2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试卷

注意事项： 

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考 

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 

姓名是否一致． 

2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字 

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 

3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．

一、选择题（共6小题）.

1．一元二次方程的根为　　

A．0    B．1    C．0或1    D．0或

2．平面内，若的半径为2，，则点在　　

A．内    B．上    C．外    D．内或外

3．某商品单价经过两次降价从144元降至81元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程　　

A．    B．    C．    D．

4．在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的　　

A．平均数    B．加权平均数    C．众数    D．中位数

5．如图，内接于，，是的弦，，．下列结论：①；②；③；④．

其中所有正确结论的序号是　　

A．①②③④    B．②③    C．②④    D．②③④

6．如图，是正九边形两条对角线的夹角，则的度数是　　

A．    B．    C．    D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）

7．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根　　．

8．已知扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长为　　．

9．已知的半径为2，若点是的切线上任一点，则长的取值范围是 　　．

10．已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为　 　（结果保留．

11．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为　　．

12．一元二次方程的一个根是，则另一个根是　 　．

13．某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如表所示若把听、说、读、写的成绩按计算平均成绩，则小亮的平均成绩为 　　．

15．如图，矩形的四个顶点分别在扇形的半径和弧上，若，，，则的长为 　　．

16．在平面直角坐标系中，，，若直线上存在点满足且，则常数的取值范围是 　　．

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8分）解下列一元二次方程

（1）；

（2）．

18．（8分）一块矩形菜地的面积是，若将它的长、宽分别增加，，它恰成为一块正方形菜地．求原矩形菜地的长和宽．

19．（8分）如图，在以为直径的圆中，弦，是上一点，射线，分别交圆于点，，连接，求证．

20．（8分）已知关于的一元二次方程的两根是，．

（1）当为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？

（2）说明：无论为何值，方程总有一个不变的根．

21．（8分）数学小组对当地甲、乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查．两家公司分别随机抽取10名司机，他们的月收入（单位：千元）情况如图所示．

将以上信息整理分析如下：

（2）某人计划从甲、乙公司中选择一家做网约车司机，你建议他选哪家公司？说明理由．

22．（8分）利用圆的性质，证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：．

23．（8分）若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”．

（1）方程是“隔根方程”吗？判断并说明理由；

（2）若关于的方程是“隔根方程”，求的值．

24．（8分）在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的所有切线．

（1）如图1，点在圆上；

（2）如图2，点在圆外．

25．（8分）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为．

（1）下列说法正确的是 　　．（填写所有正确结论的序号）

①可以平分的周长；

②可以平分的面积．

（2）当为何值时，的面积等于？

26．（8分）如图，在正方形中，是上一点，射线交于点，交的延长线于点，过点，，画圆，连接．求证：是圆的切线．

27．（8分）解题与遐想．

如图，的内切圆与斜边相切于点，，．求

这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是，有种白算的感觉

赵丽华：

我把4和5换成、再算一遍，的面积总是确实非常神奇了

数学刘老师：

大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？

霍佳：

刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？

计算验证

（1）通过计算求出的面积．

拼图演绎

（2）将分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．

尺规作图

（3）尺规作图：如图，点在线段上，以为斜边求作一个，使它的内切圆与斜边相切于点．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

参与解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．一元二次方程的根为　　

A．0    B．1    C．0或1    D．0或

【分析】先移项，再两边都除以3，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

解：，

，

，

或，

故选：．

2．平面内，若的半径为2，，则点在　　

A．内    B．上    C．外    D．内或外

【分析】根据半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，可得答案．

解：由题意得，，．

，

点在内，

故选：．

3．某商品单价经过两次降价从144元降至81元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程　　

A．    B．    C．    D．

【分析】利用经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

解：依题意得：．

故选：．

4．在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的　　

A．平均数    B．加权平均数    C．众数    D．中位数

【分析】10人成绩的中位数是第5名和第6名同学的成绩的平均数．参赛选手要想知道自己是否能晋级，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．

解：由于总共有10个人，且他们的成绩各不相同，第5名和第6名同学的成绩的平均数是中位数，要判断是否能晋级，故应知道中位数的多少．

故选：．

5．如图，内接于，，是的弦，，．下列结论：①；②；③；④．

其中所有正确结论的序号是　　

A．①②③④    B．②③    C．②④    D．②③④

【分析】利用已知条件与三角形的任意两边之和大于第三边可以判定①错误；利用在同圆或等圆中，等弦对等弧，以及等式的性质可以判定②正确；利用在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等以及等式的性质可以判定③正确；利用等腰三角形的性质以及③的结论可以判定④正确．

