2020-2021学年江苏省南京师大附中高一(下)期中数学试卷 (解析版)

一、单项选择题（共8小题）.

1．已知O、A、B是平面上三点，直线AB上有一点C满足+3＝，则＝（　　）

A．﹣    B．+    C．    D．+

2．已知正方形ABCD的边长为3，＝（　　）

A．3    B．﹣3    C．6    D．﹣6

3．已知平面向量＝（2，4），＝（﹣1，2），若＝﹣（•），则||等于（　　）

A．4    B．2    C．8    D．8

4．已知α﹣β＝，且cosα+cosβ＝，则cos（α+β）等于（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

5．已知sinθ＝，＜θ＜3π，那么tan+cos的值为（　　）

A．﹣3    B．3﹣    C．﹣3﹣    D．3+

6．已知a为正整数，tanα＝1+lga，tanβ＝lga，且α＝β+，则当函数（θ∈[0，π]）取得最大值时，θ＝（　　）

A．    B．    C．    D．

7．△ABC中若有，则△ABC的形状一定是（　　）

A．等腰三角形    B．直角三角形    

C．锐角三角形    D．等腰直角三角形

8．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

二、多项选择题（共4小题）.

9．已知复数z1＝2+i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足是纯虚数，则（　　）

A．＝1﹣2i    B．＝1+2i    

C．z2的虚部为﹣2    D．z2的虚部为2

10．下列四个等式其中正确的是（　　）

A．tan25°+tan35°+tan25°tan35°＝    

B．＝1    

C．cos2﹣sin2＝    

D．﹣＝4

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（　　）

A．若a＝5，b＝10，A＝，则符合条件的三角形不存在    

B．若bcosC+ccosB＝asinA，则△ABC为直角三角形    

C．若A＞B，则tanA＞tanB    

D．若A＞B，则cos2B＞cos2A

12．已知（ω＞0），则下列说法正确的是（　　）

A．若y＝|f（x）|的最小正周期为π，则ω＝2    

B．若f（x）在（0，π）内无零点，则    

C．若f（x）在（0，π）内单调，则    

D．若ω＝2时，直线是函数f（x）图象的一条对称轴

三、填空题（共4小题）.

13．在复平面内，对应的复数是1﹣i，对应的复数是2i﹣3，则对应的复数是　     　．

14．cos271o+cos249o+cos71°cos49°＝　              　．

15．如图所示，位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45o，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则BC＝　              　海里，cosθ＝　              　．

16．对于集合{θ1，θ2，θ3，⋅⋅⋅，θn}和常数θ0，定义：为集合{θ1，θ2，θ3，⋅⋅⋅，θn}相对θ0的“余弦方差”．集合相对常数θ0的“余弦方差”是一个常数T，则T＝　              　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC＝2，求BC．

18．已知平面向量．

（1）若，且，求的坐标；

（2）当k为何值时，与垂直；

（3）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．

19．已知向量＝（cosα，sinβ+2sinα），＝（sinα，cosβ﹣2cosα），且∥．

（1）求cos（α+β）的值；

（2）若α，β∈（0，），且tanα＝，求2α+β的值．

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinA＝4bsinB，ac＝（a2﹣b2﹣c2）．

（1）求cosA的值；

（2）求sin（2B﹣A）的值．

21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC是锐角三角形，且b＝1，求△ABC面积的取值范围．

22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（1）求tanA+tanB的值；

（2）求cos2A+cos2B的最大值．

参

一、单项选择题（共8小题）.

1．已知O、A、B是平面上三点，直线AB上有一点C满足+3＝，则＝（　　）

A．﹣    B．+    C．    D．+

解：＝，

∴．

故选：D．

2．已知正方形ABCD的边长为3，＝（　　）

A．3    B．﹣3    C．6    D．﹣6

解：如图；

因为正方形ABCD的边长为3，＝2，

则•＝（+）•（﹣）＝（+）•（﹣）＝﹣•﹣＝32﹣×32＝3．

故选：A．

3．已知平面向量＝（2，4），＝（﹣1，2），若＝﹣（•），则||等于（　　）

A．4    B．2    C．8    D．8

解：∵向量＝（2，4），＝（﹣1，2）

∴

∴＝（2，4）﹣（﹣6，12）＝（8，﹣8）

∴

故选：D．

4．已知α﹣β＝，且cosα+cosβ＝，则cos（α+β）等于（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

