小学奥数难题汇编50道精选(四)(31-40)

31.牛吃草

有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？

【解析】这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。

把每头牛每天吃的草看作1份。

因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份

所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份

因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份

所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份

所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份

所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份

所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份

第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份

新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛

所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。

两种解法：

解法一：

设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(头)。

解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量(28*45-30*30)/(45-30)=24；15亩原有草量：1260-24*45=180；15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头。

32.慢车的车速是多少

有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这三辆车分别用3分钟，5分钟，8分钟分别追上骑车人．已知快速车每小时54千米，中车速每小时39．6千米，那么慢车的车速是多少（假设骑车人的速度不变）？

分析 根据题意先画出线段图，如图5-2．

从图5-2可以看出，要求慢车的车速，只要求出慢车行8分钟的路程.慢车8分钟的路程等于路程ab加上路程be．ab表示三车出发时骑车人已骑出的一段距离，这段距离用快车行3分钟的路程ac减去骑车人行3分钟的路程bc得到，骑车人3分钟行的路程是多少，关键求出骑车人的速度，由图中可以看出，中速车行5分钟的路程ad减去快车行3分钟的路程ac恰好为路程cd，路程cd是骑车人5-3=2分钟行的路程，于是求出了骑车人的速度．be表示骑车人8分钟行的路程，也就容易求出，这样慢车的速度便可以迎刃而解了．

解：快车速度54千米／小时=900米／分钟

中速车速度39．6千米／小时=660米／分钟

（1）骑车人的速度

（660×5-900×3）÷（5-3）=300（米／分钟）

（2）三车出发时骑车人距三车出发地的距离

900×3-300×3=1800（米）

（3）慢车8分钟行的路程

1800+300×8=4200（米）

（4）慢车的车速

4200÷8=525（米／分）=31.5千米／小时

答：慢车的车速为每小时31.5千米．

33.马吃草

20匹马72天可吃完32公顷牧草，16匹马54天可吃完24公顷的草．假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷草每天的生长速度相同．那么多少匹马36天可吃完40公顷的牧草？

分析：同例1一样，解这个题的关键在于求出每公顷每天新长的草量及每公顷原有草量即可．

设1匹马吃一天的草量为一份．20匹马72天吃32公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上72天新长的草量，可供20×72÷32=45匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上72天新长的草量为45份．同样，由16匹马54天吃24公顷的草量，知每公顷原有牧草加上54天新长的草量为16×54÷24=36份．这两者的差正好对应了每公顷72-54=18天新长的草量，于是求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决．

