集合的含义与表示练习题(附答案)

1．1  集合与集合的表示方法

 一、选择题

1．下列各组对象

①接近于0的数的全体；    ②比较小的正整数全体；

③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；

⑤的近似值的全体．

其中能构成集合的组数有(    )

A．2组    B．3组    C．4组    D．5组

2．设集合M＝{大于0小于1的有理数}，

N＝{小于1050的正整数}， 

P＝{定圆C的内接三角形}，

Q＝{所有能被7整除的数}，

其中无限集是(    )

A．M、N、P        B．M、P、Q

C．N、P、Q        D．M、N、Q

3．下列命题中正确的是(    )

A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义

B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合

C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合

D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合

4．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是(    )

A．第一象限内的点        B．第三象限内的点

C．第一或第三象限内的点    D．非第二、第四象限内的点

5．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，则(    )

A．x＋y∈M    B．x＋y∈X    C．x＋y∈Y    D．x＋yM

6．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是(    )

A．M＝{x∈R｜x2＋0.01＝0}，P＝{x｜x2＝0}

B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R}

C．M＝{y｜y＝t2＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)2＋1，y∈R}

D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z}

二、填空题

7．由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个．

8．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______．

9．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．

10．用符号∈或填空：

①1______N，0______N．－3______Q，0.5______Z， ______R．

②______R， ______Q，｜－3|______N＋，｜－｜______Z．

11．若方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的解集为{－2，－1}，则m＝______，n＝______．

12．若集合A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝______，b＝______．

13．方程组的解集为______．

14．已知集合P＝{0，1，2，3，4}，Q＝{x｜x＝ab，a，b∈P，a≠b}，用列举法表示集合Q＝______．

15．用描述法表示下列各集合：

①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________．

②{2，3，4}___________________________________________________________．

③______________________________________________________．

16．已知集合A＝{－2，－1，0，1}，集合B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，则B＝______．

三、解答题

17．集合A＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出这些元素来．

18．设A表示集合{2，3，a2＋2a－3}，B表示集合{a＋3，2}，若已知5∈A，且5B，求实数a的值．

19．实数集A满足条件：1A，若a∈A，则．

(1)若2∈A，求A；

(2)集合A能否为单元素集？若能，求出A；若不能，说明理由；

(3)求证：．

20．已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R

①若A是空集，求a的范围；

②若A中只有一个元素，求a的值；

③若A中至多只有一个元素，求a的范围．

21．用列举法把下列集合表示出来：

①A=

②B=

③C＝{y｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；

④D＝{(x，y)｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；

⑤E＝

22．已知集合A＝{p｜x2＋2(p－1)x＋1＝0，x∈R}，求集合B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}．

集合与集合的表示方法参

一、选择题

1．A  2．B  3．C  4．D  5．A

6．C解析：在选项A中，M＝，P＝{0}，是不同的集合；

在选项B中，有M＝{(x，y)｜y＝x2＋1≥1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1≥1，y∈R}，是不同的集合，在选项C中，y＝t2＋1≥1，t＝(y－1)2＋1≥1，则M＝{y｜y≥1}，P＝{t｜t≥1}，它们都是由不小于1的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因此，M和P是同一个集合，在选项D中，M是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，P是由…，2，6，10，14，…组成的集合，因此，M和P是两个不同的集合．答案：C．

二、填空题

7．2    8．x≠3且x≠0且x≠－1

根据构成集合的元素的互异性，x满足

解之得x≠3且x≠0且x≠－1．

9．2或4      10．①∈，∈，∈，，∈．②∈，，∈，．   11．m＝3，n＝2．

12．，．解析：由题意知，方程x2＋(a－1)x＋b＝0只有等根x＝a，则＝(a－1)2－4b＝0①，将x＝a代入原方程得a2＋(a－1)a＋b＝0②，由①、②解得.

13．{(1，0，2)}        14．Q＝{0，2，3，4，6，8，12}

15．①{x｜x＝2n，n∈N*且n≤6}，

②{x｜2≤x≤4，x∈N}，或{x｜(x－2)(x－3)(x－4)＝0}

③

16．B＝{0，1，2}解析：∵y∈A，∴y＝－2，－1，0，1，∵x＝｜y｜，∴x＝2，1，0，∴B＝{0，1，2}

三、解答题

17．解：有4个元素，它们分别是：

(1)底边为1，顶角为40°的等腰三角形；(2)底边为1，底角为40°的等腰三角形；

(3)腰长为1，顶角为40°的等腰三角形；(4)腰长为1，底角为40°的等腰三角形．

18．解：∵5 ∈A，且5B．

∴即

∴a＝－4

19．证明：(1)若2∈A，由于2≠1，则，即－1∈A．

∵－1∈A，－1≠1∴，即．

∵∴，即2∈A．

由以上可知，若2∈A，则A中还有另外两个数－1和∴．

(2)不妨设A是单元素的实数集．则有即a2－a＋1＝0．

∵∆＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，

∴方程a2－a＋1＝0没有实数根．

∴A不是单元素的实数集．

(3)∵若a∈A，则

∴，即．

20．解：①∵A是空集∴方程ax2－3x＋2＝0无实数根

∴解得

②∵A中只有一个元素，

∴方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根．

当a＝0时，方程化为－3x＋2＝0，只有一个实数根；

当a≠0时，令＝9－8a＝0，得，这时一元二次方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根，即A中只有一个元素．

由以上可知a＝0，或时，A中只有一个元素．

③若A中至多只有一个元素，则包括两种情形，A中有且仅有一个元素，A是空集，由①、②的结果可得a＝0，或．

21．解：①由9－x＞0可知，取x＝0，1，2，3，4，5，6，7，8验证，则x＝0，6，8时，3，9也是自然数，∴A＝{0，6，8}

②由①知，B＝{1，3，9}．

③∵y＝－x2＋6≤6，而x∈N，y∈N，

∴x＝0，1，2时，y＝6，5，2符合题意．

∴C＝{2，5，6}．

④点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则有

   ∴D＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}．

⑤由p＋q＝5，p∈N，q∈N*得

又∵，∴ 

22．解：由已知，＝4(p－1)2－4≥0，得P≥2，或P≤0，

∴A＝{p｜p≥2，或p≤0}，∵x∈A，∴x≥2，或x≤0．

∴2x－1≥3，或2x－1 ≤－1，∴B＝{y｜y≤－1，或y≥3}．