2020—2021年武汉市部分学校初二上期中数学试卷含答案解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列图案中，轴对称图形是

A． ． ． ．

2．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为

A．110° ．80° ．70° ．60°

3．已知△ABC中，AB=4，BC=6，那么边AC的长可能是下列哪个值

A．11 ．5 ．2 ．1

4．一定能确定△ABC≌△DEF的条件是

A．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E ．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D

C．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D ．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

5．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE确实是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：依照仪器结构，可得

△ABC≌△ADC，如此就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是

A．SAS ．ASA ．AAS ．SSS

6．已知等腰三角形的一个内角为40°，则那个等腰三角形的顶角为

A．40° ．100° ．40°或70° ．40°或100°

7．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为

A．7cm ．10cm ．12cm ．22cm

8．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是

A．1对 ．2对 ．3对 ．4对

9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于

A．10 ．7 ．5 ．4

10．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是

A． ． ． ．

二、填空题（每题3分，共18分）

11．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于__________．

12．已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（1，2），则点P的坐标是__________．

13．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则那个多边形的边数为__________．

14．等腰三角形的两边长分别是4cm和8cm，则它的周长是__________．

15．各边长度差不多上整数、最大边长为8的三角形共有__________个．

16．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________．

三、解答题（共8道小题，共72分）

17．如图，在钝角△ABC中．

（1）作钝角△ABC的高AM，CN；

（2）若CN=3，AM=6，求BC与AB之比．

18．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，请你作一条直线将△ABC分成两个全等的三角形，并证明这两个三角形全等．

19．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，

（1）∠ABC=42°，∠A=60°，求∠BFC的度数；

（2）直截了当写出∠A与∠BFC的数量关系．

20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．

（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；

（2）在y轴上找出一点P，使得PA+PB的值最小，直截了当写出点P的坐标；

（3）在平面直角坐标系中，找出一点A2，使△A2BC与△ABC关于直线BC对称，直截了当写出点A2的坐标．

21．（1）如图（1），将△ABC纸片沿着DE对折，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，探究∠A，∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．

（2）如图（2），连续如此的操作，把△ABC纸片的三个角按（1）的方式折叠，三个顶点都在形内，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是__________．

（3）假如把n边形纸片也做类似的操作，n个顶点都在形内，那么∠1+∠2+∠3+…+∠2n的度数是__________  （用含有n的代数式表示）．

22．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．

（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；

（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．

23．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB上，E在BC上，且AD=BE，BD=AC，连接DE．

（1）求证：△ACD≌△BDE；

（2）求∠BED的度数；

（3）若过E作EF⊥AB于F，BF=1，直截了当写出CE的长．

24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．

（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②求证：BD=2EC；

（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．

2020-2021学年湖北省武汉市部分学校联考八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列图案中，轴对称图形是

A． ． ． ．

【考点】轴对称图形． 

【分析】依照轴对称图形的概念对各图形分析判定后即可求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，故此选项正确；

故选；D．

【点评】本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是查找对称轴．

2．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为

A．110° ．80° ．70° ．60°

【考点】三角形的外角性质．

【分析】依照三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式运算即可得解．

【解答】解：由三角形的外角性质得：∠CAD=∠B+∠C=40°+30°=70°．

故选C．

【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．

3．已知△ABC中，AB=4，BC=6，那么边AC的长可能是下列哪个值

A．11 ．5 ．2 ．1

【考点】三角形三边关系． 

【分析】依照在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式即可．

【解答】解：依照三角形的三边关系，

6﹣4＜AC＜6+4，

即2＜AC＜10，

符合条件的只有5，

故选：B．

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，把握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．

4．一定能确定△ABC≌△DEF的条件是

A．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E ．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D

C．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D ．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

【考点】全等三角形的判定． 

【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，看看每个选项是否符合定理即可．

【解答】解：

A、依照ASA即可推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；

B、依照∠A=∠E，∠B=∠D，AB=DE才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

C、依照AB=DE，BC=EF，∠B=∠E才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

D、依照AAA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

故选A．

【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

5．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE确实是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：依照仪器结构，可得

△ABC≌△ADC，如此就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是

A．SAS ．ASA ．AAS ．SSS

【考点】全等三角形的应用． 

【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．

【解答】解：在△ADC和△ABC中，

，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC=∠BAC，

即∠QAE=∠PAE．

故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判定全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分明白得题意．