解：，，，

．

①错误；

，，

，．

，

．

②正确；

连接，，，，，，，如图，

，，

，．

．

即．

③正确；

，

．

同理可得：

，

，

．

，

．

由③知：，

．

即：．

④正确；

正确的序号为：②③④．

故选：．

6．如图，是正九边形两条对角线的夹角，则的度数是　　

A．    B．    C．    D．

【分析】根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案．

解：如图，设这个正九边形的外接圆为，

则，，

，，

，

故选：．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）

7．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根　　．

【分析】这是一道开放自主题，只要写出的方程的△就可以了．

解：比如，，，

△，

方程为．

8．已知扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长为　　．

【分析】根据弧长公式进行求解即可．

解：弧长

．

故答案为：．

9．已知的半径为2，若点是的切线上任一点，则长的取值范围是 　　．

【分析】根据切线的性质可得的最小值是2，即可得出结论．

解：因为垂线段最短，

所以当直线时，的值最小，

和相切，半径为2，

的最小值是2，

长的取值范围是，

故答案为：．

10．已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为　　（结果保留．

【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长．

解：底面半径为2，则底面周长，圆锥的侧面积．

故答案为：．

11．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为　　．

【分析】先利用垂径定理得到，设，根据勾股定理得，然后解方程即可．

解：弦于点，

，

设，则，

在中，，解得，

即的长为．

故答案为．

12．一元二次方程的一个根是，则另一个根是　　．

【分析】根据根与系数的关系来解题．

解：设方程的另一根为，则，

解得，．

故答案是：．

13．某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如表所示若把听、说、读、写的成绩按计算平均成绩，则小亮的平均成绩为 　82分　．

解：小亮的平均成绩为：

（分．

故小亮的平均成绩为82分．

故答案为：82分．

14．如图，四边形的各边都与圆相切，它的周长为18，若，则的长为 　4　．

【分析】根据切线长定理可得，即可求的长度．

解：与四边形各边相切，

，

，四边形的周长为18，

，

，

故答案为：4．

15．如图，矩形的四个顶点分别在扇形的半径和弧上，若，，，则的长为 　2　．

【分析】连接，可得，根据已知可得，根据四边形是矩形，可得，，再根据含30度角的直角三角形可得，根据勾股定理即可求出的长，进而可得的长．

解：如图，连接，

，

，

，

，

四边形是矩形，

，，

在中，，

，

，

，

在中，根据勾股定理，得

，

，

解得，

．

故答案为：2．

16．在平面直角坐标系中，，，若直线上存在点满足且，则常数的取值范围是 　或　．

【分析】利用可得点在线段的垂直平分线上，分或两种情况讨论解答：求出当和时的值，结合图象即可求得的取值范围．

解：，，

．

，

点在线段的垂直平分线上，

设线段的垂直平分线交轴于点，则点，

．

①当时，

设直线交轴于点，交轴于点，则，．

，．

，．

当时，如图，

，

．

，

为斜边的中点，

．

．

．

当时，如图，

过点作于点，

，

．

设，则，

，

，

．

，

，

．

，

．

．

，

．

②当时，

设直线交轴于点，交轴于点，则，．

，．

，．

当时，如图，

，

．

，

为斜边的中点，

．

．

．

当时，如图，

过点作于点，

，

．

设，则，

，

，

．

，

，

．

，

．

．

，

．

综上，常数的取值范围是：或．

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8分）解下列一元二次方程

（1）；

（2）．

【分析】（1）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；

（2）利用公式法求解即可．

解：（1），

，

则，

或，

解得，；

（2），，，

△，

则，

即，．

18．（8分）一块矩形菜地的面积是，若将它的长、宽分别增加，，它恰成为一块正方形菜地．求原矩形菜地的长和宽．

【分析】设正方形菜地的边长为，则原矩形菜地的长为，宽为，根据原矩形菜地的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其正值分别代入及中即可求出原矩形菜地的长和宽．

解：设正方形菜地的边长为，则原矩形菜地的长为，宽为，

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去），

，．

答：原矩形菜地的长为，宽为．

19．（8分）如图，在以为直径的圆中，弦，是上一点，射线，分别交圆于点，，连接，求证．

【分析】利用垂径定理以及圆周角定理证明，可得结论．

【解答】证明：是直径，，

，

，

，

，，

，

，

，

．

20．（8分）已知关于的一元二次方程的两根是，．

（1）当为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？

（2）说明：无论为何值，方程总有一个不变的根．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△，可得出△，由方程总有两个不相等的实数根，可得出，解之即可得出，进而可得出当时，这个方程总有两个不相等的实数根；

