2020-2021学年高一数学必修二第8章《立体几何初步》章末复习

章末复习

一、几何体的表面积与体积

1.空间几何体的表面积求法

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体表面积注意衔接部分的处理.

(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

2.空间几何体体积问题常见类型

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.

(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.

例1　如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.

解　由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：

圆台下底面、侧面和一半球面，

S半球＝8π cm2，S圆台侧＝35π cm2，S圆台底＝25π cm2，

故所求几何体的表面积为68π cm2.

由V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π(cm3)，V半球＝π×23×＝π(cm3)，

所以所求几何体的体积为

V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3).

反思感悟　熟记各类空间几何体的表面积公式和体积公式.

跟踪训练1　如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)

A.      B.

C.      D.

答案　A

解析　＝－－＝.

二、空间中的平行关系

1.判断线面平行的两种常用方法

面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：

(1)利用线面平行的判定定理.

(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.

2.判断面面平行的常用方法

利用面面平行的判定定理.

例2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.

解　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接BD与AC交于点O，连接FO，则PF＝PB.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是BD的中点，∴OF∥PD.

又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，

∴OF∥平面PMD.

又MA∥PB且MA＝PB，

∴PF∥MA且PF＝MA，

∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.

又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，

∴AF∥平面PMD.

又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，

∴平面AFC∥平面PMD.

反思感悟　

跟踪训练2　如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.

证明　∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC.

又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，

∴MN∥平面ABC.

∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC.

∵N为EC的中点，EC＝2BD，∴NC∥BD，NC＝BD.

∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC.

又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴DN∥平面ABC.

又∵MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，

∴平面DMN∥平面ABC.

三、空间中的垂直关系

1.判定线面垂直的方法

(1)线面垂直定义.

(2)线面垂直判定定理.

(3)平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α).

(4)面面垂直性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α).

2.判定面面垂直的方法

(1)面面垂直的定义.

(2)面面垂直的判定定理.

例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

证明　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，PA⊥AD，

所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.

又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD.

又因为AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF，所以CD⊥EF.

又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF，

所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，

所以平面BEF⊥平面PCD.

反思感悟

跟踪训练3　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.

(1)求证：AC⊥平面BCE；

(2)求证：AD⊥AE.

证明　(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，

所以AC＝BC＝2，

所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.

因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，

所以BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以BE⊥AC.

又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，

所以AC⊥平面BCE.

(2)因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以AF⊥AD.

又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.

又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，

所以AD⊥平面ABEF.

又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE.

四、空间角的求法

常见题型

1.异面直线所成角.

2.求直线与平面所成的角.

3.二面角的平面角.

例4　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：

(1)AO与A′C′所成角的大小；

(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；

(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.

解　(1)∵A′C′∥AC，

∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.

∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，

∴OC⊥AB，

又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO，

∴OC⊥平面ABO.

又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.

在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，

sin∠OAC＝＝，

∴∠OAC＝30°.

即AO与A′C′所成角为30°.

(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.

∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BC′，

∴OE⊥平面ABCD，

∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.

在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，

∴tan∠OAE＝＝.

即AO与平面ABCD所成角的正切值为.

(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.

又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.

即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.

反思感悟　(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).

(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).

(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法.

跟踪训练4　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.

(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小；

(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由.

解　(1)∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，

又PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.

又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，

又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，

∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角.

又直线PB与CD所成的角为45°，

∴∠PBA＝45°，PA＝AB.

∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，

即二面角P－CD－B的大小为45°.

(2)当点E在线段PC上，且满足PE∶EC＝1∶2时，

平面EBD⊥平面ABCD.理由如下：

连接AC交BD于点O，连接EO.

由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，

∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，∴PA∥EO.

∵PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD.

又EO⊂平面EBD，

∴平面EBD⊥平面ABCD.

1.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.

画图可知(图略)，R2＝R2＋r2，∴R2＝r2.

∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝πR2，

则所得截面的面积与球的表面积的比为＝.故选A.

2.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论：

①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直线B1D1与BC所成的角为45°.其中正确结论的个数为(　　)

A.4  B.3  C.2  D.1

答案　A

解析　在①中，由正方体的性质得，BD∥B1D1，

BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，

∴BD∥平面CB1D1，故①正确；

在②中，由正方体的性质得AC⊥BD，CC1⊥BD，

又AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面ACC1，

∴BD⊥平面ACC1，

又AC1⊂平面ACC1，

∴AC1⊥BD，故②正确；

在③中，由正方体的性质得BD∥B1D1，

由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，

同理可证AC1⊥CB1，

∵B1D1∩CB1＝B1，B1D1，CB1⊂平面CB1D1，

∴AC1⊥平面CB1D1，故③正确；

在④中，异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角，

故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角，

在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，

故直线B1D1与BC所成的角为45°，故④正确.

故选A.

3.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________.

答案　

解析　设三棱柱的高为h，

∵F是AA1的中点，∴三棱锥F－ADE的高为，

∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴S△ADE＝S△ABC，

∵V1＝S△ADE·，V2＝S△ABC·h，

∴＝＝.

4.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A，B两点)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个结论：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的结论是________.(填序号)

答案　②④

解析　由题意可知PA在平面MOB内，所以①不正确；因为M为线段PB的中点，OA＝OB，所以OM∥PA，又OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以MO∥平面PAC，②正确；当OC与AB不垂直时，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，而BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，所以④正确.综上所述，正确的结论是②④.

5.如图，在棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.

求证：(1)直线PA∥平面DEF；

(2)平面BDE⊥平面ABC.

证明　(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，

所以DE∥PA.

又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，

所以直线PA∥平面DEF.

(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，

所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.

又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，

所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.

又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.

因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，

所以DE⊥平面ABC.

又DE⊂平面BDE，

所以平面BDE⊥平面ABC.