解：因为cosα+cosβ＝2coscos＝cos＝，

则cos（α+β）＝2cos2﹣1＝2×﹣1＝﹣．

故选：D．

5．已知sinθ＝，＜θ＜3π，那么tan+cos的值为（　　）

A．﹣3    B．3﹣    C．﹣3﹣    D．3+

解：∵sinθ＝，＜θ＜3π，∴cosθ＝﹣＝﹣，∈（，），

∴sin＝﹣＝﹣，cos＝﹣＝﹣，∴tan＝＝3，

∴tan+cos＝3﹣，

故选：B．

6．已知a为正整数，tanα＝1+lga，tanβ＝lga，且α＝β+，则当函数（θ∈[0，π]）取得最大值时，θ＝（　　）

A．    B．    C．    D．

解：已知α＝β+，所以，

所以tan（α﹣β）＝1＝＝1，

解得a＝1或a＝（舍去）．

则f（x）＝sin＝，

由于θ∈[0，π]，所以．

则当，即时，函数f（x）取得最大值．

故选：C．

7．△ABC中若有，则△ABC的形状一定是（　　）

A．等腰三角形    B．直角三角形    

C．锐角三角形    D．等腰直角三角形

【解答】证明：∵在△ABC中，

∴sin（A+B）＝

∴2sincos＝

∴2cos2﹣1＝0

∴cos（A+B）＝0

∴A+B＝，即C＝，

∴△ABC是直角三角形．

故选：B．

8．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

解：∵，F为BC的中点，

∴，，

设＝＝＝，

又，

∴，解得m＝．

故选：A．

二、多项选择题：本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分.

9．已知复数z1＝2+i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足是纯虚数，则（　　）

A．＝1﹣2i    B．＝1+2i    

C．z2的虚部为﹣2    D．z2的虚部为2

解：设z2＝1+bi（b∈R），

∵z1＝2+i，∴，

则＝（2﹣i）（1+bi）＝2+2bi﹣i﹣bi2＝（2+b）+（2b﹣1）i，

由题意，，解得b＝﹣2．

∴，故A错误，B正确；

z2的虚部为﹣2，故C正确，D错误．

故选：BC．

10．下列四个等式其中正确的是（　　）

A．tan25°+tan35°+tan25°tan35°＝    

B．＝1    

C．cos2﹣sin2＝    

D．﹣＝4

解：对①：tan60°＝tan（25°+35°）＝＝，故tan25°+tan35°+tan25°tan35°＝，故正确；

对②：＝tan45°＝1，故＝，故错误；

对③：cos2﹣sin2＝cos＝，故错误；

对④：﹣＝＝＝＝4，故正确．

故选：AD．

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（　　）

A．若a＝5，b＝10，A＝，则符合条件的三角形不存在    

B．若bcosC+ccosB＝asinA，则△ABC为直角三角形    

C．若A＞B，则tanA＞tanB    

D．若A＞B，则cos2B＞cos2A

解：对于A：由于a＝5，b＝10，A＝，则利用正弦定理：，解得sinB＞1，与三角函数的值的范围矛盾，故该三角形不存在，故A正确；

对于B：若bcosC+ccosB＝asinA，利用正弦定理：sinBcosC+sinCcosB＝sinAsinA，故sin（B+C）＝sinA＝sin2A，由于sinA＞0，故sinA＝1，所以A＝，故△ABC为直角三角形，故B正确；

对于C：当时，tanA＜tanB，故C错误；

对于D：由于A＞B，所以a＞b，整理得sinA＞sinB，

故sin2A＞sin2B，整理得1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，

所以cos2B＞cos2A，故D正确；

故选：ABD．

12．已知（ω＞0），则下列说法正确的是（　　）

A．若y＝|f（x）|的最小正周期为π，则ω＝2    

B．若f（x）在（0，π）内无零点，则    

C．若f（x）在（0，π）内单调，则    

D．若ω＝2时，直线是函数f（x）图象的一条对称轴

解：函数＝＝sin（ωx﹣），

对于A：当ω＝2时，f（x）＝sin（2x﹣）的最小正周期为π，由于函数|f（x）|的周期减半，则最小正周期为，故A错误；

对于B：令x＝0，，由于x∈（0，π），所以，

由于f（x）在（0，π）内无零点，x＝0是sinx的零点，

所以，

故，故B正确；

对于C：由于sinx在[]上单调递增，所以，

所以，故C正确；

对于D：当ω＝2时，函数f（）＝sin（﹣）＝1，故直线是函数f（x）的一条对称轴，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．在复平面内，对应的复数是1﹣i，对应的复数是2i﹣3，则对应的复数是　4﹣3i　．

解：∵对应的复数是1﹣i，对应的复数是2i﹣3，

∴＝（3﹣2i）+（1﹣i）＝4﹣3i．

故答案为：4﹣3i．

14．cos271o+cos249o+cos71°cos49°＝　　．

解：设x＝cos271o+cos249o+cos71°cos49°，

y＝sin271o+sin249o+sin71°sin49°，

所以x+y＝2+cos22°，①，

x﹣y＝﹣﹣cos22°，②，

①+②得：x＝．

故答案为：．

15．如图所示，位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45o，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则BC＝　10　海里，cosθ＝　　．

