2021-2022学年北京市海淀区高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． ． ． ．

【答案】A

【分析】根据交集的概念直接可求出答案.

【详解】因为集合，，所以.

故选：A.

2．命题“，都有”的否定为（       ）

A．，使得 ．，使得

C．，都有 ．，使得

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定表示方法选出答案即可.

【详解】命题“ 都有”的否定为：

“ 使得”，所以选项A正确.

故选：A.

3．已知，则（       ）

A． ． ． ．

【答案】D

【分析】利用平方差公式判定选项A错误；利用不等式的性质判定选项B错误；利用指数函数的单调性判定选项C错误；利用不等式的性质和对数函数的单调性判定选项D正确.

【详解】对于A：因为，所以，，

则，即，

即选项A错误；

对于B：因为，所以，

则，即，

即选项B错误；

对于C：因为且函数是增函数，

所以，

即选项C错误；

对于D：因为，所以，

又因为函数在上单调递增，

所以，

即选项D正确.

故选：D.

4．已知函数.在下列区间中，包含零点的区间是（       ）

A．（0，1） ．（1，2） ．（2，3） ．（3，4）

【答案】C

【分析】根据导数求出函数在区间上的单调性，然后判断零点区间.

【详解】解：根据题意可知和 在上是单调递减函数

在上单调递减

而

有函数的零点定理可知，零点的区间为.

故选：C

5．米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲､乙､丙､丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（       ）

A． ．

C． ．

【答案】C

【分析】根据对立事件和事件求概率的方法即可求得答案.

【详解】由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：，则该组合不失误的概率为：.

故选：C.

6．下列函数中，在R上为增函数的是（       ）

A． ． ． ．

【答案】C

【分析】对于A，，在R上是减函数；对于B，在上是减函数，在上是增函数；对于C，当时，是增函数，当时，是增函数；对于D，的定义域是.

【详解】解：对于A，，在R上是减函数，故A不正确；

对于B，在上是减函数，在上是增函数，故B不正确；

对于C，当时，是增函数，当时，是增函数，所以函数在R上是增函数，故C正确；

对于D，的定义域是 ，故不满足在R上为增函数，故D不正确，

故选：C.

7．已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为.设该产品年产量为Q时的平均成本为（单位：元/件），则的最小值是（       ）

A．30 ．60 ．900 ．180

【答案】B

【分析】利用基本不等式进行最值进行解题.

【详解】解：某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为

当且仅当，即时，等号成立.

 的最小值是.

故选：B

8．逻辑斯蒂函数二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类.下列关于函数的说法错误的是（       ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的值域为（0，1）

C．不等式的解集是

D．存在实数a，使得关于x的方程有两个不相等的实数根

【答案】D

【分析】A选项，代入，计算和，可得对称性；B选项，由和分式函数的值域可求出结果；CD选项，判断函数的单调性即可判断正误.

【详解】解：对于A：，，，所以函数的图象关于点对称，又，所以函数的图象关于点对称，故A正确；

对于B：，易知，所以，则，即函数的值域为（0，1），故B正确；

对于C：由容易判断，函数在上单调递增，且，所以不等式的解集是，故C正确；

对于D：因为函数在上单调递增，所以方程不可能有两个不相等的实数根，故D错误.

故选：D.

9．甲､乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（       ）

A．甲得分的极差大于乙得分的极差 ．甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数

C．甲得分的平均数小于乙得分的平均数 ．甲得分的标准差小于乙得分的标准差

【答案】B

【分析】根据图表数据特征进行判断即可得解.

【详解】乙组数据最大值29，最小值5，极差24，甲组最大值小于29，最小值大于5，所以A选项说法错误；

甲得分的75%分位数是20，,乙得分的75%分位数17，所以B选项说法正确；

甲组具体数据不易看出，不能判断C选项；

乙组数据更集中，标准差更小，所以D选项错误.

故选：B

10．已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（       ）

A．4 ．2 ．1 ．

【答案】B

【分析】由求得，再由方程有两个正实数根，，利用根的分布得到，然后利用韦达定理求解.

【详解】因为函数（b，c为实数），，

所以，

解得，

所以，

因为方程有两个正实数根，，

所以，

解得，

所以，

当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，

故选：B

二、填空题

11．函数的定义域是___________.

【答案】

【分析】根据对数函数定义求对数函数的定义域.

【详解】解：要使函数有意义就要，即，所以函数的定义域是.

故答案为：

12．已知是定义域为R的奇函数，且当时，，则的值是___________.

【答案】1

【分析】首先根据时的解析式求出，然后再根据函数的奇偶性即可求出答案.

【详解】因为当时，，所以，

又因为是定义域为R的奇函数，所以.

故答案为：1.

13．定义域为R，值域为的一个减函数是___________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】利用基本初等函数的性质可知满足要求的函数可以是，其中.

【详解】因为的定义域为R，是增函数，且值域为，

所以的定义域为R，是减函数，且值域为，

则的定义域为R，是减函数，且值域为，

所以定义域为R，值域为的一个减函数是.

故答案为：（答案不唯一）.

14．已知函数.若，则x的取值范围是___________.

【答案】

【分析】结合函数的定义域求出的范围，分，以及三种情况进行讨论即可.

【详解】因为的定义域为，所以，即，

当时，，不合题意，

当时，，则等价于，所以，因此，即，所以，因此，方程无解；

当时，，则等价于，所以，因此，即，所以，因此，即，则符合；

所以x的取值范围是.

故答案为：.

15．已知函数（且）.给出下列四个结论：

①存在实数a，使得有最小值；

②对任意实数a（且），都不是R上的减函数；

③存在实数a，使得的值域为R；

④若，则存在，使得.

