用表示，则        ．

12．如图，梯形中，点、分别在、边上，∥∥，，若，则=         ．

13．已知∽，顶点、、分别与、、对应，若= 40°，= 60°，则=________度.

14．如图，小丽的身高为米，她沿着树影由向走去，

当走到点时，发现自己影子的顶端正好与树影子的顶端重合，

此时，恰好、、三点在同一直线上，测得米，

米，树高为        米.

15. 若，，且，则与的位置关系是        .

16. 如图, 在中, 点D、E分别在BC、AC上, BE平分ABC, DE∥BA，CD=4, AB=8．线段       ．

17. 如图，中，，，，，垂足为，则        . 

18．如图，中，，，，是边的中点，是BC边上一动点（点不与、重合），若以、、为顶点的三角形与相似，则线段         .

三、（本题共有7题，满分78分）

19．（本题满分10分）已知： = =，且 a + b + c = 24，求a、b、c的值.

20．（本题满分10分）如图，在中，，，，求的面积（结果保留根号）. 

21．（本题满分10分）如图，点是的边的中点，设，，试用、表示．

22．（本题满分10分）如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，，垂足为．已知，，求正方形的边长．

23．（本题满分12分）已知：如图，   

求证:(1) 

(2)．

24．（本题满分12分）如图：在正方形ABCD中，E为BC中点，点F在CD边上，且DF = 3 FC，联结AE、AF、EF，（1）求证△ECF∽△ABE；（2）图中是否存在与相等的角？若存在，请写出并加以证明；若不存在，请说明理由．

25．（本题满分14分）如图1，已知梯形中，∥,，，，点在边上移动(点不与点、重合)，点在射线上移动，且在移动的过程中始终有，交于点．

（1）求对角线的长；

（2）若，求的长；

（3）当为等腰三角形时，求的长．

青浦区2009学年第一学期九年级期中质量抽查考试

　　　　　　数学试卷答案　　　　Q-2009.11

一、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分）

1．D；2．C；3．B；4．C；5．B；6．B．

二、填空题

7．10；8．；9．；10．1；11．；12．5；13．；14．10；

15．平行；16. 4；17．；18．3或.

三、（本题共有7题，满分78分）

19．解法（1）：∵∴（5分）

即（2分） 解得：（3分）.

解法（2）设，则（5分）.

代入，得（2分）解得：（3分）.

20．解：作，垂足为（1分）.在中∵（2分） 

∴（4分）.

∴（3分）.

21． 解：∵，∴（3分）

∵点是边的中点，∴,得（2分）

∴（5分）.

22．解：设的高交于点，正方形的边长为．

由正方形得，∥，即∥，∵，∴（2分）．

由∥得∽（2分）∴（1分）．∵， 

∴（2分）即（1分）．

由，得，解得（2分）．

∴正方形的边长是．

23．证明：(1) 在和中，∵∴∽（2分）

∴（2分），即∴（2分）

(2) 在和中，∵且

∴∽（2分） ∴（2分）∴（2分）．

24．（本题满分12分）如图：在正方形ABCD中，联结AE、AF、EF．求证△ECF∽△ABE；（2）图中是否存在与相等的角？若存在，请写出并加以证明；若不存在，请说明理由．

证明：（1）由正方形ABCD得， (2分)

∵E为BC中点，DF = 3 FC，∴，，

∴（2分）在和中，∵且∴∽（1分）．

（2）图中存在与相等的角，分别是和（2分）．

∵∽，∴ ，且（2分）．

在中，∵，∴  ∴，

∴， （1分）又∵，∴∽，

∴同理（2）．

25．解：（1）作AHBC，垂足为H (1分) ．在Rt中，

∵，∴，∴（1分）

在Rt中，由勾股定理得(1分)

（2）∵，  ∴   ∴

∵∥，得，∵ ∴，

∴.

∵，又∵，∴，

即（2分） 又∵  ∴∽，

 ∴(1分) ，即  解得

∴（2分）

（3）∵，即又∵  

∴∽（1分）

∴当是等腰三角形时，也一定是等腰三角形）.

