第一章 平行线单元测试卷(含解析)

浙教版七年级下第一章平行线单元测试卷

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．若∠α与∠β同旁内角，且∠α＝50°时，则∠β的度数为（　　）

A．50° B．130° C．50°或130° D．无法确定

2．已知∠AOB，P是任一点，过点P画一条直线与OA平行，则这样的直线（　　）

A．有且仅有一条 B．有两条    

C．不存在 D．有一条或不存在

3．下列说法不正确的是（　　）

A．过任意一点可作已知直线的一条平行线    

B．同一平面内两条不相交的直线是平行线    

C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直    

D．平行于同一直线的两直线平行

4．如图是用一张长方形纸片折成的，如果∠1＝100°，那么∠2的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°

5．如图所示，AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，则∠BOF为（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°

6．如图，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝30°，则∠NMP等于（　　）

A．10° B．15° C．5° D．7.5°

7．将一副三角板按如图放置，则下列结论①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④

8．如图，多边形ABCDEFGHIJ的相邻两边互相垂直，要求出它的周长，至少需要知道（　　）条边的边长．

A．3 B．4 C．5 D．6

9．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　）

A．42°、138° B．都是10°    

C．42°、138°或42°、10° D．以上都不对

10．如图，已知AB∥DE，那么下列结论正确的是（　　）

A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2﹣∠3＝180°    

C．∠1＝∠2+∠3 D．∠1﹣∠2+∠3＝180°

第Ⅱ卷（非选择题）

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11．在同一平面内有三条直线，如果其中有两条且只有两条相互平行，那么它们有　   　个交点．

12．如图，与∠1构成同位角的是　   　，与∠2构成同旁内角的是　   　．

13．经过直线外一点，　   　一条直线与这条直线平行．

14．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论

①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；

③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．

其中正确的有　   　．（填序号）

15．如图a是长方形纸带，∠DEF＝26°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠FGD的度数是　   　度，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠DHF的度数是　   　．

16．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在MN的位置上，若∠EFG＝55°，则∠2＝　   　．

17．（6分）按要求完成作图，并回答问题；如图在△ABC中：

（1）过点A画BC的垂线，垂足为E；

（2）画∠ABC的平分线，交AC于F；

（3）过E画AB的平行线，交AC于点G；

（4）过点C画AB所在的直线的垂线段，垂足为H．

18．（6分）如图，有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的八个角．请你任意选择其中的三个角（不可选择未标注的角），尝试找到它们的关系，并选择其中一组予以证明．

19．（6分）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：

∵∠1＝∠2（已知），

且∠1＝∠CGD（　   　）

∴∠2＝∠CGD（等量代换）

∴CE∥BF（　   　）

∴∠　   　＝∠BFD（　   　）

又∵∠B＝∠C（已知）

∴∠BFD＝∠B（等量代换）

∴AB∥CD（　   　）

20．（8分）（1）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在线段AB上，则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是　   　；如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝　   　°．

（2）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．

21．（8分）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为　   　；

（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；

（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．

22．（8分）若在方格（每小格正方形边长为1m）上沿着网格线平移，规定：沿水平方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿竖直方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”．例如：点A按“平移量”{1，4}可平移至点B．

（1）从点C按“平移量”{　   　，　   　}可平移到点B；

（2）若点B依次按“平移量”{4，﹣3}、{﹣2，1}平移至点D，

①请在图中标出点D；（用黑色水笔在答题卡上作出点D）

②如果每平移1m需要2.5秒，那么按此方法从点B移动至点D需要多少秒？

③观察点D的位置，其实点B也可按“平移量”{　   　，　   　}直接平移至点D；观察这两种平移的“平移量”，猜想：点E依次按“平移量”{2a，3b}、{﹣5a，b}、{a，﹣5b}平移至点F，则相当于点E按“平移量”{　   　，　   　}直接平移至点F．

