初中数学人教版八年级下册：第7讲 经典几何模型同步讲义

1．如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E 、F 分别在BC 和CD 边上，分别连接AE 、AF 、EF ，若∠EAF =45°，则△CEF 的周长是（ ） A ．6+2

B ．8.5

C ．10

D ．12

2．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、BC 上，且BF =CE ，连接BE 、AF ，则下列结论中错误的是（ ）

A ．∠AF

B +∠BE

C =90° B ．AF ⊥BE C ．∠DAF =∠BEC

D ．B

E =AF

3．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为 ．

第1题 第2题 第3题

课前测

1

1.掌握半角模型基础应用

2.掌握手拉手模型在正方形中的应用

1. 半角模型的识别

2. 手拉手模型中用八字型求旋转角

1．特点：

过等腰ABC △（AB AC =） 顶角顶点（设顶角为A ），引两条射线且它们的夹角为

2

A

；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M 、N ，则BM ，MN ，NC 之间必存在固定关系．这种关系仅与两条相关直线及顶角A 相关．

图1 图2

2．应用环境：顶角为特殊角的等腰三角形；正方形、菱形也能产生等腰三角形．

3．解决方法：以点A 为中心，把ACN △（顺时针或逆时针）旋转角A 度，至'ABN △，连接'MN

N'

2

4．结论：

①AMN △全等于'AMN △，'MN MN = ②BM ，'MN ，'N B 的数量关系 若共线，则存在x y z +=型的关系．

若不共线，则尝试是否能用勾股定理得到三者关系（初中阶段）．

【引1】 如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=°，3BM =，2DN =，则____________MN =．

【例1】 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=°，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或

它们的延长线）于点M ，N ．

⑴当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），求证：BM DN MN +=．

⑵当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），则线段BM ，DN 和MN 之间数量关系是：_______________．

⑶当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，猜想线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系呢？

并对你的猜想加以证明．

3

【例2】 在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=°，AEF △为正三角形，E 、F 在菱形的边BC ，CD 上．

证明：BE CF =．

【例3】 如图，已知菱形ABEC 边长为1，120ABE ∠=°，120BDC ∠=°，BD CD =，60MDN ∠=°

，那么AMN △的周长为____________．

【例4】 已知，正方形ABCD 中，45MAN ∠=°，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或

它们的延长线）于点M 、N ，AH MN ⊥于点H ．

⑴如图①，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系： ； ⑵如图②，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时，(1)中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

4

核心知识：

1．全等三角形的判定与性质．

2．八字型（用于求全等三角形对应边之间的夹角或与其相关的角的大小）：A B C D ∠+∠=∠+∠

注：手拉手模型最经典的形式是两个共顶点的等边三角形，这个模型可拓展成两个共顶点的正多边形，一个

正方形和一个等腰直角三角形共用一个直角顶点，也属于手拉手模型的一种变形．这节课我们重点研究与正方形相关的手拉手模型．

【引2】 如图，ABC EBD △≌△，90ABE ∠=°，试说明AC 与ED 的关系．

D

E

C

A

5

【例5】如图①，E是AB延长线上一点，分别以AB、BE为一边在直线AE同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG，连接AG、CE．

⑴试探究线段AG与CE的关系，并证明你的结论；

⑵将正方形BEFG绕点B逆时针旋转一个锐角后，如图②，问⑴中结论是否仍然成立，

说明理由．

【例6】如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于点H．

⑴写出AG与CE的关系：．

⑵问HD是否平分AHE

∠？

F

6

【练1】 如图，已知正方形ABCD 的边长为5，且45EAF ∠=°，

把ABE △绕点A 逆时针旋转90°，落在ADG △ 的位置．

⑴请在图中画出ADG △． ⑵证明：45GAF ∠=°．

【练2】 如图1，ABC △是等腰直角三角形，

四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD CF =． ⑴当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转()090θθ°<<°时，如图2，BD CF =成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

⑵当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ．求证：BG CF ⊥．

G

图1 图2 图3

F

E

D C

B

A

45°

θA

B C

D

E

F F

E

D

C

B

A

7

1．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上．下列结论： ①CE =CF ；②∠AEB =75°；③BE +DF =EF ；④S 正方形ABCD =2+．其中正确的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边CD 、CB 上的点，DE =CE ，∠1=∠2，EG ⊥AF ，以下结论： ①AF =BC +CF ；②∠CGD =90°；③AF =BF +DE ；④AF 2=AE 2+EF 2．其中正确的结论是（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②③④

D ．②④

3．如图，正方形ABCD 与正方形CEFG （边长不等），B 、C 、F 三点共线，连接BE 交CD 于M ，连接DG 交BE 、CE 、CF 分别于N 、P 、Q ，下面结论：①BE =DG ；②BM =DQ ；③CM =CP ；④∠BNQ =90°中，正确的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个

课后测

8