基本不等式综合测试题

一、单选题

1．设正实数，满足，则当取得最小值时，(    )

A．1 ．2 ．3 ．4

2．下列不等式一定成立的是（    ）

A． ．

C． ．

3．已知,则的最小值为(    )

A．4 ．6 ．7 ．10

4．已知,则的最小值是（     ）

A．1 ． ．4 ．2

5．已知,下列各不等式恒成立的是(    )

A． ． ． ．

6．已知正数，满足，则的最小值是（    ）

A．18 ．16 ．8 ．10

7．下列不等式恒成立的是（    ）

A． ．

C． ．

8．已知实数，均大于零，且满足，则的最小值为（    ）

A． ． ． ．

9．设，，给出下列不等式不恒成立的是（    ）

A． ．

C． ．

10．已知，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．或 ．或

C． ．

11．已知正实数a，b，c，则的最小值为（    ）

A． ． ． ．

12．下列结论正确的是（    ）

A．当且时，

B．时，的最大值是2

C．的最小值是2

D．当时，的最小值为4

二、填空题

13．若且，则取值范围是_______________.

14．已知，则的最小值为___________

15．设、、是三个正实数，且，则的最大值为__________.

16．已知函数且，，若对任意实数均有，则的最小值为_________.

三、解答题

17．已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）若不等式恒成立，求实数的范围.

18．设二次函数.

（1）若不等式的解集为，求，的值；

（2）若，，，求的最小值．

19．已知

（1）若，求的取值范围；

（2）求的最小值，并求其达到最小值时的值

20．已知正数x，y满足，且的最小值为k．

（1）求k．

（2）若a，b，c为正数，且，证明：．

21．已知，且.

（1）求实数和的值，并求的最小值；

（2）若不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围.

22．已知函数

（1）若，求方程的解；

（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围.

参

1．B

【分析】

由可得，再利用基本不等式求最值，整理计算即可.

【详解】

，当且仅当时，等号成立，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查基本不等式求最小值，注意等号的成立条件，是基础题.

2．B

【分析】

利用特殊值排除AD选项，根据基本不等式等号成立的条件排除C选项，利用基本不等式，证得B选项成立.

【详解】

分别令排除A，D．选项C等号不成立，排除C.（即不合题意.）

对于B选项，，所以B选项正确.

故选：B．

【点睛】

本小题主要考查利用基本不等式判断不等式是否成立，属于基础题.

3．C

【分析】

由题意可得,可得,利用基本不等式求最小值,并验证等号成立即可.

【详解】

解: 已知,则

,

当且仅当,即时等号成立.

所以的最小值为:

故选:C

【点睛】

本题考查基本不等式求和的最小值,整体变形为可用基本不等式的形式,注意”一正二定三相等”.

4．D

【分析】

先对通分得到,根据,得出,最后利用基本不等式即可得出最小值,需要注意等号成立的条件.

【详解】

解: 已知

则

当且仅当时,等号成立.

故选:D

【点睛】

本题考查基本不等式,需要注意”一正二定三相等”.

5．D

【分析】

当时，，选项不成立；当时，，选项不成立；，由基本不等式可得选项成立.

【详解】

取时，，可判断选项A,B不正确；

取时，，可判断选项C不正确；

因为同号，，

当且仅当时，等号成立，选项D正确.

故选:D.

【点睛】

本题考查基本不等式求最值满足的条件，“一正”“二定”“三等”缺一不可，解题时要注意特值的运用，减少计算量，提高效率，属于基础题.

6．A

【分析】

根据正数，满足，可得，然后由，利用基本不等式求出的最小值．

【详解】

正数，满足，．

，

当且仅当，即，时取等号，

的最小值为18．

故选:．

【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．

7．B

【分析】

根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确.

【详解】

A.由基本不等式可知，故A不正确；

B.，即恒成立，故B正确；

C.当时，不等式不成立，故C不正确；

D.当时，不等式不成立，故D不正确.

故选：B.

8．C

【分析】

将所求式子整理为，利用，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值.

【详解】

，，

（当且仅当，即时取等号），

（当且仅当时取等号），即的最小值为.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：对于已知，求解的最小值的问题，需灵活应用等于的式子，由配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.

9．B

【分析】

作差法比较大小及利用基本不等式判断可得.

【详解】

解：设，，

对于A选项：，故A选项的不等式恒成立；

，故B选项不恒成立；

，当且仅当即时取等号，故C选项中的不等式恒成立，

因为，，，当且仅当，，即时取等号，故D选项中的不等式恒成立，

故选：B．

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

10．C

【分析】

由基本不等式可得，所以，从而得解.

【详解】

因为

所以，

当且仅当，即时取等号，

又因为恒成立，

所以，

解得．

故选：C.