（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两个根，进而可得出无论为何值，方程总有一个不变的根为．

解：（1），，，

△．

方程总有两个不相等的实数根，

，即，

，

当时，这个方程总有两个不相等的实数根．

（2），即，

或，

，，

无论为何值，方程总有一个不变的根为．

21．（8分）数学小组对当地甲、乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查．两家公司分别随机抽取10名司机，他们的月收入（单位：千元）情况如图所示．

将以上信息整理分析如下：

（2）某人计划从甲、乙公司中选择一家做网约车司机，你建议他选哪家公司？说明理由．

【分析】（1）利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案；

（2）根据平均数，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．

解：（1）甲公司平均月收入：（千元）；

乙公司滴滴中位数为（千元）；

甲公司众数（千元）；

甲公司方差：；

故答案为：7.3，5.5，7，1.41；

（2）选甲公司，因为甲公司平均数，中位数、众数大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定．

22．（8分）利用圆的性质，证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：．

【分析】作的外接圆，利用圆周角定理进行推理．

【解答】证明：如图，作的外接圆，

，

是圆的直径．

是斜边上的中线，

点为的中点．

点为圆心，为半径．

．

23．（8分）若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”．

（1）方程是“隔根方程”吗？判断并说明理由；

（2）若关于的方程是“隔根方程”，求的值．

【分析】（1）不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，二者做差后可得出，进而可得出方程不是“隔根方程”；

（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，结合关于的方程是“隔根方程”，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出的值．

解：（1）不是，理由如下：

，即，

，．

，

方程不是“隔根方程”．

（2），即，

，．

又关于的方程是“隔根方程”，

，

解得：或．

24．（8分）在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的所有切线．

（1）如图1，点在圆上；

（2）如图2，点在圆外．

【分析】（1）根据切线的性质作图即可；

（2）根据切线的性质作图即可．

解：（1）如图：直线即为所求；

（2）如图：直线、即为所求．

25．（8分）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为．

（1）下列说法正确的是 　②　．（填写所有正确结论的序号）

①可以平分的周长；

②可以平分的面积．

（2）当为何值时，的面积等于？

【分析】（1）由勾股定理得，当平分的周长时，，得（舍，当时，可知时，可以平分的面积；

（2）由题意知，即可解决问题．

解：（1），

由勾股定理得：，

当时，

（舍，

当时，

解得或（舍，

时，可以平分的面积，

故答案为：②；

（2）①由题意知：，，

，

解得：或7（舍去），

当时，的面积等于．

26．（8分）如图，在正方形中，是上一点，射线交于点，交的延长线于点，过点，，画圆，连接．求证：是圆的切线．

【分析】连接圆心与点，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由切线的判定定理即可得到结论．

【解答】证明：连接圆心与点，

，

，

，

，

在正方形中，，，

在和中，

，

，

，

，

，即，

且在圆上，

是圆的切线．

27．（8分）解题与遐想．

如图，的内切圆与斜边相切于点，，．求

这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是，有种白算的感觉

赵丽华：

我把4和5换成、再算一遍，的面积总是确实非常神奇了

数学刘老师：

大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？

霍佳：

刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？

计算验证

（1）通过计算求出的面积．

拼图演绎

（2）将分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．

尺规作图

（3）尺规作图：如图，点在线段上，以为斜边求作一个，使它的内切圆与斜边相切于点．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

【分析】（1）设的半径为，由切线长定理得，，，，由勾股定理得，，进而求得结果；

（2）将甲乙图形放在为边的上方，将丙丁以为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；

（3）可先计算，根据“定弦对定角”作点的轨迹，根据切线性质，过点作的垂线，再根据直径所对的圆周角是，确定点．

解：（1）如图1，

设的半径为，

连接，，

内切于，

，，，，

，

四边形是矩形，

，，

，，

在中，由勾股定理得，

，

，

；

（2）如图2，

（3）设的内切圆记作，

和平分和，，

，，

，

，

可以按以下步骤作图（如图

①以为直径作圆，作的垂直平分线交圆于点，

②以为圆心，为半径作圆，

③过点作的垂线，交圆于，

④连接并延长交圆于，连接，，

则就是求作的三角形．