2020-2021学年北京市丰台区七年级(下)期末数学试卷(附答案详解)

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.数轴上表示的不等式的解集正确的是

A.  B.  C.  D. 

2.的平方根是

A. 3 B.  C.  D. 

3.如图，直线l与直线a、b分别相交，且，，则的度数是

A. 

B. 

C. 

D. 

4.空气是由多种气体混合而成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是

A. 条形图 B. 折线图 C. 扇形图 D. 直方图

5.如图，四边形ABCD中，AC，BD交于点O，如果，那么以下四个结论中错误的是

A. 

B. 

C. 

D. 

6.如果x，y满足方程组，那么的值是

A.  B. 2 C. 6 D. 8

7.2021年是中国党建党100周年暨红军长征胜利85周年．长征是中国党和中国事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图是红一方面军长征路线图，如果表示瑞金的点的坐标为，表示遵义会议的点的坐标为，那么表示吴起镇会师的点的坐标为

A. 

B. 

C. 

D. 

8.明代数学家程大位的著作算法统综中有一个“绳索量竿”问题：“一只竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索长几尺？”译文为：“现有一根竹竿和一条绳索，用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竹竿，就比竹竿短5尺，问绳索长几尺？”注：一托尺设绳索长x尺，竹竿长y尺，根据题意列方程组正确的是

A.  B.  C.  D. 

9.如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

10.已知关于x的不等式组有以下说法：

如果，那么不等式组的解集是

如果不等式组的解集是，那么

如果不等式组的整数解只有，，0，那么

如果不等式组无解，那么

其中所有正确说法的序号是

A.  B.  C.  D. 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.如果，那么的邻补角的度数为______

12.如图，利用直尺和三角板，过直线AB外一点P画直线CD，使，画图的依据是______．

14.写出一个c的值，说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是______．

15.某日小王驾驶一辆小型车到某地办事，上午9：00达，在路边的电子收费停车区域内停车．收费标准如图．

如果他9：50离开，那么应缴费______元；

如果他离开时缴费15元，那么停车的时长可能是______分钟．写出一个即可

16.在平面直角坐标系xOy中，对点P进行如下操作：把点P的横、纵坐标乘以同一个实数a，将得到的点先向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到点P的对应点如图，点A，B经过上述操作后得到的对应点分别是点，．

如果点经过上述操作后得到的对应点是点，那么点的坐标为______．

如果点D经过上述操作后得到的对应点与点D重合，那么点D的坐标为______．

三、解答题（本大题共10小题，共52.0分）

17.计算：．

18.解方程组：．

19.解不等式组：．

20.在平面直角坐标系xOy中，已知点，．

将线段AB向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，平移后得到对应线段，请画出线段，并写出点，的坐标；

平移线段AB得到线段，使得点A与点重合，写出一种由线段AB得到线段的运动过程．

21.为贯彻落实教育部印发的大中小学劳动教育指导纲要试行通知要求，培养学生劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从校七至九年级各随机抽取30名学生，对他们的每日平均家务劳动时长单位：进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．下面是其中的部分信息：

名学生每日平均家务劳动时长的频数分布表：

每日平均家务劳动时长在这一组的是：

小东每日平均家务劳动时长为37min．

根据以上信息，回答下列问题：

写出频数分布表中的数值______，______；

补全频数分布直方图；

小东每日平均家务劳动时长______样本中一半学生的每日平均家务劳动时长；填“超过”或“没超过”

学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长达到40min及以上的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有420名学生，请估计获奖的学生人数．

22.如图，点P为的角平分线OC上的一点，过点P作交OA于点M，过点P作于点当时，求的度数．

依题意，补全图形；

完成下面的解题过程．

解：于点N，

____________填推理的依据．

，

，

____________填推理的依据．

平分，且，

角的平分线的定义．

______

，

______

23.在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示，以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象．例如是方程的一个解，用一个点来表示，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象，方程的图象是图中的直线．

二元一次方程的图象是直线，在同一坐标系中画出这个方程的图象；

写出直线与直线的交点M的坐标；

过点且垂直于x轴的直线与，的交点分别为A，B，直接写出三角形MAB的面积．

24.课上教师呈现一个问题：

如图，，点E是线段AB，CD所在直线外的一点，连接BE，DE，探究，，

分析思路：

要寻求三个角之间的数量关系，根据图中角的位置特征，可以借助平行线进行角的位置的转换．

如图1，过点E作．

由可知；

由，得到，可知；

由，

得到结论：

如图2，类似图1的分析

得到结论：

根据以上材料，解答问题：

画出一种点E不在直线AB，CD之间的图形，写出探究，，之间的数量关系的分析思路及结论．

25.“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自2019年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：