解：如图所示，在△ABC中，AB＝30，AC＝20，∠BAC＝90°+45°＝135°，

由余弦定理得，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos135°＝+202﹣2×30×20×（﹣）＝3400，

解得BC＝10，

正弦定理得＝，

所以sin∠ACB＝＝＝，

由∠BAC＝135°知∠ACB为锐角，

所以cos∠ACB＝＝＝＝．

所以cosθ＝cos（∠ACB+45°）＝cos∠ACBcos45°﹣sin∠ACBsin45°＝×﹣×＝．

故答案为：10，．

16．对于集合{θ1，θ2，θ3，⋅⋅⋅，θn}和常数θ0，定义：为集合{θ1，θ2，θ3，⋅⋅⋅，θn}相对θ0的“余弦方差”．集合相对常数θ0的“余弦方差”是一个常数T，则T＝　　．

解：集合相对常数θ0的“余弦方差”是一个常数T，

可得μ＝

＝

＝

＝．

所以此时“余弦方差”是一个常数，且常数为．

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC＝2，求BC．

解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．

∴由正弦定理得：＝，即＝，

∴sin∠ADB＝＝，

∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，

∴cos∠ADB＝＝．

（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，

∵DC＝2，

∴BC＝

＝＝5．

18．已知平面向量．

（1）若，且，求的坐标；

（2）当k为何值时，与垂直；

（3）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．

解：（1）平面向量，

∵，∴＝λ•（﹣1，2），

由＝，∴λ＝±2，

当λ＝2时，的坐标为（﹣2，4）；当λ＝﹣2时，的坐标为（2，﹣4）．

（2）由于与垂直，＝（k﹣3，2k﹣2），＝（10，8），

∴（）•（）＝（k﹣3，2k﹣2）•（10，8）＝10k﹣30+8（2k﹣2）＝0，

∴k＝．

（3）∵与的夹角为锐角，+λ＝（1﹣3λ，2﹣2λ），

∴•（+λ）＞0 且与不平行，

∴1﹣3λ+2（2﹣2λ）＞0，且≠，

解得λ＜ 且λ≠0．

19．已知向量＝（cosα，sinβ+2sinα），＝（sinα，cosβ﹣2cosα），且∥．

（1）求cos（α+β）的值；

（2）若α，β∈（0，），且tanα＝，求2α+β的值．

解：（1）因为∥，

所以cosα（cosβ﹣2cosα）﹣sinα（sinβ+2sinα）＝0，

所以（cosαcosβ﹣sinαsinβ）＝2（sin2α+cos2α）＝2，

所以cos（α+β）＝2，即cos（α+β）＝．

（2）因为α，β∈（0，），

所以0＜α+β＜π，

因为cos（α+β）＝，

所以sin（α+β）＝，

所以tan（α+β）＝，

因为tanα＝，

所以tan（2α+β）＝＝＝1，

因为0＜α+β＜π，且cos（α+β）＝＞0，

所以0，

因为，所以0＜2α+β＜π．

因为tan（2α+β）＝1，所以2α+β＝．

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinA＝4bsinB，ac＝（a2﹣b2﹣c2）．

（1）求cosA的值；

（2）求sin（2B﹣A）的值．

解：（1）由，得asinB＝bsinA，

又asinA＝4bsinB，得4bsinB＝asinA，

两式作比得：，

所以a＝2b．

由ac＝（a2﹣b2﹣c2），得b2+c2﹣a2＝﹣ac，

由余弦定理，得cosA＝＝＝﹣；

（2）由（1），可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB，得sinB＝＝．

由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，

所以cosB＝＝，

于是sin2B＝2sinBcosB＝，cos2B＝1﹣2sin2B＝，

故sin（2B﹣A）＝sin2BcosA﹣cos2BsinA＝sin（2B﹣A）＝sin2BcosA﹣cos2BsinA＝﹣＝﹣．

21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC是锐角三角形，且b＝1，求△ABC面积的取值范围．

解：（1）已知，

利用正弦定理整理得：，

所以，

化简得：，

由于A∈（0，π），

所以sinA≠0，

整理得tanC＝，

所以C＝．

（2）由正弦定理得：，且b＝1，

故，

整理得＝，

所以，

由于△ABC是锐角三角形，

故，解得，

故tanA，

则，

故a＝，

则．

22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（1）求tanA+tanB的值；

（2）求cos2A+cos2B的最大值．

解：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

整理得，

所以两边同除以cosAcosB，

所以tanA+tanB＝2．

（2）cos2A+cos2B＝＝＝，

＝＝，

由于（tanAtanB﹣1）2+12＞0，

所以14﹣2tanAtanB＞0，

令t＝14﹣2tanAtanB，

则t＞0，

tanAtanB＝，

所以＝．

当且仅当t＝时，等号成立，

故最大值为．