扭摆法研究垂直轴定理的讨论

摘要：用扭摆法对钢丝的切变模量进行了测量，通过实验数据与分析，验证了反应刚体转动惯量性质的垂直轴定理；并进一步对垂直轴定理的适用条件进行了分析。

关键词：垂直轴定理 转动惯量 切变模量 扭摆法

1、引言

转动惯量可以采用多种方法进行测量，扭摆是其中一种重要方法。扭摆具有结构简单、操作简便的特点，可测量钢丝的切变模量及验证刚体垂直轴定理等。在进行垂直轴定理验证时，由于刚体并非完全没有厚度，实验中的测量值往往集中在理论值的一侧。笔者利用一般条件下的垂直轴定理，对实验结果进行了进一步讨论，并对垂直轴定理的成立条件进行了深入的探究。

2、实验原理

2.1 扭摆法测量钢丝的切变模量

扭摆的结构如图1所示。若使爪手绕中心轴转过某一角度，然后放开，则爪手将在钢丝弹性扭转力矩的作用下做周期性的自由振动，这就构成了扭摆。

若爪手扭动的角度为θ，刚体转动惯量为I0，爪手转动惯量为I1，则其运动方程为：

式中D的表达式为： 

G为金属丝的切变模量，d为金属丝直径，l为长度。求出刚体扭动周期为： 

所以即

当I1已知时，即可算出钢丝的切变模量G。

2.2 扭摆法测量刚体的转动惯量

由上面切变模量的测量原理，在已知G的情况下，对于转动惯量I1未知的物体，有：

利用此式即可求出物体绕金属丝转动时的转动惯量。

2.3 关于垂直轴定理

对于厚度无穷小的刚体薄板，建立三维直角坐标系O-xyz，使得x，y轴均在薄板平面内垂直，如图2，则刚体绕z轴转动的转动惯量就等于其分别绕x，y轴转动的转动惯量之和，即：

  这就是垂直轴定理。

本次实验使用刚体圆环作为对象验证垂直轴定理，若不考虑圆环厚度：

水平放置时的转动惯量为：

垂直放置时转动惯量为：

其中b、c分别为圆环的内径和外径，M为圆环的质量。易得

3、实验装置简介

实验装置结构如图3 所示：

实验使用的是FD-TM-B切变模量与转动惯量试验仪。爪手的顶部带轧具，环状刚体可水平和垂直放置在爪盘上绕轴扭转；环状刚体有水平放置和垂直放置2种状态；底座支架可调；数字式智能计时计数仪的量程为0～256s，分辨率为0.01s。

4、实验方法

1）测量圆环的质量m1、内直径d1、外直径d2；钢丝的直径d=2R

2）将实验装置组装好，测量金属丝的长度l

3）转动爪盘270°，用霍尔开关计时计数仪测量摆动周期T0；再将环状刚体水平放置在爪手上，同样方法测量摆动周期T1。计算出钢丝的切变模量G

4）分别测量圆环垂直放置时与空载时的摆动周期；并计算出相应的转动惯量I垂直；根据步骤1)中的数据，计算出圆环水平放置时的转动惯量I水平

5）计算I水平/I垂直的值并进行分析

5、实验数据与结果分析

5.1 数据处理

圆环参量：d1 = 79.91 mm , d2 =110.03 mm ,

m1 = 557.76g 

钢丝参量: l = 72.80cm , 2R =0.402 mm

摆动周期：T0 = 5.800s ,  T1 = 14.904s

因此钢丝切变模量

对垂直轴定理的验证：

圆环垂直放置时的转动惯量

圆环水平放置时的转动惯量

所以：

即，两者百分差约为1.2%，基本与垂直轴定理相符。

5.2分析与讨论

从实验角度看，既然实验误差是不可避免的，那么在多次测量时，比值就应该在2附近波动。但实验数据中看，该比值总是偏小。

这可能是由于测量的圆环具有一定厚度造成的，事实上，对于一般情况，垂直轴定理的形式应该为：

具体到圆环则为：

其中d为圆环的厚度

即：

可以看出，只有当厚度趋于零时，才有：

下面讨论满足垂直轴定理时，厚度d需要满足的条件：

对转动惯量的测量值进行不确定度分析：由可得：影响不确定度的主要量为：

、、、

以上四个量分别为圆环质量、测量圆环转动惯量时的周期平方差、圆环内外径的平方和、测量钢丝切变模量时的周期平方差。

所以总不确定度应为：

即测量值的误差在0.7%左右。

同理，根据的计算公式，可得： 

因此可以认为，通过多次测量，当比值相对理论值的误差也能控制在0.7%以内时，可以认为刚体圆环的厚度对于实验的影响可以忽略不记，即视为薄板状。

对于圆环，要求：

即： 

本实验中：

所以圆环厚度d应小于0.0136m

实验中实际测得的圆环厚度为：

略大于1.36cm的，因此从数据中可以较为明显地看出相对理论值偏小。如果将d考虑进去，则测量所得的

相对误差为0.5%，小于0.7%，说明实验结果是准确的。

6、小结

通过以上分析，我们对于垂直轴定理中刚体的“厚”与“薄”的问题有了一个定量的了解。即当刚体厚度在其线度的10%以内时，其厚度可以忽略不计。对于本实验，则可以增设一些外径不同，内径、厚度相同或者厚度不同，内径、外径相同的圆环进行比较实验，从而加深对实验的理解。

参考文献：

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