某单位欲购买这两款玩具作为冬奥知识竞赛活动的奖品，要求“雪容融”的数量恰好等于“冰墩墩”的数量的2倍，且购买总资金不得超过9000元，请根据要求确定该单位购买“冰墩墩”玩具的最大数量．

26.在平面直角坐标系xOy中，已知点如果存在点，满足，，则称点N为点M的“控变点”．

点的“控变点”B的坐标为______；

已知点的“控变点”D的坐标为，求m，n的值；

长方形EFGH的顶点坐标分别为，，，如果点的“控变点”Q在长方形EFGH的内部，直接写出x的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：数轴上表示的不等式的解集是，

故选：C．

根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则得出不等式的解集即可．

本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意：不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果，则x是a的平方根．若，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．

首先根据算术平方根概念求出，然后求3的平方根即可．

【解答】

解：，

的平方根是．

故选：D．  

3.【答案】B

【解析】解：，

，

．

故选：B．

由，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，再利用对顶角相等即可得出的度数．

本题考查了平行线的性质以及对顶角，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．

4.【答案】C

【解析】解：根据题意，得

要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．

故选：C．

扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；

折线统计图表示的是事物的变化情况；

条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；

频数分布直方图清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．

此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点．

5.【答案】A

【解析】解：，

，

，，

故A符合题意；B，C，D不符合题意，

故选：A．

根据平行线的判定定理及性质定理判断即可得解．

此题考查了平行线的判定及性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．

6.【答案】D

【解析】解：，

，得

，

故选：D．

两个方程相减即可得．

本题考查了二元一次方程组的解，两式相减即可得．

7.【答案】D

【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示：吴起镇会师的点的坐标为．

故选：D．

由已知点建立平面直角坐标系，得出原点位置，即可得出答案．

此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．

8.【答案】A

【解析】解：设绳索长x尺，竹竿长y尺，由题意得：

，

故选：A．

根据题意可得等量关系：绳索长竿长尺，竿长绳索长的一半尺，根据等量关系可得方程组．

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程组．

9.【答案】B

【解析】解：用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，

大正方形的面积为：，

则大正方形的边长为：，

，

，

大正方形的边长最接近的整数是4．

故选：B．

根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．

此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．

10.【答案】B

【解析】解：不等式组整理得，

，

它的解集是，故本小题正确；

不等式组的解集是，

，故本小题正确；

不等式组的整数解只有，，0，则，故本小题错误；

不等式组无解，

，故本小题正确；

故选：B．

先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．

11.【答案】45

【解析】解：，

的邻补角的度数是，

故答案为：45．

根据邻补角互补求出答案即可．

本题考查了邻补角和对顶角，能熟记邻补角的定义是解此题的关键，注意：邻补角互补．

12.【答案】同位角相等，两直线平行

【解析】解：根据作图过程可知：

画图的依据是：同位角相等，两直线平行．

故答案为：同位角相等，两直线平行．

根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据．

本题考查了作图复杂作图、平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．

13.【答案】5或1

【解析】解：因为点到x轴的距离等于2，

所以，

即或，

解得或．

故答案为：5或1．

根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．

本题考查了点的坐标，熟知点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解答本题的关键．

14.【答案】答案不唯一

【解析】解：若，当时，，

故答案为：答案不唯一．

举出一个能使得或的一个c的值即可．

本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

15.【答案】  120

【解析】解：，

如果他9：50离开，那么应缴费元，

故答案为：；

设停车收取费用的时长为15分钟的n倍，

由题意得：，

解得：，

停车的时长可能是分钟，