6．已知等腰三角形的一个内角为40°，则那个等腰三角形的顶角为

A．40° ．100° ．40°或70° ．40°或100°

【考点】等腰三角形的性质． 

【专题】分类讨论．

【分析】分那个角为底角和顶角两种情形，利用三角形内角和定理求解即可．

【解答】解：当那个内角为顶角时，则顶角为40°，

当那个内角为底角时，则两个底角都为40°，现在顶角为：180°﹣40°﹣40°=100°，

故选D．

【点评】本题要紧考查等腰三角形的性质，把握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．

7．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为

A．7cm ．10cm ．12cm ．22cm

【考点】翻折变换（折叠问题）． 

【分析】第一依照折叠可得AD=BD，再由△ADC的周长为17cm能够得到AD+DC的长，利用等量代换可得BC的长．

【解答】解：依照折叠可得：AD=BD，

∵△ADC的周长为17cm，AC=5cm，

∴AD+DC=17﹣5=12（cm），

∵AD=BD，

∴BD+CD=12cm．

故选：C．

【点评】此题要紧考查了翻折变换，关键是把握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

8．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是

A．1对 ．2对 ．3对 ．4对

【考点】全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 

【专题】压轴题．

【分析】依照已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而依照“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．

【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，

∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，

在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD；

∵EF垂直平分AC，

∴OA=OC，AE=CE，

在△AOE和△COE中，

，

∴△AOE≌△COE；

在△BOD和△COD中，

，

∴△BOD≌△COD；

在△AOC和△AOB中，

，

∴△AOC≌△AOB；

故选：D．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题能够先依照直观判定得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．

9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于

A．10 ．7 ．5 ．4

【考点】角平分线的性质． 

【分析】作EF⊥BC于F，依照角平分线的性质求得EF=DE=2，然后依照三角形面积公式求得即可．

【解答】解：作EF⊥BC于F，

∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，

∴EF=DE=2，

∴S△BCE=BC•EF=×5×2=5，

故选C．

【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．

10．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是

A． ． ． ．

【考点】剪纸问题． 

【分析】依照题意直截了当动手操作得出即可．

【解答】解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：

故选A．

【点评】本题考查了剪纸问题，难点在于依照折痕逐层展开，动手操作会更简便．

二、填空题（每题3分，共18分）

11．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于75°．

【考点】三角形内角和定理． 

【分析】依照已知条件设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，然后依照三角形的内角和列方程即可得到结果．

【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，

∴设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴3x+4x+5x=180°，

∴x=15°，

∴∠C=5x=75°，

故答案为：75°．

【点评】本题考查了三角形的内角和，熟练把握三角形的内角和是解题的关键．

12．已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（1，2），则点P的坐标是（1，﹣2）．

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标． 

【分析】依照关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直截了当得到答案．

【解答】解：点P关于x轴的对称点P1的坐标是（1，2），则点P的坐标是（1，﹣2）．

故答案为：（1，﹣2）．

【点评】此题要紧考查了关于x轴对称点的坐标，关键是把握点的坐标的变化规律．

13．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则那个多边形的边数为6．

【考点】多边形内角与外角． 

【专题】运算题．

【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．

【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，

则内角和是720度，

720÷180+2=6，

∴那个多边形是六边形．

故答案为：6．

【点评】本题要紧考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练把握定理是解题的关键．

14．等腰三角形的两边长分别是4cm和8cm，则它的周长是20cm．

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 

【分析】题目给出等腰三角形有两边长为4cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，因此要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【解答】解：①8cm为腰，4cm为底，现在周长为8+8+4=20cm；

②8cm为底，4cm为腰，∵4+4=8，∴两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．

故它的周长是20cm．

故答案为：20cm．

【点评】此题要紧考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的把握情形．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情形，分类进行讨论，还应验证各种情形是否能构成三角形进行解答，这点专门重要，也是解题的关键．

