厦门中考数学圆的综合-经典压轴题

1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．

（1）求证：直线DM是⊙O的切线；

（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．

【答案】（1）证明见解析（2）23

【解析】

【分析】

（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；

（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．

【详解】

（1）如图所示，连接OD．

∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD

=，∴OD⊥BC．

又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．

又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．

（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．

∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即

∠BED=∠DBE，∴BD=DE．

又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DB

DB DA

=，即DB2=DF•DA．

∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．

【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．

（1）求证：∠G=∠CEF；

（2）求证：EG是⊙O的切线；

（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =3

4

，AH=33，求EM的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）253

.

【解析】

试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出AD AC

=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；

（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；

（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明

△AHC∽△MEO，可得AH HC

EM OE

=，由此即可解决问题；

试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴AD AC

=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．

（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．

（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AH

HC

=

3

4

，∵AH=33，∴HC=43，在Rt△HOC中，

∵OC=r，OH=r﹣33，HC=43，∴222

(33)(43)

r r

-+=，∴r=253

6

，

∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴AH HC

EM OE

=，

∴3343

253

6

=

，∴EM=

253

．

点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．

3．如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．

（1）求证：△BOC≌△CDA．

（2）若AB=2，求阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）433

9

π-

.

【解析】

分析: （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O 为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，

BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；

（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到

∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=1

2

AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系

得到OH=

3

3

BH=

3

3

，OB=2OH=

23

3

，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用

S阴影部分=S扇形AOB-S△AOB进行计算即可.

详解:

（1）证明：∵O是△ABC的内心，

∴∠2=∠3，∠5=∠6，

∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，

由AD∥CO,AD=CO，∴∠4=∠6，

∴△BOC≌△CDA（AAS）

(2)由（1）得，BC=AC,∠3=∠4=∠6，

∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC

∴△ABC是等边三角形

∴O是△ABC的内心也是外心

∴OA=OB=OC

设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC.

在Rt△OCE中，CE=1

2

AC=

1

2

AB=1，∠OCE=30°，

∴23∵∠AOC=120°，

∴=AOB AOB S S S -阴影扇 =21202313()23602π-⨯⨯ =4339π- 点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.

4．如图，AB 是半圆O 的直径，半径OC ⊥AB ，OB ＝4，D 是OB 的中点，点E 是弧BC 上的动点，连接AE ，DE ．

（1）当点E 是弧BC 的中点时，求△ADE 的面积；

（2）若3tan 2

AED ∠= ，求AE 的长； （3）点F 是半径OC 上一动点，设点E 到直线OC 的距离为m ，当△DEF 是等腰直角三角形时，求m 的值.

【答案】（1）62ADE S =2）1655

AE =3）23m =，22m =71m =.

【解析】

【分析】

（1）作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，则EH ＝OH ＝2+a ，根据Rt △AEB 中，EH 2＝AH•BH ，即可求出a 的值，即可求出S △ADE 的值；

（2）作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE ，设EF ＝2x ，DF ＝3x ，根据DF ∥BE 故

AF AD EF BD

=，得出AF ＝6x ，再利用Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2，即可求出x ，进而求出AE 的长； （3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m 的值.

【详解】

解：（1）如图，作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，

设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，

∵点E 是弧BC 中点，

∴∠COE ＝∠EOH ＝45°，

∴EH ＝OH ＝2+a ，

在Rt △AEB 中，EH 2＝AH•BH ，

（2+a ）2＝（6+a ）（2﹣a ），

解得a ＝222±-， ∴a ＝222-，

EH=22，

S △ADE ＝1622

AD EH =;

（2）如图，作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE

设EF ＝2x ，DF ＝3x

∵DF ∥BE

∴

AF AD EF BD

= ∴622

AF x ==3 ∴AF ＝6x 在Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2

（6x ）2+（3x ）2＝（6）2

解得x ＝255

AE ＝8x ＝

1655 （3）当点D 为等腰直角三角形直角顶点时，如图

设DH ＝a

由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°，∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH ， ∴∠DFO=∠EDH

∴△ODF≌△HED

∴OD＝EH＝2

在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH

（2）2＝（6+a）•（2﹣a）

-

解得a＝±232

m＝23

当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图

同理得△EFG≌△DEH

设DH＝a，则GE＝a，EH＝FG＝2+a

在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH

（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）

解得a＝222

±-

∴m＝22

当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图

同理得△EFM≌△FDO

设OF＝a，则ME＝a，MF＝OD＝2

∴EH＝a+2

在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH

（a+2）2＝（4+a）•（4﹣a）

解得a＝71

m71

【点睛】

此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.