故答案为：答案不唯一．

根据小型车首小时内收费标准进行即可求解；

设停车收取费用的时长为15分钟的n倍，根据小型车白天的收费标准列方程解答即可．

本题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

16.【答案】  

【解析】解：点A的横坐标为0，，

又平移的横坐标为，

，

，，

，

，，

，

，

故C．

设，由题意，，，

解得，，

．

故答案为：．

从点A的横坐标为0下手，求出，根据点B的横坐标的变化情形，求出a，n，可得结论．

设，构建方程求解即可．

本题考查了作图平移变换，解题的关键是学会观察，从点A的横坐标入手，求出m，再从点B的横坐标入手，求出a，n，由此即可解决问题．

17.【答案】解：原式 

．

【解析】直接利用立方根、算术平方根、绝对值的性质分别化简得出答案．

此题主要考查了立方根、算术平方根、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．

18.【答案】解：，

，得，

解得：，

把代入，得，

解得：，

所以方程组的解是．

【解析】得出，求出x，再把代入求出y即可．

本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

19.【答案】解：，

解不等式得：，

解不等式得：，

则不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20.【答案】解：如图，线段为所作，点的坐标为，点的坐标为；

如图，线段AB向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度，平移后得到对应线段．

【解析】利用点平移的坐标变换规律写出点，的坐标，然后描点即可；

利用点A与B1的坐标特征得到平移的方向与距离．

本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

21.【答案】12  21  没超过

【解析】解：由频数分布直方图知，

则，

故答案为：12、21；

补全频数分布直方图如下：

样本中一半学生的每日平均家务劳动时长为，

所以小东每日平均家务劳动时长没超过样本中一半学生的每日平均家务劳动时长，

故答案为：没超过；

如果该校七至九年级共有420名学生，估计获奖的学生人数为人．

由频数分布直方图可得m的值，再由各组人数之和等于总人数可得n的值；

根据以上所求结果可补全图形；

计算出样本中后45个数据的平均数，再比较即可得出答案；

用总人数乘以样本中第5、6组人数所占比例即可．

本题主要考查频数分布直方图和平均数的定义及样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

22.【答案】90  垂直的定义    两直线平行，内错角相等  30  60

【解析】解：依题意，补全图形如图所示； 

于点N，

垂直的定义填推理的依据．

，

，

两直线平行，内错角相等填推理的依据．

平分，且，

角的平分线的定义．

．

，

．

故答案为：90，垂直的定义；，两直线平行，内错角相等；30；60．

根据题意，补全图形即可；

根据垂直的定义得到，根据平行线的性质得到，，根据角平分线的定义得到，于是得到结论．

本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．

23.【答案】解：画出方程的图象如图所示，

由解得，

直线与直线的交点M的坐标；

把代入求得，

把代入求得，

，，

，

三角形MAB的面积为：．

【解析】在同一坐标系中画出方程的的图象即可；

方程组的解即为两个方程的图象的交点坐标；

求得A、B的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．

本题主要考查的是二元一次方程组的解及其直线方程的图象，解题的关键是学会利用图象法解决问题，体现了数形结合的思想．

24.【答案】解：如图3，，点E是线段AB，CD所在直线外的一点，连接BE，DE，探究，，之间的数量关系．

分析思路：要寻求三个角之间的数量关系，根据图中角的位置特征，可以借助平行线进行角的位置的转换．

如图3，过点E作．

由可知；

由，得到，可知；

由，

得到结论：．

如图4，过点E作，

，

，

，，

又，

．

【解析】画出图形，如图3过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据图形可得结论，如图4，过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据整理即可得证．

本题考查了平行线的性质，根据给出的材料作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．

25.【答案】解：设“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为x、y元，

则，

解方程组得：

，

答：“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为118、75元．

设“冰墩墩”玩具的数量为m个，则“雪容融”玩具为2m个．

则，

解得：，

正整数m最大为33，

答：该单位购买“冰墩墩”玩具的最大数量为33．

【解析】分别设出冰墩墩和雪容融的单价，根据题中的等量关系列出方程组，解方程组，最后作答．

设出冰墩墩玩具为m个，列出不等式，取最大整数解即可．

本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，读懂题意，列出对应的方程组或不等式是解题的关键．

26.【答案】

【解析】解：设点B坐标为，

由题意可得：，，

点B坐标为，

故答案为：；

由题意可得：，，

解得：或，或2，

的值5或，n的值为6或2；

由题意可得点，

点Q在长方形EFGH的内部，

，，

解得：或，

的取值范围为或．

由“控变点”的定义可求解；

由“控变点”的定义列出方程可求解；

由“控变点”的定义列出不等式可求解．

本题是四边形综合题，考查了长方形的性质，掌握“控变点”的定义是解题的关键．