① 当时， (1分) ．

② 当时，，∴∽（1分）．

∴∴，即，解得∴(1分) ．

③当时，则有，∵点P在BC边上，∴点P与点B重合，

这与点P不与点B重合矛盾．

所以(1分) ．

综上所述，当是等腰三角形时，或(1分) ．

第一学期期中质量抽测

一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）

1．如果线段的长分别是3和12，线段是线段的比例中项，那么线段的长为 …………………………………………………………………………………………（     ）

（A）4；          （B）；          （C）6；           （D）．

2．如果，那么下列等式一定成立的是…………………………………………（     ）

（A）；      （B）；      （C）；          （D）．

3．如图1，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是…………………………………（     ）

（A）； （B）；   （C）；      （D）．

4．下列关于向量的等式中，正确的是 …………………………………………………（      ）（A）；                     （B）；

（C）；                 （D）．

5．如图2，△ABC中，AD⊥BC于D，则等于 …………………………………（      ）

（A）；        （B）；        （C）；         （D）．

6．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是…………………………（     ）

（A）∠A=∠E且∠D=∠F；                 （B）∠A=∠B且∠D=∠F；

（C）∠A=∠E且；               （D）∠A=∠E且．

A

A

B

A

E

D

F

E

C

B

D

C

B

D

C

（图3）

（图2）

（图1）

二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）

7．如果，那么        ． 

8．如果点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么将线段AB、AP、BP之间的数量关系写成形如“”的形式是：                ． 

9．如图3，如果AB//EF//CD，AF=3，AD=5，CE=3，那么BE=　   　　　． 

10．如图4，点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE//BC，EF//AB，那么          ．

11．如图5，△ABC中，DE//BC，CD、BE交于点F，如果，那么          ．

12．两个相似三角形的相似比为1∶3，它们的面积之和为20，那么较大的三角形的面积是            ．

13．如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3:4:6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是          cm．

14． 如图6，如果∠EAC=∠DAB，∠C=∠D，AD=4，AE=6，AC=8，那么AB=      ．

15．如果向量满足关系式，那么用向量表示向量是           ． 

16．如果在△ABC中，，那么            ． 

17．在ABC中，∠ACB=，CD⊥AB，垂足是D，，△ABC的周长是25cm，那么△ACD的周长是　   　　　cm． 

18．如图7，在△ABC中，如果CE平分∠ACB，D在BC边上，AD交CE于F，且∠CAD=∠B，那么图中与△CDF相似的三角形是            ．

三、解答题（本大题共7题，满分46分）

19．（本题满分5分）

如图，已知△ABC中，DE//BC交AB于点D，交AC于点E，点M在BC边上，AM交DE于点F．

求证：．

20．（本题满分5分）

如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠BAC=∠D，AD= 4，BC= 9．

求AC的长．

21．（本题满分5分）

如图，矩形DEFG内接于△ABC，AH⊥BC，垂足为H，AH交DE于M，，，．求的长．

22．(本题满分5分) 如图，已知点D为△ABC中AC边上一点，且，设．

（1）在图中画出向量分别在方向上的分向量；

（2）试用的线性组合表示向量．

23．(本题满分6分)如图，已知：△ABC中，∠ABC=，AB=BC，延长BC到E，使得CE=2BC，取CE的中点D，联结AE、AD．

求证：△ACD∽△ECA．

24．（本题满分8分）如图，△ABC中，点D、E分别在BC、AB边上，且∠CAD=∠B，∠DEB=∠C，AC=4，AB=10，BC=8． 求DE的长．

25．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题3分） 

已知：梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=3，AB=4，BC=6（如图），点P为射线DC上的动点（不与D和C重合），AP交BD于点E，连BP．