15．各边长度差不多上整数、最大边长为8的三角形共有20个．

【考点】三角形三边关系． 

【分析】利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可．

【解答】解：∵各边长度差不多上整数、最大边长为8，

∴三边长能够为：

1，8，8；

2，7，8；2，8，8；

3，6，8；3，7，8；3，8，8；

4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；

5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；

6，6，8；6，7，8；6，8，8；

7，7，8；7，8，8；

8，8，8；

故各边长度差不多上整数、最大边长为8的三角形共有20个．

故答案为：20．

【点评】此题要紧考查了三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．

16．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为88°．

【考点】圆周角定理． 

【分析】由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，继而可得∠CAD=2∠BAC．

【解答】解：∵AB=AC=AD，

∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，

∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，

∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，

∴∠CAD=2∠BAC=88°．

故答案为：88°．

【点评】此题考查了圆周角定理．注意得到B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解此题的关键．

三、解答题（共8道小题，共72分）

17．如图，在钝角△ABC中．

（1）作钝角△ABC的高AM，CN；

（2）若CN=3，AM=6，求BC与AB之比．

【考点】作图—复杂作图；三角形的面积． 

【专题】作图题．

【分析】（1）过点A作AM⊥BC于M，过点C作CN⊥AB于N，则AM、BN为△ABC的高；

（2）依照三角形面积公式得到AM•BC=CN•AB，然后利用比例性质求BC与AB的比值．

【解答】解：（1）如图，AM、CN为所作；

（2）∵AM、BN为△ABC的高，

∴S△ABC=AM•BC=CN•AB，

∴===．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种差不多作图的基础上进行作图，一样是结合了几何图形的性质和差不多作图方法．解决此类题目的关键是熟悉差不多几何图形的性质，结合几何图形的差不多性质把复杂作图拆解成差不多作图，逐步操作．也考查了三角形面积公式．

18．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，请你作一条直线将△ABC分成两个全等的三角形，并证明这两个三角形全等．

【考点】全等三角形的判定． 

【分析】取BC中点D，作直线AD，利用SSS即可证明△ABD≌△ACD．

【解答】解：如图，取BC中点D，作直线AD，则直线AD将△ABC分成两个全等的三角形，即△ABD≌△ACD．理由如下：

在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

19．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，

（1）∠ABC=42°，∠A=60°，求∠BFC的度数；

（2）直截了当写出∠A与∠BFC的数量关系．

【考点】三角形内角和定理． 

【分析】（1）依照角平分线的定义可得∠FBC=∠ABC，∠FCB=∠ACB，再依照三角形内角和定理求出即可；

（2）依照角平分线的定义可得∠FBC=∠ABC，∠FCB=∠ACB，然后表示出∠FBC+∠FCB，再依照三角形的内角和等于180°列式整理即可得证．

【解答】解：（1）∵∠ABC=42°，∠A=60°，

∴∠ACB=78°，

∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，

∴∠FBC=∠ABC=21°，∠FCB=∠ACB=39°，

∴∠BFC=180°﹣（∠FBC+∠FCB）=120°；

（2）∠BFC=90°+A，

理由是：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点F，

∴∠FBC=∠ABC，∠FCB=∠ACB，

∴∠FBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB），

在△FBC中，∠BFC=180°﹣（∠FBC+∠FCB）

=180°﹣（∠ABC+∠ACB）

=180°﹣（180°﹣∠A）

=90°+∠A．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．

20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．

（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；

（2）在y轴上找出一点P，使得PA+PB的值最小，直截了当写出点P的坐标；

（3）在平面直角坐标系中，找出一点A2，使△A2BC与△ABC关于直线BC对称，直截了当写出点A2的坐标．

【考点】作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题． 

【分析】（1）先作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；

（2）连接AB1交y轴于点P，利用待定系数法求出直线AB1的解析式，进而可得出P点坐标；

（3）找出点A关于直线BC的对称点，并写出其坐标即可．

【解答】解：（1）如图所示；

（2）设直线AB1的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵A（﹣1，5），B1（1，0），

∴，解得，

∴直线AB1的解析式为：y=﹣x+，

∴P（0，2.5）；

（3）如图所示，A2（﹣6，0）．

【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．

21．（1）如图（1），将△ABC纸片沿着DE对折，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，探究∠A，∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．

（2）如图（2），连续如此的操作，把△ABC纸片的三个角按（1）的方式折叠，三个顶点都在形内，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是360°．

（3）假如把n边形纸片也做类似的操作，n个顶点都在形内，那么∠1+∠2+∠3+…+∠2n的度数是360°（n﹣2）  （用含有n的代数式表示）．

【考点】翻折变换（折叠问题）． 

【分析】（1）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题；

（2）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，又知∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，故能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和；

