第八章 矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 SECTION2

一、场论的基本概念及梯度、散度与旋度

[标量场]  空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个数量值(x,y,z)，它在此空间区域D上就构成一个标量场，用点M(x,y,z)的标函数(x，y，z)表示.若M的位置用矢径r确定，则标量可以看作变矢r的函数＝(r).

例如温度场u(x,y,z),密度场,电位场e(x,y,z)都是标量场.

    [矢量场]  空间区域D的每点M(x，y，z)对应一个矢量值r(x，y，z)，它在此空间区域D上就构成一个矢量场，用点M(x，y，z)的矢量函数r(x，y，z)表示.若M的位置用矢径r确定，则矢量r可以看作变矢r的矢函数r(r)：

r(r)＝X(x，y，z)i＋Y(x，y，z)j＋Z(x，y，z)k

    例如流速场(x，y，z)，电场E(x，y，z)，磁场H(x，y，z)都是矢量场.

与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义.

[梯度]

grad＝(，，)==i＋j＋k

式中=i＋j＋k称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad有的书刊中记作del.

    grad的方向与过点(x，y，z)的等量面＝C的法线方向N重合，并指向增加的一方，是函数变化率最大的方向，它的长度等于.

梯度具有性质：

grad(＋)＝grad＋grad    (、为常数)

             grad()＝grad＋grad

             gradF()＝

[方向导数]

＝l·grad＝cos＋cos＋cos

式中l＝(cos,cos,cos)为方向l的单位矢量, , ,为其方向角.

方向导数为在方向l上的变化律，它等于梯度在方向l上的投影.

[散度]

divr＝＋＋=·r=div(X , Y , Z)

式中为哈密顿算子.

    散度具有性质：

    div(a＋b)＝diva＋divb    (、为常数)

    div(a)＝div a＋a grad

    div(a×b)＝b·rot a－a·rotb

[旋度]

       rotr＝()i＋()j＋()k=×r=

式中为哈密顿算子，旋度也称涡度，rot r有的书刊中记作curl r.

旋度具有性质：

rot(a＋b)＝rot a＋rot b    (、为常数)

rot(a)＝rot a＋a×grad

rot(a×b)＝(b·)a－(a·)b＋(div b)a－(div a)b

[梯度、散度、旋度混合运算]  运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad，运算div作用到一个矢量场 r产生标量场div r，运算rot作用到一个矢量场r产生新的矢量场

rot r.这三种运算的混合运算公式如下：

div rot r＝０

rot grad＝０

div grad＝＋＋=

grad div r＝(r)

rot rot r＝×(×r)

div grad(+)=div grad+div grad    (、为常数)

div grad()=div grad＋div grad＋２grad·grad

grad div r－rot rot r＝r

式中  为哈密顿算子，＝·＝２为拉普拉斯算子.

    [势量场(守恒场)]  若矢量场r(x，y，z)是某一标函数(x，y，z)的梯度，即

r＝grad 或 X＝，Y＝，Z＝

则r称为势量场，标函数称为r的势函数.

矢量场r为势量场的充分必要条件是：rot r＝０，或

=,=,=

势函数计算公式

(x，y，z)＝(x0，y0，z0)＋＋

＋

[无散场(管形场)]  若矢量场r的散度为零，即div r＝0，则r称为无散场.这时必存在一个无散场T，使r＝rot T，对任意点M有

T＝

式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.

     [无旋场]  若矢量场r的旋度为零，即rot r＝0，则r称为无旋场.势量场总是一个无旋场，这时必存在一个标函数，使r＝grad，而对任意点M有

＝－

式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.

二、梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式

    1．单位矢量的变换

    [一般公式]  假定x=f(),y=g(),z=h()把()空间的一个区域    一对一地连续映射为(x，y，z)空间的一个区域D，并假定f，g，h都有连续偏导数，因为对应是一对一的，所以有

＝(x，y，z)， 

再假定也有连续偏导数，则有

或逆变换

沿dx，dy，dz方向的单位矢量记作i，j，k，沿方向的单位矢量记作，则有

    [圆柱面坐标系的单位矢量]  对于圆柱面坐标系(图8.11)

单位矢量为

    它们的偏导数为

    [球面坐标系的单位矢量]  对于球面坐标系(图8.12)

单位矢量为

它们的偏导数为

    2．矢量的坐标变换

[一般公式]  一个由(x，y，z)坐标系所表达的矢量可以用()坐标系来表达:

＝(， y， z)＝i＋y j＋z k＝

式中

[圆柱面坐标系与直角坐标系的互换]  由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式

由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式

[球面坐标系与直角坐标系的互换] 由球面坐标系到直角坐标系的变换公式

由直角坐标系到球面坐标系的变换公式

3．各种算子在不同坐标系中的表达式

设U＝U(x，y，z)是一个标函数，V＝V(x，y，z)是一个矢函数.