23．（10分）如图1所示，已知BC∥OA，∠B＝∠A＝120°

（1）说明OB∥AC成立的理由．

（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．

（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．

（4）在（3）的条件下，当∠OEB＝∠OCA时，求∠OCA的度数．

参与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．若∠α与∠β同旁内角，且∠α＝50°时，则∠β的度数为（　　）

A．50° B．130° C．50°或130° D．无法确定

【分析】两直线平行，同旁内角互补；不平行时无法确定同旁内角的大小关系．

【解答】解：虽然α和β是同旁内角，但缺少两直线平行的前提，所以无法确定β的度数．

故选：D．

【点评】此题主要考查了同旁内角的定义，特别注意，同旁内角互补的条件是两直线平行．

2．已知∠AOB，P是任一点，过点P画一条直线与OA平行，则这样的直线（　　）

A．有且仅有一条 B．有两条    

C．不存在 D．有一条或不存在

【分析】分点P在OA上和不在OA上两种情况，根据平行公理解答即可．

【解答】解：①若点P在OA上，则不能画出与OA平行的直线，

②若点P不在OA上，则过点P有且只有一条直线与OA平行，

所以，这样的直线有一条或不存在．

故选：D．

【点评】本题考查了平行公理，难点在于要考虑点P与OA的位置．

3．下列说法不正确的是（　　）

A．过任意一点可作已知直线的一条平行线    

B．同一平面内两条不相交的直线是平行线    

C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直    

D．平行于同一直线的两直线平行

【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．

【解答】解：A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．

B、C、D是公理，正确．

故选：A．

【点评】本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．

4．如图是用一张长方形纸片折成的，如果∠1＝100°，那么∠2的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°

【分析】由折叠的性质和平行线的性质可知2∠2＝∠1，可得出答案．

【解答】解：如图，由折叠的性质可知∠2＝∠3，

∵AB∥CD，

∴∠1＝∠3+∠2＝100°，

∴∠2＝50°．

故选：A．

【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．

5．如图所示，AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，则∠BOF为（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°

【分析】首先根据平分线的性质求得∠DOA的度数，然后根据角平分线的性质得到∠EOD的度数，然后根据垂直求得∠DOF，从而求得∠BOF的度数．

【解答】解：∵AB∥CD，∠D＝50°，

∴∠DOA＝130°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠DOE＝65°，

∵OF⊥OE，

∴∠DOF＝25°，

∴∠BOF＝25°，

故选：C．

【点评】本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质和已知角求得∠DOA的度数是解决本题的关键．

6．如图，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝30°，则∠NMP等于（　　）

A．10° B．15° C．5° D．7.5°

【分析】由AB∥CD，MP∥AB推出AB∥CD∥MP，根据平行线的性质求出∠AMD的度数为70°，再根据角平分线的定义求出∠AMN＝35°，所以∠NMP＝∠AMP﹣∠AMN．

【解答】解：∵AB∥CD，MP∥AB，

∴AB∥CD∥MP，

∵∠A＝40°，∠D＝30°，

∴∠AMP＝∠A＝40°，∠DMP＝∠D＝30°，

∴∠AMD＝40°+30°＝70°，

∵MN平分∠AMD，

∴∠AMN＝∠AMD＝×70°＝35°，

∴∠NMP＝∠AMP﹣∠AMN＝40°﹣35°＝5°．

故选：C．

【点评】本题主要考查两直线平行内错角相等的性质和角平分线的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键．

7．将一副三角板按如图放置，则下列结论①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④

【分析】根据余角的概念和同角的余角相等判断①；根据平行线的判定定理判断②；根据平行线的判定定理判断③；根据②的结论和平行线的性质定理判断④．．

【解答】解：∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，

∴∠1＝∠3，①正确；

∵∠2＝30°，

∴∠1＝60°，

又∵∠E＝60°，

∴∠1＝∠E，

∴AC∥DE，②正确；

∵∠2＝30°，

∴∠1+∠2+∠3＝150°，

又∵∠C＝45°，

∴BC与AD不平行，③错误；

∵∠2＝30°

∴AC∥DE，

∴∠4＝∠C，④正确．

故选：B．

【点评】本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．

8．如图，多边形ABCDEFGHIJ的相邻两边互相垂直，要求出它的周长，至少需要知道（　　）条边的边长．

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】根据平移的性质，只要能求出横向与纵向的总长度，即可求出它的周长．