（3）利用（1）（2）的运算方法：类比得出答案即可．

【解答】解：（1）连接AA′，

∵∠1=∠BAA′+∠AA′E，∠2=∠CAA′+∠AA′D，

∴∠1+∠2=∠BAA′+∠AA′E+∠CAA′+∠AA′D=∠BAC+∠DA′E，

又∵∠BAC=∠DA′E，

∴∠1+∠2=2∠BAC；

（2）∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，

∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360°；

（3）∠1+∠2+∠3+…+∠2n

=2（∠B+∠C+∠A）（n﹣2）

=360°（n﹣2）．

【点评】本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何差不多知识，把握折叠的性质是解决问题的关键．

22．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．

（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；

（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）求证AB=AC，确实是求证∠B=∠C，可通过构建全等三角形来求．过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，那么能够用斜边直角边定理（HL）证明Rt△OEB≌Rt△OFC来实现；

（2）思路和辅助线同（1）证得Rt△OEB≌Rt△OFC后，可得出∠OBE=∠OCF，等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB，因此∠OBC=∠OCB，那么OB=OC；

（3）不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则，AB≠AC．

【解答】（1）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

由题意知，

在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

由题意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，

∵在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠OBE=∠OCF，

又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）解：不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB=AC，否则AB≠AC．（如示例图）

【点评】本题的关键是通过辅助线来构建全等三角形．判定两个三角形全等，先依照已知条件或求证的结论确定三角形，然后再依照三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

23．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB上，E在BC上，且AD=BE，BD=AC，连接DE．

（1）求证：△ACD≌△BDE；

（2）求∠BED的度数；

（3）若过E作EF⊥AB于F，BF=1，直截了当写出CE的长．

【考点】全等三角形的判定与性质． 

【分析】（1）依照SAS证明△ACD≌△BDE即可；

（2）依照全等三角形得出AC=BD，进而得出BD=BC，利用角的运算即可解答；

（3）过E作EF⊥AB于F，DH⊥BC于H，依照等腰直角三角形的性质求出EF的长，依照题意求出∠CED=∠DEF，依照角平分线的性质求出EH=EF，依照等腰三角形的性质得到答案．

【解答】证明：（1）在△ACD与△BDE中，

，

∴△ACD≌△BDE（SAS），

（2）∵△ACD≌△BDE，

∴AC=BD，CD=DE，

∵AC=BC，

∴BD=BC，

∴∠BCD=67.5°，

∴∠CED=∠BCD=67.5°，

∴∠BED=112.5°；

（3）过E作EF⊥AB于F，DH⊥BC于H，

∵EF⊥AB，∠B=45°，

∴EF=BF=1，

∵∠FEB=45°，∠CED=67.5°，

∴∠DEF=67.5°，

∴∠CED=∠DEF，又DH⊥BC，EF⊥AB，

∴EH=EF=1，

∵DC=DE，DH⊥BC，

∴CE=2EH=2．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，把握全等三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的三线合一是解题的关键．

24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．

（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②求证：BD=2EC；

（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．

【考点】全等三角形的判定与性质． 

【分析】（1）①依照等腰直角三角形的性质得出∠CBA=45°，再利用角平分线的定答即可；

②延长CE交BA的延长线于点G得出CE=GE，再利用AAS证明△ABD≌△ACG，利用全等三角形的性质解答即可；

（2）过点A作AH⊥AE，交BE于点H，证明△ABH≌△ACE，进而得出CE=BH，利用等腰直角三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：（1）①∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠CBA=45°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBA=22.5°，

∵CE⊥BD，

∴∠ECD+∠CDE=90°，∠DBA+∠BDA=90°，

∵∠CDE=∠BDA，

∴∠ECD=∠DBA=22.5°；

②延长CE交BA的延长线于点G，如图1：

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE=GE，

在△ABD与△ACG中，

，

∴△ABD≌△ACG（AAS），

∴BD=CG=2CE；

（2）结论：BE﹣CE=2AF．

过点A作AH⊥AE，交BE于点H，如图2：

∵AH⊥AE，

∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE，

∴∠BAH=∠CAE，

在△ABH与△ACE中，

，

∴△ABH≌△ACE（ASA），

∴CE=BH，AH=AE，

∴△AEH是等腰直角三角形，

∴AF=EF=HF，

∴BE﹣CE=2AF．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确的构建出与所求和已知相关的全等三角形，是解答本题的关键．