5．.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6．D是线段AC上一个动点（不与点A

重合），⊙D与AB相切，切点为E，⊙D交射线

．．BC于

．．DC于点F，过F作FG⊥EF交直线

点G，设⊙D的半径为r．（1）求证AE＝EF；

（2）当⊙D与直线BC相切时，求r的值；

（3）当点G落在⊙D内部时，直接写出r的取值范围．

【答案】(1)见解析,(2)r=3,(3)

63 3

5

r

<<

【解析】

【分析】

（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，即可求解；

（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F，∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，由勾股定理，即可求解；

（3）分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可．

【详解】

解：设圆的半径为r；

（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，

而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，

∴AE=EF；

（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F

∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r ，

由勾股定理得：（3r ）2+9=36，

解得：r=3； （3）①当点F 在线段AC 上时，如图3所示，连接DE 、DG ，

333,3933FC r GC FC r =-==-

②当点F 在线段AC 的延长线上时，如图4所示，连接DE 、DG ，

333,3339FC r GC FC r ===-

两种情况下GC 符号相反，GC 2相同，

由勾股定理得：DG 2=CD 2+CG 2，

点G 在圆的内部，故：DG2＜r2，

即：22(332)(339)2r r r +-<

整理得：25113180r r -+< 6335r <<

【点睛】

本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．

6．如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝m （m 为常数），点C 为AB 的中点，点D 为圆上一动点，过A 点作⊙O 的切线交BD 的延长线于点P ，弦CD 交AB 于点E ．

（1）当DC ⊥AB 时，则DA DB DC

+＝ ； （2）①当点D 在AB 上移动时，试探究线段DA ，DB ，DC 之间的数量关系；并说明理

②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；

（3）当

92

20

PD

AC

=时，求

DE

OA

的值．

【答案】（12；（2）①DA+DB2DC，②S＝1

2

t2﹣

1

4

m2；（3）

242

DE

OA

=.

【解析】

【分析】

（1）首先证明当DC⊥AB时，DC也为圆的直径，且△ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；

（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；

②通过完全平方公式（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB的变形及将已知条件AB＝m代入即可求出结果；

（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．

【详解】

解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵C为AB的中点，

∴AC BC

=，

∴∠ADC＝∠BDC＝45°，

∵DC⊥AB，

∴∠DEA＝∠DEB＝90°，

∴∠DAE＝∠DBE＝45°，

∴AE＝BE，

∴点E与点O重合，

∴DC为⊙O的直径，

∴DC＝AB，

在等腰直角三角形DAB中，

DA＝DB＝

2

2

AB，

∴DA+DB

＝2AB ＝

2CD ，

∴DA DB DC

+＝2；

（2）①如图2，过点A 作AM ⊥DC 于M ，过点B 作BN ⊥CD 于N ，连接AC ，BC ， 由（1）知AC BC =，

∴AC ＝BC ，

∵AB 为⊙O 的直径，

∴∠ACB ＝∠BNC ＝∠CMA ＝90°，

∴∠NBC+∠BCN ＝90°，∠BCN+∠MCA ＝90°，

∴∠NBC ＝∠MCA ，

在△NBC 和△MCA 中，

BNC CMA NBC MCA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△NBC ≌△MCA （AAS ），

∴CN ＝AM ，

由（1）知∠DAE ＝∠DBE ＝45°，

AM ＝2DA ，DN ＝2DB ， ∴DC ＝DN+NC ＝

2DB+2DA ＝2（DB+DA ）， 即DA+DB ＝2DC ；

②在Rt △DAB 中，

DA 2+DB 2＝AB 2＝m 2，

∵（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB ，

且由①知DA+DB 2DC 2t ，

∴2t ）2＝m 2+2DA•DB ，

∴DA•DB ＝t 2﹣

12m 2， ∴S △ADB ＝12DA•DB ＝12t 2﹣14

m 2， ∴△ADB 的面积S 与t 的函数关系式S ＝

12t 2﹣14

m 2； （3）如图3，过点E 作EH ⊥AD 于H ，EG ⊥DB 于G ， 则NE ＝ME ，四边形DHEG 为正方形， 由（1）知AC BC =，

∴AC ＝BC ，

∴△ACB 为等腰直角三角形，

∴AB

AC ，

∵20

PD AC =，

设PD ＝，则AC ＝20，AB ＝，

∵∠DBA ＝∠DBA ，∠PAB ＝∠ADB ，

∴△ABD ∽△PBA ， ∴

AB BD AD PB AB PA ==，

∴

=， ∴DB ＝

， ∴AD

＝， 设NE ＝ME ＝x ，

∵S △ABD ＝

12AD•BD ＝12AD•NE+12BD•ME ， ∴1

2＝12•x+12•x ，

∴x ， ∴DE

HE x ＝

967，

又∵AO ＝

12AB ＝，

∴96

735DE OA ==．

【点睛】

本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．

7．如图，四边形为菱形，且，以为直径作，与交于点．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留作图痕迹)

(1)在如图中，过点作边上的高．

(2)在如图中，过点作的切线，与交于点．

【答案】(1)如图1所示．(答案不唯一),见解析；(2)如图2所示．(答案不唯一)，见解析.【解析】

【分析】

（1）连接AC交圆于一点F，连接PF交AB于点E,连接CE即为所求．

（2）连接OF交BC于Q，连接PQ即为所求．

【详解】

(1)如图1所示．(答案不唯一)

(2)如图2所示．(答案不唯一)

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

8．如图, Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F， (1)

设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r＝1

2

(a+b-c).