解：（1）每公顷每天新长的草量

（20×72÷32-16×54÷24）÷（72-54）

=0.5（份）

（2）每公顷原有草量

20×72÷32-0.5×72=9（份）

或16×54÷24-0.5×54=9（份）

（3）40公顷原有草量

9×40=360（份）

（4）40公顷36天新长的草量

0.5×36×40=720（份）

（5）40公顷的牧草36天吃完所需马匹数

（360+720）÷36=30（匹）

答：30匹马36天可吃完40公顷的牧草．

34.计算器上的一与零

如果你只能按计算器上1与0两个数字键，请试试看你是否能用不同的方式得出其他的数字。

例如，要想得到120，你可以按下

第一种方式需要按键9次，其他两种方式只需7次，因此后两种是比较有效率的方式。

请用最有效率的方式，在计算器上得出下列数字：

(1)77 (2)979 (3)1432

(4)1958 (5)2046 (6)15983

分析与解答：

(1) 100-11-11-1= 按12次键

或 10-1-1-1×11=

(2) 100-11×11= 按10次键

以这样的方式按键，有些计算器会得到-21，因此，最后的按法应该是：

100-11＝×11

或 1000-11-10= 按11次键

(3) 11×＝×11＋101= 按12次键

(4) 100-11×11= 按14次键

(5) 1+111-= 按10次键

(6) 11＋1×＝×111-1= 按13次键

在你用计算器核对这些运算时，可能会得到不一样的答案。即使是同一牌号的计算器，同样的按键次序也可能得到不同的答案，所以你必须彻底了解你所用的计算器。例如：

a-b×c

有的计算器会把它当作是(a-b)×c，有的则当作是a-(b×c)。

35.交叉的梯子

在两栋房屋之间的巷道里有两个梯子靠在墙上。AB长8m，CD长10m。

两个梯子的交叉点距地面4m。请问这两栋房屋相距多远？

分析与解答：

这个题目历史悠久，但并不如想象的那么容易。

根据勾股定理，可得

AC2＝102-a2=82-b2

因此 a2-b2＝36 (1)

利用相似三角形的特性，可得：

重新整理(2)式得：

将b代入(1)式得：

整理之后得到下列四次方程式：

a4-8a3-36a2＋288a-576＝0

用试误法，或是更复杂的数值分析法，可以得到：

9.25＜a＜9.255

因此 AC≈3.8m

还有一个类似的问题，也是听起来简单，但实际去做却相当困难：用一条绳子把一只羊拴在一块圆形草地边缘的木桩上。如果羊只能吃到一半草地的草，绳子长度是多少？

36.使用计算器的能力

艾伦、贝蒂和卡罗想出一种游戏，来检验彼此使用计算器的能力。这个游戏是要用最有效的方式，在计算机上依序得出1到20的整数。这并不像听起来那么容易，因为他们规定，每次按下的数字必须依照大小次序，从1开始，而且不得重复。例如按下3之后，下一次必须按4。

游戏进行到求8时，各人的按法如下：

艾伦的按法是-1＋2＋3＋4=

贝蒂的按法是1×23=

卡罗的按法是.1-2=

在求得某个数字时，按键次数最少的人得分；如果按键次数一样，则输入数字最小的人得分。以上面的情形为例，艾伦按了9个键，贝蒂和卡罗则只接了6个键。然而，卡罗只按了1和2两个数字，因此由他得到分数。

分析与解答：

这个游戏鼓励学生去探索计算器所具有的功能。例如，CASIO HL-807型计算器就有一种功能，在按下 

1＋＝＝＝= 

之后，会得到4，也就是按下n个等号键就会得到n。 

使用记忆键也能得到类似的答案，不过这并不一定是最有效的方式。例如按下 

1 

之后会得到6，总共接了8次键。 

但是按 

1＋2＋3= 

也会得到6，而只需按6次键。 

或是按下 

1×2×3= 

或 1＋2==(使用CASIO HL-807) 

或 1＋2= 

都可以。 

下面所列的是使用 CASIO fx-8100计算器按出1到20的方法，但不一定是最好的答案！ 

按键次数 

1：1 1 

2：1×2 3 

3：1＋2＝ 4 

4： 1×2×＝ 5 

5：.1÷2＝ 6 

6：1×2×3＝ 6 

7：1＋2×3＝ 6 

8：.1-2= 6 

9：1+2＝×＝ 6 

10：.1 3 

11：1-2＋3×4＝ 8 

12：.1+2= 6 

13：1＋23＋4＝ 8 

14：1×2＋3×4＝ 8 

15：.1÷2×3= 8 

16：1×2×＝×= 7 

17：.1×2-3= 8 

18：1＋2＝×= 9 

19：1×2×＝×＝＋3＝ 10 

20：.1×2＝ 6 

37.飞镖游戏

由于飞镖游戏日渐流行，一个飞镖团体决定把称作“501分”的比赛稍作修改，使得它更具有挑战性。新的规定是每一回合的总分必须是质数才能列入记录。

每一回合，每一位参加比赛的人掷3支飞镖，每支飞镖可能得到的分数是1、2、3、…20，或是这些分数的2倍或3倍。如果飞镖射中“内圈”，可以得到25分，如果射中靶心，则得50分。如果飞镖没有射到靶盘，就算得0分。

例如某一回合的比赛，3支飞镖射中3倍20、2倍12和5分，那么总分就是，是个质数，因此可以列入记录。如果每支飞镖都射中3倍30，虽然总分高达180，但因不是质数，所以不算。