【解答】解：根据平移的性质，只要知道GH、AB、BC的长度，就可以求出周长．

故选A．

【点评】本题主要考查了平移的性质，把不规则图形部分平移到规则图形的部分是解题的关键．

9．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　）

A．42°、138° B．都是10°    

C．42°、138°或42°、10° D．以上都不对

【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补列方程求解．

【解答】解：设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°，

（1）两个角相等，则x＝4x﹣30°，

解得x＝10°，

4x﹣30°＝4×10°﹣30°＝10°；

（2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）＝180°，

解得x＝42°，

4x﹣30°＝4×42°﹣30°＝138°．

所以这两个角是42°、138°或10°、10°．

以上答案都不对．

故选：D．

【点评】本题主要运用两边分别平行的两个角相等或互补，学生容易忽视互补的情况而导致出错．

10．如图，已知AB∥DE，那么下列结论正确的是（　　）

A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2﹣∠3＝180°    

C．∠1＝∠2+∠3 D．∠1﹣∠2+∠3＝180°

【分析】延长BC交直线DE于F，根据平行线的性质得到∠F＝180°﹣∠1，由三角形的外角的性质得到∠F＝∠2﹣∠3，即可得到结论．

【解答】解：延长BC交直线DE于F，

∵AB∥DF，

∴∠1+∠F＝180°，

∴∠F＝180°﹣∠1，

∵∠2＝∠3+∠F，

∴∠F＝∠2﹣∠3，

∴∠1+∠2﹣∠3＝180°，

故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．

二．填空题（共6小题）

11．在同一平面内有三条直线，如果其中有两条且只有两条相互平行，那么它们有　2　个交点．

【分析】根据同一平面内直线的位置关系得到第三条直线与另两平行直线相交，再根据直线平行和直线相交的定义即可得到交点的个数．

【解答】解：∵在同一平面内有三条直线，如果其中有两条且只有两条相互平行，

∴第三条直线与另两平行直线相交，

∴它们共有2个交点．

故答案为2．

【点评】本题考查了直线平行的定义：没有公共点的两条直线是平行直线．也考查了同一平面内两直线的位置关系有：平行，相交．

12．如图，与∠1构成同位角的是　∠B，　，与∠2构成同旁内角的是　∠1　．

【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．

内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．

同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．

分别进行分析．

【解答】解：如图：

与∠1是同位角的是∠B，

与∠2是同旁内角的是∠1．

故答案为：∠B，∠1．

【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．

13．经过直线外一点，　有且只有　一条直线与这条直线平行．

【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解答即可．

【解答】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

故答案为：有且只有．

【点评】本题考查了平行公理，牢记平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键．注意平行公理中“有且只有”的含义，从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．

14．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论

①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；

③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．

其中正确的有　①②④　．（填序号）

【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案．

【解答】解：①∵∠CAB＝∠EAD＝90°，

∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，

∴∠1＝∠3．

∴①正确．

②∵∠2＝30°，

∴∠1＝90°﹣30°＝60°，

∵∠E＝60°，

∴∠1＝∠E，

∴AC∥DE．

∴②正确．

③∵∠2＝30°，

∴∠3＝90°﹣30°＝60°，

∵∠B＝45°，

∴BC不平行于AD．

∴③错误．

④由②得AC∥DE．

∴∠4＝∠C．

∴④正确．

故答案为：①②④．

【点评】此题主要考查学生对平行线判定与性质、余角和补角的理解和掌握，解答此题时要明确两种三角板各角的度数．

15．如图a是长方形纸带，∠DEF＝26°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠FGD的度数是　52　度，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠DHF的度数是　78°　．