其中所有正确结论的序号是___________.

【答案】①②④

【分析】通过举反例判断①.，利用分段函数的单调性判断②③，求出关于y轴的对称函数为，利用与y的图像在上有交点判断④.

【详解】当时，当时，，所以有最小值0，①正确；

若是R上的减函数，则，无解，所以②正确；

当时，单减，且当时，值域为，而此时单增，最大值为，所以函数值域不为R；

当时，单增，单增，若的值域为R，则，所以，与矛盾；所以不存在实数a，使得的值域为R；

由①可知，当时，函数值域不为R；当时，单减，最小值为，单增，且，所以函数值域不为R，综上③错误；

又关于轴的对称函数为，若，则，但指数函数的增长速度快于函数的增长速度，所以必存在，使得，即成立，所以④正确.

故答案为：①②④

三、解答题

16．已知集合，.

(1)当时，求；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入，求解集合，，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合，由并集为全集得出集合的范围，从而求出的范围.

(1)

解：由得或.

所以.

当时，.

所以.

(2)

由题意知].又，

因为，

所以.

所以.

所以实数的取值范围是.

17．已知函数（且），再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.

(1)判断函数的奇偶性，说明理由；

(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；

(3)若不大于，直接写出实数m的取值范围.

条件①：，；条件②：，.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】（1）定义域均为，代入化简可得出与的关系，从而判断奇偶性；（2）利用定义任取，且，作差判断的正负，可得出单调性；（3）根据奇偶性和单调性可得到与2的不等关系，求解可得的范围.

(1)

解：选择条件①：.

函数是偶函数，理由如下：

的定义域为，对任意，则.

因为，

所以函数是偶函数.

选择条件②：.

函数是奇函数，理由如下：

的定义域为，对任意，则.

因为，

所以函数是奇函数.

(2)

选择条件①：.

在上是增函数.

任取，且，则.

因为，

所以.

所以

，即

所以在上是增函数.

选择条件②：.

在上是减函数.

任取，且.

因为，

所以.

所以

，即

所以在上是减函数.

(3)

选择条件①：.

实数的取值范围是.

选择条件②：.

实数的取值范围是.

18．某工厂有甲，乙两条相互的产品生产线，单位时间内甲，乙两条生产线的产量之比为.现采用分层抽样的方法从甲，乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.

(2)从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；

(3)以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲，乙两条产品生产线随机抽取10件产品记表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较和的大小.（只需写出结论）

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据题意列出方程组，从而求出a，b的值；

（2记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案.

（3）根据样本中甲，乙产品一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小.

(1)

由题意，知，解得；

(2)

记样本中甲生产线的4件二等品为，乙生产线的2件二等品为.

从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是：

，

，

记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果有1个，它是.

所以.

(3)

.

19．已知定义域为D的函数，若存在实数a，使得，都存在满足，则称函数具有性质.

(1)判断下列函数是否具有性质，说明理由；①；②，.

(2)若函数的定义域为D，且具有性质，则“存在零点”是“”的___________条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”､“必要而不充分”､“充分必要”､“既不充分也不必要”）

(3)若存在唯一的实数a，使得函数，具有性质，求实数t的值.

【答案】(1)①不具有性质；②具有性质

(2)必要而不充分条件，理由见解析

(3)

【分析】（1）根据举例说明当时不存在；取可知具有性质.（2）分别从存在零点，证明.和若，具有性质时，.两个角度证明“存在零点”是“”的必要而不充分条件.（3）令函数的值域为，的值域.若函数有性质，则有对，使得成立，所以，分情况讨论的范围，从而求出的取值.

(1)

函数不具有性质.理由如下：

对于，因为，所以不存在满足.

所以函数不具有性质.

函数具有性质.理由如下：

对于，取，则.

因为，

所以函数具有性质.

(2)

必要而不充分理由如下：

①若存在零点，令，则.

因为，取，则，且.

所以具有性质，但.

②若，因为具有性质，

取，则存在使得.

所以，即存在零点.

综上可知，“存在零点”是“”的必要而不充分条件.

(3)

记函数的值域为，函数的值域.

因为存在唯一的实数，使得函数有性质，即存在唯一的实数，对，使得成立，所以.

①当时，，其值域.

由得.

②当，且时，是增函数，所以其值域

由得，舍去.

③当时，的最大值为，

最小值为4，

所以的值域.

由得，舍去.

当时，的最大值为，最小值为，

所以的值域.

由得（舍去）.

20．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康､减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用t表示时间（单位：），在时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：

(1)下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是___________.

①

②

③

④

(2)对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片___________；（填“合格”､“不合格”）

(3)记血药浓度的峰值为，当时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间.

【答案】(1)④

(2)合格

(3)

【分析】（1）先分析函数同时满足的条件，再逐一对每个函数进行验证；

（2）作差比较进行判断；

（3）令，分段解不等式，再取并集即可求解.

(1)

解：根据题意，得函数同时满足以下条件：

A.函数在上单调递增，在上单调递减；

B.当时，函数取得最大值；函数的最小值非负；

C.函数是一个连续变化的函数，不会发生骤变.

选择①：，

因为不满足条件B，

所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；

选择②：，

当时，，

当时，函数取得最大值，不满足条件B，

所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；

选择③：，

因为，

，

所以不满足条件C,

所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；

选择④：，

因为，

且当时，，

所以同时满足三个条件，

即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；

综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④.

(2)

解：由（1）得：函数④：

因为，

即血药浓度的峰值大于0.1，

所以此青蒿素药片合格，

即答案为：合格；

(3)

解：当时，令，

所以，即，

即，解得或，

即；

当时，令，

则，解得，

即；

综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间

为.