圆锥曲线高考常见题型与分析

湖南    黄爱民

有关圆锥曲线的高考命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查．既有对基础知识的考查，又有与其他知识的综合考查，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，下面例谈圆锥曲线高考题常见类型．

一、轨迹问题

例1　椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点是坐标原点，点满足，当绕点旋转时，求动点的轨迹方程．

解：设，，，

　　由题意，得，，．

又∵在椭圆上，代入椭圆方程并相减，得．

当时，有．

　　即，

　　整理，得；①

当时，点的坐标分别为，，这时点的坐标为，也满足①．

故点的轨迹方程为：．

评析：本题主要考查椭圆的方程和性质等基础知识及轨迹的求法与应用和综合解题能力．利用点差法是求解的关键．

二、对称问题

例2　已知椭圆的方程，试确定的取值范围，使得上有不同的两点关于直线对称．

解：设椭圆上两点为，，

　　代入椭圆方程并相减，得．①

又设中点为，斜率为，

　　由题意得，，，

　　代入①，得．

　　又由，解得点．

要使点在椭圆内，则有．

解得．

评析：在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线；求这两直线的交点；使交点在圆锥曲线内．

三、参数范围问题

例3　设双曲线与直线相交于不同的点．试求的离心率的取值范围．

解：由与相交于不同的两点，

　　知有两个不同的实数解，

消去整理，得．

∴

解得且，

∵，

∴且，

即的取值范围为．

评析：本题利用已知条件求出相关量的范围，再建立与的关系式，得出的范围．这是求解参数范围问题的常用方法．

四、与向量结合的问题

例4　已知椭圆的长、短轴端点分别为，从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设是椭圆上任意一点，、分别是左、右焦点，求的取值范围；

解：（1）∵则，∴．

　　∵，由题意，得，

　　∴，故．

（2）设|，，，

当且仅当时，，∴．

评析：平行、共线问题均可在向量共线的新情景下设计问题．解此题的关键是正确理解向量共线的意义，把有关向量的问题转化为解析几何问题来解决．

五、存在性问题

例5　已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点、距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由．

解：假设存在满足条件的点，

　　由，，，得，

　　又由焦半径公式，得，，

，

　　点到左准线的距离，

　　∴，即，∴，

　　∴或，这与相矛盾，

　　∴满足条件的点不存在．

评析：巧妙利用椭圆的统一定义是解决本题的关键．应注意的是在求出坐标之后，要从范围上进行验证．