[在圆柱面坐标系中各种算子的表达式]

哈密顿算子  ＝++

梯      度  gradU＝U＝++

散      度  divV＝·V＝

旋      度  rotV＝×V＝＋＋

拉普拉斯算子  U＝div gradU＝

[在球面坐标系中各种算子的表达式]

哈密顿算子  ＝+ +

梯      度  gradＵ＝Ｕ＝++

散      度  div V=·V=

旋      度  rotV＝×V＝

+

＋

拉普拉斯算子  U＝div gradU

 ＝

三、曲线积分、曲面积分与体积导数

[矢量的曲线积分及其计算公式]  矢量场r(r)沿曲线的曲线积分定义为

r(r)·dr＝r()·ri-1

式中ri-1=ri－ri-1，右边极限与的选择无关，曲线

由A到B(图8.13)

若矢函数Ｒ(r)是连续的(就是它的三个分量是

连续函数), 曲线也是连续的, 且有连续转动的

切线, 则曲线积分

存在.

若Ｒ(r)为一力场，则Ｐ＝就等于把

一质点沿着 移动时力Ｒ所作的功.

    矢量曲线积分的计算公式如下：

        ＝

        =＋  (图8.14)

        =－

        =＋

        =k    (k为常数)

[矢量的环流]  如果为一闭曲线，则沿曲线 的曲线积分

＝

称为矢量场Ｒ(r)沿闭曲线 的环流.

    势量场沿任何闭曲线的环流都等于零.如果Ｒ(r)为一势量场，且它的势函数为时，则曲线积分

             =＝(B)－(A)

与连接A，B两点的路径无关，只依赖于A，B两点的

位置(图8.15).

    [矢量的曲面积分]  设S为一曲面，令N＝表示在曲面S上一点的法线单位矢量,而dS＝NdS表示面积矢量元素.又设(r)= (x, y,z)是定义在曲面S上的连续标函数，R(r)=(X(x, y,z),Y(x, y,z), Z(x, y,z))是定义在曲面S上的连续矢函数，则曲面积分有如下的三种形式：

    1  标量场的通量(或流量)

        dS=dydz i＋dzdx j＋dxdy k

式中Syz，Szx，Sxy分别表示曲面S在Oyz平面，Ozx平面，

Oxy平面上的投影.Sxy的正负号规定如下：当从ｚ轴正方

向看去时，看到的是曲面S的正面，认为Sxy为正，如果

看到的是曲面的反面，则认为Sxy为负(图8.16).

    2  矢量场的标通量

    R·dS=Xdydz＋Ydzdx＋Zdxdy

式中Syz等的意义同1.

3  矢量场的矢通量

R×dS＝(Zj－Yk)dydz＋(Xk－Zi)dzdx＋(Yi－Xj)dxdy

式中Syz等的意义同1.

    [矢量的体积导数]  如果S是包围体积V的闭曲面，并包含点r，则沿闭曲面S的曲面积分(dS, R·dS, R×dS)与体积V之比，当V趋于零时(即它的直径０)的极限称为标量场(或矢量场R)在点r处的体积导数(或空间导数).

    1  标量场的体积导数就是它的梯度：

grad＝

    2  矢量场Ｒ的体积导数之一是它的散度：

div R＝

    3  矢量场Ｒ的另一个体积导数是它的旋度：

rot R＝－

四、矢量的积分定理

    [高斯公式]

RdV=R·dS=R·NdS

即

式中Ｓ为空间区域Ｖ的边界曲面，N＝为

在S上一点的法线单位矢量，R(r)=(X(x, y,z),Y(x, y,z),Z(x, y,z))

在V＋S上有连续偏导数.

    [斯托克斯公式]

rot Ｒ·dS＝rot R·NdS＝R·dr

即

  = 

  = 

式中S为一定曲面的一侧，L为曲面S的闭边界曲线(L的正向与N构成右手系).S的每点有切面，其方向连续地依赖于曲面上的点，而边界曲线L上的每点都有切线(图8.17). R(r)=(X(x, y,z),Y(x, y,z),Z(x, y,z))在曲面的所有点单值，并在与S足够靠近的点处有连续偏导数.

    [格林公式]

        ·dS=

        ·dS=

式中S为空间区域V的边界曲面，为两个标函数，在S上具有连续偏导数，且在V上具有二阶连续偏导数，为拉普拉斯算子，特别

·dS=

即