第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷初一组答案及详细解析

一、填空（每题10分，共80分） 1、计算：=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯

-3553134217685.17130998-解析：3576306113999820171315130130⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-⨯--⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

2、“b 的相反数与a 的差的一半的平方”的代数表达式为 。解析：2

2

22⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b a b 或

3、规定符号“⊕”为选择两数中较大者，规定符号“⊙”为选择两数中较小者，例如：3⊕5=5，3⊙5=3，

则

解析：

400.726001271211211367⨯

==+ 已知 5-=-n m ，1322=+n m ，那么 44n m += 97 。解析：

4、

22224422222()(5)6,()(6)()()2=m n m n m n m n m n m n -=-→⨯=-⨯=-+=+-代入数据，原式97

5、用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，则这个立体的表面积最多是 48 。

图1（从上向下看） 图2（从正面看）

解析：从两个视图可知，该立体的排布最多如图所示，则表面积最多为48 6、满足不等式|13|22|1|3+>--n n n 的整数n 的个数是 5 。

解析：n-1=0 则n=1， 3n+1=0 则n=-1/3

当n-1>=0时，n>=1， 3(n-1)-2n>2(3n+1)，5n<-5 ，n<-1, 则n 无解

当-1/32(3n+1)，3-5n>6n+2，n<1/11 ,则-1/32(-3n-1),n>-5,则-57、某年级原有学生280人，被分为人数相同的若干个班。新学年时，该年级人数增加到585人，仍被分为人数相同的若干个班，但是多了6个班，则这个年级原有 7 个班。

解析：设原有x 个班，原来每个班有a 人，现在每个班有b 人，根据题意得：280

5856a x b x ⎧=⎪⎪⎨

⎪=⎪+⎩∵由于585为

奇数，因此对任意偶数x ，x+6都不可能整除585，这样x 只能取1，5，7，35，其中满足条件的只有7，

∴7为唯一解．

8、如果锐角三角形的三个内角的度数均为整数，并且最大角是最小角的5倍，那么这个三角形的最大角的度数是 85 。

解析：设最小角是x ，则最大角是5x ，中间一个是180-x-5x=180-6x ，∵该三角形是锐角三角形，∴x ≤180°-6x ≤5x ＜90°，∴

4

16

11≤x ＜18，∴x=17°，∴5x=85°．故答案为：

85

二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9、已知a ，b ，c 都是整数，当代数式 c b a 327++ 的值能被13整除时，那么代数式 c b a 2275-+的值是否一定能被13整除，为什么？

解析：设x ，y ，z ，t 是整数，并且假设 )(13)327(2275tc zb ya c b a x c b a +++++=-+（1），比较上式a ，b ，c 的系数，应当有5137=+y x ，7132=+z x ，22133-=+t x （2），取 3-=x ，可以得到 2=y ，1=z ，

1-=t ，则有c b a c b a c b a 2275)327(3)2(13-+=++--+（3），既然 )327(3c b a ++和)2(13c b a -+都能被13

整除，c b a 2275-+就能被13整除。

【说明】 c b a 2275-+表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取10=x ，则有 5-=y ，1-=z ，4-=t ，则有)45(13)327(102275c b a c b a c b a ++-++=-+实际上，（2）是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到k x 133+-=，k y 72-=，这里k 是任意整数，将 k x 133+-=代入其余方程，解得k z 21-=，k t 31--=，这里k 是任意整数，则可以有

])31()21()72[(13)327)(133(2275c k b k a k c b a k c b a --+-+-++++-=-+

10、如图3所示，在四边形ABCD 中，ND MN AM ==，FC EF BE ==，四边形ABEM ，MEFN ，NFCD 的面

积分别记为1S ，2S 和3S ，求

3

12

S S S +=？

（提示：连接AE 、EN 、NC 和AC ）

解析：如图3a ，连接AE 、EN 和NC ，易知由 MEN AEM S S ∆∆=， EFN CNF S S ∆∆=，两个式子相加得

2S S S CNF AEM =+∆∆ （1）并且四边形AECN 的面积=22S 。 连接AC ，如图3b,由三角形面积公式，易

知

AEC ABE S S ∆∆=

21， CNA

CDN S S ∆∆=21

，两个式子相加得：212ABE CDN AECN S S S S ∆∆+==四边形 （2）,将（1）

式和（2）相加，得到22S S S S S CDN ABE CNF AEM =+++∆∆∆∆，既然1S S S ABE AEM =+∆∆,3S S S ABE CNF =+∆∆

因此 2312S S S =+， 21312=+S S S 。 答：21

312=

+S S S

11、图4是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数。请写出这个9位数，简单说明理由。

解析：填数的方法是排除法，用（m ，n ）表示位于第m 行和第n 列的方格。第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图4左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格 子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图4右下角的“小九宫”格中的数字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图4中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所以，7应当填在（9，8）；3自然就填在（9，9）了，填法如图。九位数是 495186273。 12、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由） 解析：（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法。因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出1个三角形。但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这6个点为顶点

可以构造 20

1234

56=⨯⨯⨯⨯个不同的三角形。

（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形。

（3）用英文大写字母A 、B 、C 、D 、E 、F 记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母。这里不同的英文大写字母仅有6个。因此，这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点，无妨设为A 。根据假设，这3个三角形两两没有公共边，即除去公共顶点A 之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同。但是，除A 之外，我们仅有5个不同的字母。所以，不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边。

又显然ABC ∆，ADE ∆，BDF ∆和CEF ∆这4个三角形两两没有公共边。所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边。

三、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）

13、壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”。已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁。请回答：谁是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？ 解析：设刘芳的年龄为x 岁。

① 刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳。注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳。

②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为227x -（） 路路)36(x -岁，他的妈妈应当是 )2736(+-x 岁，和为 )299(x - 菲菲)29(-x 岁，她的妈妈应当是 )2729(+-x 岁，和为 )312(-x 由于6个人共105岁，所以，105)312()299()272(=-+-+-x x x 。

③解出x=32,菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；路路和王

雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁。

答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁。

14、请回答：81能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？81

能否表示为3个互异的完全平方数的倒数

的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由。

解析：（1）由于1

613121=++，故有 4812411616131218181++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=。所以，8

1能表示为3个互异的正整数的倒

数的和（表示法不唯一）。

（2）不妨设c b a <<，现在的问题就是寻找整

a ，

b ，

c ，满足 2

2211181c

b a ++=由

c b a <<，则有 222

111a

b c <<，

从而 2

2223

11181a

c b a <++=,所以 242

<

a 。又有2

181a

>，所以 82>a ，故92

=a 或16。

若92

=a ，则有

721

91811122

=-=+c

b ，由于

21

721b

<，并且

721

112222

=+>c

b b ，所以 722

>b ，

144722

<=b ，100或121。将 812

=b 、100和121分别代入

72

72222-=

b b

c ，没有一个是完全平方数，说明当 92

=a

时，2

2211181c

b a ++=无解。若 162

=a ，则

161

161811122

=-=+c

b 。类似地，可得：

32162<925

1616

162

22⨯=-=

b b

c 不是整数。

综上所述，81

不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和。