11．C

【分析】

令，则，代入整理化简后利用基本不等式即可求解.

【详解】

令且 ，解得，

所以

，当且仅当时等号成立，

故选：C

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

12．B

【分析】

根据基本不等式“一正、二定、三相等”，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于A中，当时，，此时，

当且仅当时，等号成立，所以不正确；

对于B中，当时，由，

当且仅当时，即时等号成立，所以的最大值是2，所以是正确的；

对于C中，由，

当且仅当时，即（无解），所以不正确；

对于D中，当时，由，

当且仅当时，即（不成立），所以不正确.

故选：B.

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：

（1）“一正”：就是各项必须为正数；

（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

13．

【分析】

利用基本不用等式可求得结果.

【详解】

因为，，所以，

所以，当且仅当时，等号成立，

但是，所以，即取值范围是.

故答案为：

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

14．

【分析】

由，且，可得，代入并利用基本不等式即可得出．

【详解】

解：，且，

，当且仅当时取等号．

的最小值是8．

故答案为：8．

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

15．5

【分析】

本题首先可根据得出，然后将转化为，再然后令，将上述式子转化为，最后通过基本不等式即可求出最值.

【详解】

因为，所以，，，

则，

设，则，上述式子可转化为，

因为，当且仅当时取等号，

所以，的最大值为，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

16．4

【分析】

由函数图象过定点，根据题意，得出必过点，取得，结合基本不等式，即可求解.

【详解】

由题意，分别作出函数和的图像，如图所示，

函数图象过定点，

要使得对任意实数均有，

则必过点，所以，即，

因为，所以，

所以，当且仅当时取等号，

故的最小值为4.

故答案为 .

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：

（1）“一正”：就是各项必须为正数；

（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）将函数解析式变形，利用基本不等式，即可求出最值；

（2）根据（1）的结果，将不等式化为，解对应的一元二次不等式，即可得出结果.

【详解】

（1）因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立；

即函数的最小值为；

（2）为使不等式恒成立，只需，

由（1）知，解得，

即实数的范围为.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

18．（1）；（2）25.

【分析】

（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系运算即可得解；

（2）转化条件为，，再由基本不等式即可得解.

【详解】

解：（1）因为不等式的解集为，

所以-1和3是方程的两个实根，且，

由根与系数的关系，得

解得

（2）由，得，即，

又，，

所以

当且仅当即时，等号成立．

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1） “一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

19．（1）或（2）-1，2

【分析】

（1）因为，所以等价于，在的范围内解出即可.

（2）应用基本不等式求出最小值，并求出取最小值时的值.

【详解】

解：，则等价于且 

即，所以或，又，

所以若，则或.

（2）

当且仅当，即时“=”成立，

所以的最小值为-1，此时.

【点睛】

本题考查应用基本不等式求最小值，属于基础题.

易错点睛：基本不等式的应用注意：“一正二定三相等”，注意检验等号成立的条件.

20．（1）3；（2）证明见解析.

【分析】

（1）整体代入可得，由基本不等式可得；

（2）由（1）得，再利用基本不等式直接可以得证.

【详解】

（1）正数x，y，且，所以，

又因为，，所以，当且仅当时取等号，

，故；

（2）证明：由（1）得，因为a，b，c为正数，所以①，当且仅当时取等号，

同理可得②，当且仅当时取等号，

③，当且仅当时取等号，

①+②+③得，当且仅当时取等号．

【点睛】

结论点睛：利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．

21．（1），，；（2）.

【分析】

（1）根据，得到1，3是的两个根，从而得到，进而得到，利用基本不等式求解,

（2）由恒成立，转化为，恒成立，利用判别式法求解.

【详解】

（1）∵，

∴1，3是的两个根，

∴，

∴，.

∴，

时，，

当且仅当即时上式取等号，

所以.

（2）由，得 （*）

当即时，不等式（*）为，不满足对任意实数都成立，

∴，∴，

∴，

∴，

∴，

∴的取值范围为.

【点睛】

方法点睛：(1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，.

(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再求函数的最值来处理，一般后者比较简单．

22．（1）2；（2）.

【分析】

（1）当时，可得，根据，得到，结合指数幂的运算，即可求解；

（2）令，根据，转化为对任意恒成立，结合基本不等式，即可求解.

【详解】

（1）当时，可得，

由，可得，整理为，

因为，所以，可得.

（2）因为，令，可得，

由，可得，

因为对于恒成立，即对任意恒成立，

又因为，当且仅当时取等，所以，

即实数m的取值范围.

【点睛】

不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法：

1、若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求出解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）；

2、转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，则恒成立，转化为，即；恒成立，转化为，即.