...华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)

一、单选题

1．命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是（    ）

A．若不正确，则不正确    B．若不正确，则正确

C．若正确，则不正确    D．若正确，则正确

【答案】D

【分析】由命题“若p不正确，则q不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果．

【详解】解：命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：

“若q不正确，则p不正确”

其等价命题是它的逆否命题，即

“若p正确，则q正确”

故选D．

【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．

2．已知，则“，”是“不等式”成立的（    ）条件.

A．充分非必要    B．必要非充分    C．充要    D．既不充分又不必要

【答案】A

【分析】化简不等式为，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项.

【详解】不等式等价于.

故当“，”时，，故，即“不等式”成立.

当“不等式”成立时，，可能是，故不能推出“，”.

所以“，”是“不等式”成立的充分非必要条件.

故选A.

【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题.

3．已知在的最大值为，最小值为，给出下列五个命题：

①若对任何都有，则的取值范围是

②若对任何都有，则的取值范围是

③若关于的方程在区间有解，则的取值范围是

④若关于的不等式在区间有解，则的取值范围是

⑤若关于的不等式在区间有解，则的取值范围是

其中正确命题的个数为（    ）

A．4    B．3    C．2    D．1

【答案】B

【分析】这是恒成立，有解，零点问题的概念题，根据条件转化为最值问题，理解，判断选项.

【详解】由条件对任何都有，可知，即的取值范围是，故①错②正确；

若关于的方程在区间有解，说明应属于函数在上的值域，故③正确；

若关于的不等式在区间有解，则，即则的取值范围是，故④错⑤正确.

故选：B

4．设集合，，，，其中，下列说法正确的是（    ）

A．对任意，是的子集；对任意的，不是的子集

B．对任意，是的子集；存在，使得是的子集

C．存在，使得不是的子集；对任意的，不是的子集

D．存在，使得不是的子集；存在，使得是的子集

【答案】B

【分析】先证得是的子集，然后求得使是的子集，由此确定正确选项．

【详解】对于和，由于时，

所以的元素，一定是的元素，故对任意，是的子集；

对于和，根据判别式有，即时，，满足是的子集，也即存在，使得是的子集.

故选： B.

【点睛】方法点睛：该题主要考查子集的判断，解题方法如下：

（1）利用子集的概念，可以判断出的元素，一定是的元素，得到对任意，是的子集；

（2）利用是的子集，结合判别式的符号，存在实数时，有，得到结果.

二、填空题

5．已知集合，则集合的非空真子集的个数为_________.

【答案】

【分析】先算出集合中的元素个数,根据非空真子集的计算公式即可求出结果.

【详解】解: 集合，

元素个数 ,

所以非空真子集个数为.

故答案为:

6．不等式的解集为__________.

【答案】.

【分析】将原不等式转化为，解方程组求得原不等式的解集.

【详解】原不等式等价于，即，，，解得.

故答案为.

【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

7．函数的定义域是_________.

【答案】

【分析】解不等式组即得解.

【详解】由题得且.

所以函数的定义域为.

故答案为：

8．若，，，则______．

【答案】

【分析】先求得集合A、B，再由集合的补集运算、交集运算可得答案.

【详解】因为，，所以，

又，所以，

故答案为：.

9．设集合，则下列命题：①，②，②，④中正确的是__________（写出所有正确命题对应的序号）.

【答案】①②③④.

【分析】根据集合元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号.

【详解】集合，也即集合的元素为两个集合，一个是，另一个是.

对于①，空集是集合的元素，故①正确.

对于②，空集是任何集合的子集，故②正确.

对于③，是集合的元素，故③正确.

对于④，中含有元素，故④正确.

故答案为①②③④.

【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题.

10．若集合，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据恒成立列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】题目所给集合研究对象为函数的定义域，依题意可知恒成立，故，即.

故答案为：.

【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合元素的概念，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，属于基础题.

11．如果全集含有个元素，都是的子集，中含有个元素，含有个元素，含有个元素，则含有_________个元素.

【答案】作出韦恩图，可知中元素个数为．

【分析】根据题目所给条件，画出图像，由此判断集合的元素个数．

【详解】依题意画出图像如下图所示，由图可知，集合的元素个数为个．

故答案为：.

12．对于集合，定义函数，对于两个集合，定义集合. 已知集合，，则__________.

【答案】.

【分析】解不等式求得集合与集合，根据新定义函数以及新定义集合的概念，求得中的取值范围.

【详解】当时，由两边平方并化简得，即，解得，由于，故的范围是.

当时，恒成立，故的取值范围是.

综上所述，.故①.

由，解得或，故.故②.

要使，由①②可知，.

故答案为.

【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.