【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE＝∠DEF＝26°，由三角形的外角性质得出∠FGD的度数；根据平角定义、折叠的性质求出∠CFE＝102°，再根据平行线的性质即可求解．

【解答】解：∵AD∥BC，∠DEF＝26°，

∴∠BFE＝∠DEF＝26°，

∴图b中，∠FGD＝26°+26°＝52°；

图c中，∠CFE＝180°﹣3×26°＝102°，

∴∠DHF＝180°﹣102°＝78°．

故答案为：52，78°．

【点评】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，三角形的外角性质；熟练掌握翻折变换的性质和平行线的性质是解决问题的关键．

16．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在MN的位置上，若∠EFG＝55°，则∠2＝　110°　．

【分析】根据折叠的性质可知ME∥NF，由ME∥NF可得出∠BGM＝∠GFN，再分解平角通过计算得出∠BGM的度数，根据∠BGM与∠2互补即可得出结论．

【解答】解：由折叠的性质可知ME∥NF，

∴∠BGM＝∠GFN．

∵2∠EFG+∠GFN＝180°，且∠EFG＝55°，

∴∠BGM＝∠GFN＝180°﹣2×55°＝70°，

又∵∠2+∠BGM＝180°，

∴∠2＝110°．

故答案为：110°

【点评】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是求出∠BGM的度数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质结合折叠的性质得出相等（或互补）的角是关键．

三．解答题（共7小题）

17．按要求完成作图，并回答问题；如图在△ABC中：

（1）过点A画BC的垂线，垂足为E；

（2）画∠ABC的平分线，交AC于F；

（3）过E画AB的平行线，交AC于点G；

（4）过点C画AB所在的直线的垂线段，垂足为H．

【分析】（1）借用量角器，测出∠AEC＝90°即可；

（2）利用角平分线的作法作出∠ABC的平分线；

（3）利用平行线的性质：同位角相等，作图；

（4）借用量角器，测出∠AHC＝90°即可．

【解答】解：（1）作法利用量角器测得∠AEC＝90°，AE即为所求；

（2）作法：

①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠ABC两边于点M，N．

②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于点P

③作射线BP，则射线BP为角ABC的角平分线；

④射线BP交AC于点F；

（3）作法：用量角器测得∠ABC＝∠GEC，EG即为所求；

（4）作法：利用量角器测得∠BHC＝90°，CH即为所求．

【点评】本题主要考查了平行线、垂线及角平分线的画法．在解答此题时，用到的作图工具有圆规、量角器及直尺．

18．如图，有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的八个角．请你任意选择其中的三个角（不可选择未标注的角），尝试找到它们的关系，并选择其中一组予以证明．

【分析】根据三角形的外角和为360°，三角形的内角和为180°以及三角形外角和定理即可写出三个角之间的数量关系．

【解答】解：如∠2+∠4+∠6＝360°，∠1+∠5+∠7＝180°，∠2＝∠5+∠7，∠3＝∠1+∠8，

已知如图：有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的八个角，

求证：∠1+∠5+∠7＝180°，

证明：∵∠DAC+∠7+∠5＝180°，

又∵∠1＝∠DAC，

∴∠1+∠5+∠7＝180°．

【点评】此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．

19．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：

∵∠1＝∠2（已知），

且∠1＝∠CGD（　对顶角相等　）

∴∠2＝∠CGD（等量代换）

∴CE∥BF（　同位角相等，两直线平行　）

∴∠　C　＝∠BFD（　两直线平行，同位角相等　）

又∵∠B＝∠C（已知）

∴∠BFD＝∠B（等量代换）

∴AB∥CD（　内错角相等，两直线平行　）

【分析】首先确定∠1＝∠CGD是对顶角，利用等量代换，求得∠2＝∠CGD，则可根据：同位角相等，两直线平行，证得：CE∥BF，又由两直线平行，同位角相等，证得角相等，易得：∠BFD＝∠B，则利用内错角相等，两直线平行，即可证得：AB∥CD．