（1）求的值；

（2）当点P在线段DC上时，如果△ADE与△BPC相似，求DP的长；

（3）设，试用的代数式表示的值，并写出相应的的取值范围．

2009学年度第一学期期中初三数学答案及评分标准

一、（本大题共6题，每题3分，满分18分）

1． C；2． B；3． D；4． A；5． C；6． C

二、（本大题共12题，每题3分，满分36分）

7．；8．；9．；10． 1:2；11． 2:3；12． 18；13． 5

14．12；15．；16．；17． 15；18． △CAE

三、解答题（本大题共7题，满分46分）

19．（本题满分5分）

证明：∵DE//BC，

∴-------------------------------------2分

      ∴-------------------------------------------------2分

      ∴-------------------------------------------------1分

20．（本题满分5分）

解：∵AD//BC, ∴∠DAC=∠ACB，---------------------------1分

∵∠BAC=∠D，∴△DAC∽△ACB--------------------------1分

∴---------------------------------------------1分

∴，∵AC>0，∴AC=6-----------------------2分

21．（本题满分5分）

解：∵DEFG为△ABC内接矩形，∴DE//BC，---------1分

∴△ADE∽△ABC，----------------------------------1分

且AH⊥DE，∴ ----------------------------1分

∴，∴ -----------------------2分

22．(本题满分5分)

解：（1）如图，向量在方向上的分向量为,---------------1分

向量在方向上的分向量为------------------------1分

（2）∵,∴,∴-------1分

∴

      --------------------------------------2分

23．(本题满分6分) 

证明：∵CE=2BC，CE的中点D，∴CE=2CD=2DE，∴CD=DE=BC-------------1分

∵∠ABC=,AB=BC，∴AC=-------------------------------1分

∴------------------------------------------1分

且----------------------------------------1分

∴--------------------------------------------------1分

又∵∠ACD=∠ECA，∴△ACD∽△ECA-----------------------1分

24．（本题满分8分）

解法1：∵∠DEB=∠C，∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，----------1分

∴BE:DE:BD=BC:AC:AB=8:4:10-----------------------------------------1分

∴设BE=4x,则DE=2x,BD=5x--------------------------1分

∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，---------1分

∴，即，-----------1分

∴----------------------------------------------------1分

∴-------------------------------------------------2分

解法2：∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，--------------------------1分

∴，即，------------------1分

∴CD=2，AD=5-----------------------------------------------2分

∵∠CAD=∠B，∠DEB=∠C，∴△ACD∽△BED，----------------------------1分

∴，即---------------------------------1分

∴------------------------------------------------------2分

25．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题3分） 

解：（1）过D作DH⊥BC，---------------------------------------1分

∵AD//BC,AB⊥BC,∴AB⊥AD, ∴ABHD为矩形，∴DH=AB=4,BH=AD=3, ∴CH=3-----1分

∵DH⊥BC，∴ ----------------------------------1分，1分

（2）∵AD=3,AB=4, AD//BC,AB⊥BC,∴BD=5,而DH=4,HC=3, DH⊥BC, 

∴DC=5 , ∴DC=BD,∴∠DBC=∠C

∵AD//BC, ∴∠ADB=∠DBC, ∴∠ADB=∠C-------------------------------1分

方法1：∵△ADE与△BPC相似，又∠ADB=∠C

∴∠DAP=∠PBC或∠DAP=∠BPC----------------------------------------2分

当∠DAP=∠PBC时，

∵AD//BC, ,AB⊥BC,∴∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，

取AB中点N，连PN，∴PN⊥AB, ∴PN//AD//BC, ∴,

∴DP=PC,即DP=---------------------------------------------------1分

当∠DAP=∠BPC时，在BP的延长线上去点Q，则∠BPC=∠DPQ，

∵∠DPQ=∠DAP+∠ADP＞∠DAP，∴∠DAP=∠BPC不可能-------------------1分

∴DP=（注：只要说明∠DAP=∠BPC时不可能，就得1分）

方法2：∵△ADE与△BPC相似，又∠ADB=∠C

∴或-------------------------------------------2分

延长AP交BC的延长线于点M,设DP=x，则PC=5-x

∵AD//BC, ∴,即，∴ 

又∵AD//BC, ∴,即,∴

∴或，即或

由得无解；------------------------------------------1分

由得（舍）即得DP=------------------1分

（3）当点P在线段CD上时，过Ｐ做ＭＮ⊥ＡＤ分别交直线ＢＣ和直线ＡＤ于Ｍ和Ｎ，

∴（）------------1分

当点P在DC的延长线上时，过Ｐ做ＭＮ⊥ＡＤ分别交直线ＢＣ和直线ＡＤ于Ｍ和Ｎ，

（）------------------２分