13．已知、、与、、是个不同的实数，若关于的方程的解集是有限集，则集合中最多有________个元素

【答案】

【分析】设a1＜a2＜a3与b1＜b2＜b3，设函数和，去绝对值，利用图像讨论交点的情况，即可得到所求个数．

【详解】转化为：和图象的交点，6个不同的实数不妨假设＜＜，＜＜，则

，，

画出函数的函数图象如下图，

两图象最多可有3个交点，即集合A中最多有3个元素，

故答案为3.

【点睛】本题考查函数方程的转化思想和分类讨论思想及数形结合思想，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题．

三、双空题

14．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打元酱油，而王老师每次打斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为元，元，元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是_________老师，理由是_________.(请写出关键的不等式)

【答案】叶 

【分析】根据题意分别算出叶老师和王老师所打酱油的平均价格，运用比较法进行判断即可.

【详解】叶老师的平均价格为，

王老师的平均价格为，于是有：

因为每次打的酱油价格都不相同，

所以，即

所以叶老师的平均价格更低，

故答案为：叶； .

四、解答题

15．设，，且.

证明：(1) ；

(2) 与不可能同时成立．

【答案】(1)见解析.

(2)见解析.

【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.

(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立.

试题解析：

由,,得

(1)由基本不等式及,有,即 

(2)假设与同时成立

则由及a>0得0故与不可能同时成立

点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

16．已知集合，，其中.

（1）若，求的值；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1），或；

（2）或或或.

【分析】先求得集合中元素的可能取值.

（1）根据，判断出是集合的元素，由此求得的值，进而求得集合，由此确定的值.

（2）根据为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定的取值范围.

【详解】由，解得或.

（1）当，所以是集合的元素，所以，解得，所以.若，此时，符合.若，此时，符合.故，或.

（2）由于，

当时，由判别式得，解得，此时.

当为单元素集时，由判别式得，解得或.当时，，要使，则.当时，，要使，则.

当为双元素集时，由（1）知，.

综上所述，的取值范围为或或或.

【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

17．已知命题函数且，命题集合，且.

（1）若命题、中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围.

（2）若命题、均为真命题时的实数的取值范围.

（3）由（2）得结论，的取值范围设为集合，，若，求实数的范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）分别求出当命题、为真命题时实数的取值范围，然后分真假、假真两种情况讨论，综合可得出实数的取值范围；

（2）由（1）结合命题、均为真命题可求得实数的取值范围；

（3）利用基本不等式可求得集合，进而得出，由可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）若为真，则，所以，解得；

若为真，集合，，且，

若，则，解得；

若，则，解得.

故若为真，则.

因为、中有且只有一个为真，若真假，则，此时；

若假真，则，此时.

综上所述，实数的取值范围是；

（2）当、均为真时，，所以；

（3）对于函数，，当时，由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立；

当时，，

当且仅当时，等号成立.

所以，，则，

，即，所以，解得，

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论．

18．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变. 

（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性， 则再在该分组内逐个检测排查，设每个组个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？

（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好， 或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？

（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.

【答案】（1） 次，45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）见解析

【分析】(1)根据最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,可得检测总次数,再用基本不等式可得;

(2)设第一次每个组人,第二次每个组人,可得检测总次数,再用三元基本不等式,结合整数解可得;

(3)设第次分组中,每组人数为,则可得检测总次数,然后运用元基本不等式,结合,可得的最小值,进而得到所求结果.

【详解】(1)200万人平均分组,每组人,总共分组,每组检测一次,共需检测次,最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,每组一人,然后在这1000组里逐个排查,每组需检测次,共需检测1000次,所以找到所有的被感染者共需检测次,

由,

当且仅当,所以 ,所以时等号成立.

由于为正整数,

所以当时,,

当时,,

因为,

所以要使检测总次数尽可能少,每个分组的最优人数为45人.

(2)设第一次每个组人,分组;第二次每个组人,分组

第一次需检测次,由(1)的思路知,第二次共需检测次,

所以两次检测的总次数为,

因为

,

当且仅当,

即, ,时等号成立,

因为,,且为正整数,

且,,

所以,时两次检测的总次数尽可能少,

则第一次每个组159人,第二次每个组13人,可使检测总次数尽可能少.

(3)假设进行次这样的分组检测,可以达到检测次数更少,

设第次分组中,每组人数为,

则总共检测次数为,

因为

,

当且仅当,时等号成立,

所以,

所以,

所以,

所以,

当时,,

因为,且为正整数,

所以可取,即这样进行了18次检验可得到总次数更小.

【点睛】本题考查了二元、三元、元基本不等式求最小值,属于难题.解题关键是理解出最坏情况是1000名被感染者分布在其中1000组里.