【解答】解：∵∠1＝∠2（已知），

且∠1＝∠CGD（对顶角相等），

∴∠2＝∠CGD（等量代换），

∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），

∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），

又∵∠B＝∠C（已知），

∴∠BFD＝∠B（等量代换），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：（对顶角相等），（同位角相等，两直线平行），C，（两直线平行，同位角相等），（内错角相等，两直线平行）．

【点评】此题考查了平行线的判定与性质．注意数形结合思想的应用．

20．（1）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在线段AB上，则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是　∠3＝∠1+∠2　；如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝　85　°．

（2）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．

【分析】（1）在图1中，作PM∥AC，利用平行线性质即可证明；利用①结论即可求得∠BAC的度数．

（2）根据BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．根据∠1+∠2＝90°，即∠BED＝90°；那么∠3+∠FDE＝90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．

【解答】解：（1）如图1中，作PM∥AC，

∵AC∥BD，

∴PM∥BD，

∴∠1＝∠CPM，∠2＝∠MPD，

∴∠1+∠2＝∠CPM+∠MPD＝∠CPD＝∠3．

由题可知：∠BAC＝∠B+∠C，

∵∠B＝40°，∠C＝45°，

∴∠BAC＝40°+45°＝85°．

故答案为：∠1+∠2＝∠3，85°．

（2）证明：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，

∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC；

∵∠1+∠2＝90°，

∴∠ABD+∠BDC＝180°；

∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）

∵DE平分∠BDC，

∴∠2＝∠FDE；

∵∠1+∠2＝90°，

∴∠BED＝∠DEF＝90°；

∴∠3+∠FDE＝90°；

∴∠2+∠3＝90°．

【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，正确添加辅助线是解决问题的关键．

21．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为　∠PFD+∠AEM＝90°　；

（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；

（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．

【分析】（1）由平行线的性质得出∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，即可得出结果；

（2）由平行线的性质得出∠PFD+∠1＝180°，再由角的互余关系即可得出结果；

（3）由角的互余关系求出∠PHE，再由平行线的性质得出∠PFC的度数，然后由三角形的外角性质即可得出结论．

【解答】解：（1）作PG∥AB，如图①所示：

则PG∥CD，

∴∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，

∵∠1+∠2＝∠P＝90°，

∴∠PFD+∠AEM＝∠1+∠2＝90°，

故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；

（2）证明：如图②所示：

∵AB∥CD，

∴∠PFD+∠BHF＝180°，

∵∠P＝90°，

∴∠BHF+∠2＝90°，

∵∠2＝∠AEM，

∴∠BHF＝∠PHE＝90°﹣∠AEM，

∴∠PFD+90°﹣∠AEM＝180°，

∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；

（3）如图③所示：

∵∠P＝90°，

∴∠PHE＝90°﹣∠FEB＝90°﹣15°＝75°，

∵AB∥CD，

∴∠PFC＝∠PHE＝75°，

∵∠PFC＝∠N+∠DON，

∴∠N＝75°﹣30°＝45°．

【点评】本题考查了平行线的性质、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键．

22．若在方格（每小格正方形边长为1m）上沿着网格线平移，规定：沿水平方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿竖直方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”．例如：点A按“平移量”{1，4}可平移至点B．

（1）从点C按“平移量”{　﹣2　，　﹣1　}可平移到点B；

（2）若点B依次按“平移量”{4，﹣3}、{﹣2，1}平移至点D，

①请在图中标出点D；（用黑色水笔在答题卡上作出点D）

②如果每平移1m需要2.5秒，那么按此方法从点B移动至点D需要多少秒？

③观察点D的位置，其实点B也可按“平移量”{　2　，　﹣2　}直接平移至点D；观察这两种平移的“平移量”，猜想：点E依次按“平移量”{2a，3b}、{﹣5a，b}、{a，﹣5b}平移至点F，则相当于点E按“平移量”{　﹣2a　，　﹣b　}直接平移至点F．