(2) 若AD交圆于P, PC交圆于H, FH//BC, 求∠CPD;

(3)若r=310, PD＝18, PC=272. 求△ABC各边长.

【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）1010,1510

，12

【解析】

【分析】

（1）根据切线长定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易证四边形BDOF为正方形，

BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式．

（2）∠CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD，易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．

（3）由PD=18和10,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM，求得弦心距OM=3，进而得到∠MOD的正切值．延长DO得直径DG，易证PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，进而求得AB．再设CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．

【详解】

解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，

∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F

∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE

∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°

∴四边形BDOF是矩形

∵OD=OF=r

∴矩形BDOF是正方形

∴BD=BF=r

∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r

∵AE+CE=AC

∴c-r+a-r=b

整理得：r=1

2

（a+b-c）

（2）取FH 中点O ，连接OD

∵FH ∥BC

∴∠AFH=∠B=90°

∵AB 与圆相切于点F ，

∴FH 为圆的直径，即O 为圆心

∵FH ∥BC

∴∠DOH=∠ODB=90°

∴∠CPD=12

∠DOH=45°

（3）设圆心为O ，连接DO 并延长交⊙O 于点G ，连接PG ，过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90°

∵PD=18

∴DM=12

PD=9 ∵10 ∴22OD DM -22(310)9-9081-3

∴tan ∠MOD=

DM OM

＝3 ∵DG 为直径

∴∠DPG=90°

∴OM ∥PG ，∠G+∠ODM=90°

∴∠G=∠MOD

∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°

∴∠ADB=∠G

∴∠ADB=∠MOD

BD

=tan∠MOD=3

∴AB=3BD=3r=910

∴AE=AF=AB-BF=910−310＝610

设CE=CD=x，则BC=310+x，AC=610+x

∵AB2+BC2=AC2

∴(910)2．+(310+x)2＝(610+x)2

解得：x=910

∴BC=1210，AC=1510

∴△ABC各边长AB=910，AC=1510，BC=1210

【点睛】

本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法．

9．设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．

求证：（1）AD是⊙B的切线；

（2）AD＝AQ；

（3）BC2＝CF×EG．

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】

()1连接BD ，由DC AB ⊥，C 为AB 的中点，由线段垂直平分线的性质，可得AD BD =，再根据正方形的性质，可得90ADB ∠=；

()2由BD BG =与//CD BE ，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得122.52G CDG BDG BCD ∠=∠=∠=

∠=，继而求得67.5ADQ AQD ∠=∠=，由等角对等边，可证得AD AQ =； ()3易求得67.5

GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠，90DCF E ∠=∠=，即可证得Rt DCF ∽Rt GED ，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．

【详解】

证明：()1连接BD ，

四边形BCDE 是正方形，

45DBA ∴∠=，90DCB ∠=，即DC AB ⊥，

C 为AB 的中点，

CD ∴是线段AB 的垂直平分线，

AD BD ∴=， 45DAB DBA ∴∠=∠=，

90ADB ∴∠=，

即BD AD ⊥，

BD 为半径，

AD ∴是B 的切线；

()2BD BG =，

BDG G ∴∠=∠，

//CD BE ，

CDG G ∴∠=∠，

122.52

G CDG BDG BCD ∴∠=∠=∠=∠=， 9067.5ADQ BDG ∴∠=-∠=，9067.5AQB BQG G ∠=∠=-∠=，

ADQ AQD ∴∠=∠，

AD AQ ∴=；

()3连接DF ，

在BDF 中，BD BF =，

BFD BDF ∴∠=∠，

又45DBF ∠=，

67.5BFD BDF ∴∠=∠=，

22.5GDB ∠=， 在Rt DEF 与Rt GCD 中，

67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠，90DCF E ∠=∠=，

Rt DCF ∴∽Rt GED ， CF CD ED EG

∴=， 又CD DE BC ==，

2BC CF EG ∴=⋅．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

10．如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ．

（1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标；

（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切

线．

【答案】(1) B （

，2）．(2)证明见解析.

【解析】 试题分析：（1）在Rt △ABN 中，求出AN 、AB 即可解决问题；

（2）连接MC ，NC ．只要证明∠MCD=90°即可

试题解析：（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2），

∴AN=4，

∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，

∴AB=2AN=8，

∴由勾股定理可知：NB=，

∴B（，2）．

（2）连接MC，NC ∵AN是⊙M的直径，

∴∠ACN=90°，

∴∠NCB=90°，

在Rt△NCB中，D为NB的中点，

∴CD=NB=ND，

∴∠CND=∠NCD，

∵MC=MN，

∴∠MCN=∠MNC，

∵∠MNC+∠CND=90°，

∴∠MCN+∠NCD=90°，

即MC⊥CD．

∴直线CD是⊙M的切线．

考点：切线的判定；坐标与图形性质．