3种可被列入记录的最高总分各是多少？

要想达到501分，最少要经过几个回合？

如果比赛必须掷出“2倍”分数后才能结束，那么参加比赛的人最少需投掷几支飞镖才可以获胜？

这个游戏的另一种玩法，就是从501分开始倒推，与每一回合总分的差是质数时才列入记录(此时每一回合的总分不必是质数)。

请证明，在第九支飞镖射中一个2倍分数后，就可使差为0。

分析与解答：

3种最高的分数是：

167＝3倍20＋3倍19+靶心

157=靶心+靶心+3倍19

151＝3倍19＋3倍18+2倍20

因为501=3×167，因此最少只需3个回合就可以得到501分，当然玩的人必须是位高手。

如果飞镖射中2倍分数区后才能结束比赛，那么这一回合就不可能得到167分，因此就需要进行第五回合。如果第四回合的分数是质数，那么它一定是奇数，这样 第五回合的得分也必须是奇数；又由于在第五回合必须得一个2倍分数才能结束，因此第五回合至少要掷2支飞镖。以14支飞镖得到501分的方法之一如下：

第一回合：3倍20＋3倍19+靶心 167

第二回合：3倍20＋3倍19+靶心 167

第三回合：3倍20＋3倍20＋7 127

第四回合：20＋15＋2 37

用9支飞镖使分数差为0，且每一回合总分的差均为质数的一种方法如下：

38.步步为营的战略

由图中的左上角开始，走过一个方格到达1，再走两个方格到达2，然后再走3个方格到达3，以此类推。行进过程中不得重复经过某一方格，最后要到达右下角的8。

只能直走或横走，不得沿对角线走。

请找出这样的路线。

分析与解答：

上面的答案是当初设计题目时的依据。显然用这些数字还可以排出许多其他的路线。利用不同方格的数字可以找到其他不同的答案，只不过这些答案绝非事先安排好的！ 

解这类问题的重要步骤，就是要以充分的耐心，由路线两端有系统地推敲。要自行设计出一个类似的问题并不困难，而且很值得一试。 

39.一座中古世纪的修道院

有一坐中古世纪的修道院围绕着正方形的中庭，中庭里有一口井，僧侣们都是从这口井中汲取饮用水。这口井的位置与3个相邻顶点的距离分别是30m、40m、50m。请问这个中庭有多大？

分析与解答：

中庭的边长大约是56.54m。

这个题目其实很简单，利用勾股定理、代数运算，再加上一个计算器，就能轻易地得出答案。由图可知：

x2＋(a-y)2＝900 (1)

(a-x)2＋y2＝2 50 (2)

x2＋y2＝1 600 (3)

(1)-(3)得

a2-2ay＋700＝0 (4)

(2)-(3)得

a2-2ax-900＝0 (5)

把由第(4)式和第(5)式所得的x、y代入第(3)式：

a4-3 400a2+650 000=0

再把这个式子当作a2的二次方程求解

40.巧用数字来填空

请找出下列数列的规律，把数字填满，并写出16之后的下一个数字是多少？

(1)1，-，7，-，-，16

(2)1，-，-， 7，-，16

(3) 1，-，-，-，7，16

还有哪些规则，可以在1与16之间填入4个数字？

分析与解答：

理论上会有无限多种可能，这个题目的目的是要强调有许多方式可以完成一个数列。 

(1)1，4，7，10，13，16，19。每次加3。 

(2)1，2，4，7，11，16，22。每次加的数比上次多1。 

(3)1，6，3，10，7，16，13。前后项的差有两种：加上5、7、9、…，与减去3。 

1与16的差是15，因此有一种产生数列的方法是找到某种形式的5个差，其差的总和为15。例如，1，6，1，6，1的总和是15，故可产生如下的数列： 

1，2，8，9，15，16 

再如，7，-3，7，-3，7的总和也是15，因此可以产生下面的数列：1，8，5，12，9，16