【分析】（1）根据图形，点B在点C的左边2个单位，下方1个单位，再根据“平移量”的定义即可求解；

（2）①根据“平移量”的定义确定出点D的位置即可；

②根据“平移量”的定义求出从点B移动到点D的路程，然后乘以2.5，计算即可得解；

③根据“平移量”的定义结合直接写出点B到点D的平移量即可；把从点E到点F所有平移量的横向相加，纵向相加，计算即可得解．

【解答】解：（1）从C到B，向左2个单位，向下1个单位，

所以，平移量为{﹣2，﹣1}；

（2）①点B依次按“平移量”{4，﹣3}、{﹣2，1}平移至点D如图所示；

②（4+3+2+1）×2.5＝10×2.5＝25秒；

③由图可知，点B到点D，向右2个单位，向下2个单位，

所以，平移量为{2，﹣2}，

∵2a﹣5a+a＝﹣2a，

3b+b﹣5b＝﹣b，

∴点E到F的平移量为{﹣2a，﹣b}．

故答案为：（1）﹣2，﹣1；（2）③2，﹣2；﹣2a，﹣b．

【点评】本题考查了平移的性质，平移量的定义，读懂题目信息，理解平移量的定义并熟练掌握网格结构是解题的关键．

23．如图1所示，已知BC∥OA，∠B＝∠A＝120°

（1）说明OB∥AC成立的理由．

（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．

（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．

（4）在（3）的条件下，当∠OEB＝∠OCA时，求∠OCA的度数．

【分析】（1）由BC∥OA得∠B+∠O＝180°，所以∠O＝180°﹣∠B＝60°，则∠A+∠O＝180°，根据平行线的判定即可得到OB∥AC；

（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE＝∠FOE，加上∠FOC＝∠AOC，所以∠EOF+∠COF＝∠AOB＝30°；

（3）由BC∥OA得到OCB＝∠AOC，∠OFB＝∠AOF，加上∠FOC＝∠AOC，则∠AOF＝2∠AOC，所以∠OFB＝2∠OCB；

（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB＝2x，根据平行线的性质得∠OEB＝∠AOE，则∠OEB＝∠EOC+∠AOC＝30°+x，再根据三角形内角和定理得∠OCA＝180°﹣∠AOC﹣∠A＝60°﹣x，利用∠OEB＝∠OCA得到30°+x＝60°﹣x，解得x＝15°，所以∠OCA＝60°﹣x＝45°．

【解答】解：（1）∵BC∥OA，

∴∠B+∠O＝180°，

∴∠O＝180°﹣∠B＝60°，

而∠A＝120°，

∴∠A+∠O＝180°，

∴OB∥AC；

（2）∵OE平分∠BOF，

∴∠BOE＝∠FOE，

而∠FOC＝∠AOC，

∴∠EOF+∠COF＝∠AOB＝×60°＝30°，

即∠EOC＝30°；

（3）比值不改变．

∵BC∥OA，

∴∠OCB＝∠AOC，∠OFB＝∠AOF，

∵∠FOC＝∠AOC，

∴∠AOF＝2∠AOC，

∴∠OFB＝2∠OCB，

即∠OCB：∠OFB的值为1：2；

（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB＝2x，

∵∠OEB＝∠AOE，

∴∠OEB＝∠EOC+∠AOC＝30°+x，

而∠OCA＝180°﹣∠AOC﹣∠A＝180°﹣x﹣120°＝60°﹣x，

∵∠OEB＝∠OCA，

∴30°+x＝60°﹣x，

解得x＝15°，

∴∠OCA＝60°﹣x＝60°﹣15°＝45°．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．