最新八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题

知识点归纳

（一）反比例函数的概念

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，  

在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件；

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解  

析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．

（二）反比例函数的图象

　　在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．

（三）反比例函数及其图象的性质

　　1．函数解析式：（）

　　2．自变量的取值范围：

　　3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

　　 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．　

越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

　　与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．

　　当时，图象的两支分别位于一、三象限；

               在每个象限内，y随x的增大而减小；

　　当时，图象的两支分别位于二、四象限；

               在每个象限内，y随x的增大而增大．

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，

             则（，）在双曲线的另一支上．

             图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，

             则（，）和（，）在双曲线的另一支上．

4．k的几何意义

　　如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．

　　如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

　　 　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

　　5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线与双曲线的关系：

　　 　当时，两图象没有交点；

当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

（3）反比例函数与一次函数的联系．

（四）实际问题与反比例函数

　　1．求函数解析式的方法：

　　（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．

（五）充分利用数形结合的思想解决问题．

例题分析

1．反比例函数的概念

（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．

　　A．y=3x 　　　B．　　　　 C．3xy=1 　　　　D．

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．

　　A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．

2．图象和性质

（1）已知函数是反比例函数，

　　①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．

　　②若y随x的增大而减小，那么k=___________．

（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图

    象位于第________象限．

（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不

经过第_____象限．

（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，

　  则直线不经过的象限是（ ）．

　　A．第一象限 　　　 B．第二象限　C．第三象限　　　 D．第四象限

（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，

　　 则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．

　　A．第一、二、三象限 　　　　　　B．第一、二、四象限

　　C．第一、三、四象限 　　　　　　D．第二、三、四象限

（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．

　　 　　 A． 　　　　　　B．　　　　　　 C． 　　　　　　　D．

7、已知，则函数和的图象大致是（　　）

3．函数的增减性

（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（ ）．

　　A．正数 　　　　B．负数　　　　　 C．非正数　　　　　 D．非负数

（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（ ）．

　　A．＜＜ 　B．＜＜　C．＜＜　D．＜＜

（3）下列四个函数中：①；②；③；④．

　　　　 y随x的增大而减小的函数有（ ）．

　　A．0个　　　　 B．1个 　　　　　C．2个 　　　　　D．3个

（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而　　　　（填“增大”或“减小”）．

5、 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（   ）．

A．x＜－1   B．x＞2　C．－1＜x＜0，或x＞2     D．x＜－1，或0＜x＜2

　4．解析式的确定

（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（ ）．

　　A．正比例函数　 B．反比例函数　　C．一次函数 　　D．不能确定

（6）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．

（7）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．

（8）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒． 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克． 请根据题中所提供的信息解答下列问题：

　　①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．

　　②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；

　　③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

5．面积计算

（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（ ）．

　　A．　　B．　C．　　D．

　　 　第（1）题图 　　　　　　　　　　　　     　　第（2）题图

（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（ ）．

A．S=1 　　　　B．1＜S＜2　　　　　　 C．S=2 　　　　　D．S＞2

（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．

　　 　第（3）题图 　　　　                                          　第（4）题图　　　　　　　　

（4）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．

（5）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．

　　①求这两个函数的解析式；

　　②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

                                                                 第（5）题图　

6.如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．

(1)求反比例函数和一次函数的关系式；

(2)求△AOC的面积；

(3)求不等式kx+b-<0的解集(直接写出答案)．

7．如图，已知反比例函数y＝的图象经过点A(－1，3)，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A和点C(0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B．

(1)求这两个函数的解析式；

(2)求点B的坐标．

8、如图所示，一次函数和反比例函数的图象在第一象限内的交点为．

⑴求的值及这两个函数的解析式；

⑵根据图象，直接写出在第一象限内，使反

比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．

　　6．综合应用

（1）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．

　　① 求反比例函数和一次函数的解析式；

　　② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

（2）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．

　　① 求点A、B、D的坐标；

　　② 求一次函数和反比例函数的解析式．

3．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．

（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；

（2）连接OA，求△AOC的面积．

4．如图，一次函数y=x+1与反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求点B的坐标；

（3）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC．

5．已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标与B点的纵坐标都是2，如图：

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）在y轴是否存在一点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请在坐标轴相应位置上用P1，P2，P3…标出符合条件的点P；（尺规作图完成）若不存在，请说明理由．

6．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）．

（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；

（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；

（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；

（4）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点P的坐标．

7．如图，已知反比例函数的图象经过点，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．

（1）求k和m的值；

（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求|AO|：|AC|的值；

（3）若D为坐标轴上一点，使△AOD是以AO为一腰的等腰三角形，请写出所有满足条件的D点的坐标．