学习等差数列求和公式的四个层次

   等差数列前n项和公式,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次:

1.直接套用公式

从公式中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求.

例1  设等差数列的公差为d,如果它的前n项和,那么(   ).(1992年三南高考试题)

(A)                 (B) 

(C)               (D) 

解法1  由于且知, 

选(C).

解法2  对照系数易知

此时由知故选(C).

例2  设是等差数列的前n项和,已知与的等比中项为,与的等差中项为1,求等差数列的通项.(1997年全国高考文科)

解  设的通项为前n项和为

由题意知,

即

化简可得解得或

由此可知或

经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为或

2.逆向活用公式

在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性.

例3  设求证: 

(1985年全国高考文科)

证明  

又

又

且

例4  数列对于任意自然数n均满足,求证:是等差数列. (1994年全国高考文科)

证明  欲证为常数,

由及可得

推出

作差可得因此

由递推性可知:为常数),所以命题得证.

这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学习中的一个失误,倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局还能如此惨重吗?

3.横向联系,巧用公式

在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分析透彻理解公式,公式表明是关于n的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列均在同一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再看例2.

解  设,则可得

解得或,所以或

从而或

y

例5  设等差数列的前项和为,已知指出中哪一个值最大,并说明理由. (1992年全国高考试题)

解  由于表明点列

都在过原点的抛物线上,再由

易知此等差数列公差d<0,且图象如图所示,

O

易知其对称轴为,

于是,故最大.

4.恰当变形妙用公式

对公式进行适当变形,然后再运用公式是公式应用的较高层次,从而丰富了公式本身的内涵,往往给解题带来捷径,体现了思维的深刻性.

对于公式,变形可得

,

对于公式,变形可得

它表明对于任意,点列都在同一直线上.

例6  等差数列的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(   )

(A)130      (B)170       (C)210          (D)260(1996年全国高考试题)

解法1   

又由于,

,,

从而选(C).

解法2  由于点在同一直线上,因此

,化简可得:,选(C).

在上文我们曾给出97年高考试题两个解法, 这里我们再给出两个解法.

解法3  由于点列均在同一直线上,说明数列成等差数列,从而可得

,解得或

从而可求得或,

y

故等差数列通项为或

解法4  由于点列均在同一直线上如图所示,

由知A点坐标为(3.5,1).

若直线l与x轴无交点,即平行于x轴,则

d=0, ,显然也满足条件,从而

若直线l与x轴相交,设其交点为B(x,0), 由及知且若不然,由单调性知不可能有,因此点B应落在(4,0),(5,0)之间.由可得

即有解得.

由A、B两点坐标可求所在直线方程为

综上所述所求等差数列通项公式为或

从以上可以看出,对公式的学习不应仅仅停留在公式的表面.对公式深刻而丰富的内涵忽视或视而不见,而应充分挖掘出这些隐藏在内部的思想方法为我所用,提高公式的解题功效,才能达到灵活运用公式的较高境界.