数列的前项的和，（注意通项能否合并）.
| 等差数列 | 等比数列 | |
| 定义 | 或 | 或 |
| 中项 | 若，，成等差数列，则叫做与 的等差中项，且。 | 若，，成等比数列，则叫做与 的等比中项，且 |
| 三个数 | ，，成等差数列 | ，，成等比数列 |
| 通项公式 | ||
| 性质 | ① ② | ① ② |
| 前项和 | 成等差数列 | 当时， 当时，① ② 成等比数列 |
【例1】已知数列 的通项公式 ，则
A. B. C. D.
【练习】若数列 的通项公式为 ，则 ．
【变式】已知数列 ，，，，，，， 则 是这个数列的
A. 第 项 B. 第 项 C. 第 项 D. 第 项
【例2】写出下列各数列的一个通项公式：
（1），，，，；
（2），，，，，；
（3），，，，；
（4），，，，；
【例3】已知数列 的首项 ，且 ，则 的值为
A. B. C. D.
【练习】数列 中，已知 ，，，则 的值为
A. B. C. D.
【例4】设数列 的前 项和 ，则 的值为
A. B. C. D.
【练习】已知数列 的前 项和 ，则 ．
【变式】设数列 前 项和为 ，已知 ，则
A. B. C. D.
【练习】已知数列 的前 项和为 ，且 ，则
A. B. C. D.
【例5】数列 的前 项和 满足：，，则数列 的通项公式 ．
【练习】已知数列 的前 项和为 ，求数列的通项公式．
数列（1）——数列的基本概念（讲义）
答案
【例1】C 【解析】由 的通项公式 ，得
【练习】
【变式】D 【解析】由数列的通项公式 ，可得 ，所以 ，所以 是第 项．
【例2】（1） 易知该数列是首项从 开始的偶数，所以该数列的一个通项公式为 ，．
（2） 易知该数列中每一项分子比分母少 ．且分母可写成 ，，，，，，故所求数列的通项公式可写为 ，．
（3） 通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择 ．又第 项可改写成分数 ，所以每一项的分母依次为 ，，，，，可写成 的形式，分子为 ，，， 可写成 的形式．所以该数列的一个通项公式为 ，．
（4） 这个数列的前 项可以变为 ，，，，，，，，，，，，所以它的一个通f项公式为 ，．
【例3】B 【解析】因为 ，，
令 ，所以 ，
令 ，，所以 ．
【练习】A
【解析】因为 ，，，所以 ，
所以 ，，所以 ，，所以 ．
【例4】C 【解析】．
【练习】
【变式】C
【解析】当 时，，
整理得 ，
又 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以 ，得 ．
【练习】B 【解析】当 时，，所以 ，
又 ，所以 ．所以 ，
所以 ，所以 ．
【例5】
【解析】当 时，，
当 时，，
显然， 不符合 ，故通项公式 ．
【练习】由 ，得 ，，
．
因为当 时，，所以 ．
数列（1）——数列的基本概念（作业）
一、选择题
1. 数列 ，，，， 的一个通项公式是
A. B. C. D.
2. 下列四个数中，哪个是数列 中的一项
A. B. C. D.
3. 已知数列 的前 项和 ，则 的值为
A. B. C. D.
4. 已知数列 的前 项和 ，则
A. B. C. D.
5. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 等于
A. B. C. D.
二、填空题
6. 设数列 的通项公式为 ，则该数列从第 项开始为负数项．
7. 已知数列 满足 ，则 ．
8. 在数列 中，，，则 ．
三、解答题
9. 根据下列数列的通项公式，写出其前 项：
（1）； （2）．
10. 数列 的前 项和 ，求它的通项公式．
数列（1）——数列的基本概念（作业）
答案
一、选择题
1. D 【解析】对于A，当 时，，不合题意，A错误；
对于B，当 时，，不合题意，B错误；
对于C，当 时，，不合题意，C错误；
对于D，结合 ，，，可知 满足数列通项公式，故D正确．
2. B 【解析】由 ，有 或 （舍去）．所以B正确；
，， 均无正整数解，则A，C，D都不正确．
3. C 【解析】．
4. B
5. D 【解析】由 ，
令 ，可得 ，再 ，可得 ．
二、填空题
6.
7. 【解析】因为 ，所以 ，，，
即 ．
8.
三、解答题
9. （1） 中依次取 ，
即得 的前 项：，，，，．
（2） 在 中依次取 ，
即得 的前 项：，，，，．
数列（2）——等差数列（讲义）
【例1】数列 中，，，那么这个数列的通项公式是
A. B. C. D.
【练习】已知数列 满足 ，，若 ，则 等于
A. B. C. D.
【例2】在等差数列 中，
（1）已知 ， ，求 与 ；
（2）已知 ， ，求 ．
【练习】已知等差数列 ．
（1）若 ，，，求 ；
（2）若 ，，求 的值．
【例3】在等差数列 中，，则 ．
【练习】在等差数列 中，若 ，，则
A. B. C. D.
【例4】已知在等差数列 中，，，则 的值是
A. B. C. D.
【练习1】已知等差数列 中，，则 的值为
A. B. C. D.
【练习2】已知等差数列 中，，，求 及通项公式 ．
【变式】在等差数列 中，，则
A. B. C. D.
【练习1】等差数列 中，，，则 的前 项和为
A. B. C. D.
【练习2】若等差数列 的前 项和为 ，则 ．
【例5】在数列 中，如果 ，那么使这个数列的前 项和 取得最大
值时， 的值等于
A. B. C. D.
【练习】数列 的通项公式为 ，则当数列 的前 项和 取最小值时，正
整数 的值是 ．
【例6】我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末
一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长 尺，头部 尺，重 斤，尾部 尺，重 斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重
A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤
【练习】我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）
长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为 尺，这十二节气的所有日影子长之和为 尺，则夏至的日影子长为 尺．
数列（2）——等差数列（讲义）
答案
【例1】B
【解析】因为 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ，．
【练习】D
【解析】由 ， 可知数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ．由 得 ．
【例2】（1） 由题意，知 解得
（2） 由题意，知 解得
所以 ．
【练习】（1） 由 ，得 ，所以 ，所以 ．
（2） 因为 ，所以 ，
所以 ．
【例3】
【练习】B
【解析】由 ，得
由 ，得
② ①得 ，把 代入①得到 ，
则前 项的和 ．
【例4】A
【解析】由于题目中的数列是等差数列，就容易联想到利用相关性质来求解，并且注意到 ，从而利用性质很快求解．由 ，得 ．故 ．
【练习1】A
【解析】，则 ．
【练习2】设公差为 ，由已知得 ，，所以 ，
所以当 时，，；
当 时，，．
【变式】B
【练习1】B
【解析】设等差数列 的公差为 ，又 ，，
所以 ，得 ，所以 ，所以 ．
【练习2】
【解析】由 ，得 ，所以 ．
【例5】B
【解析】因为 ，故 ，故数列 为等差数列，
又当 时，；当 时，，故当 时， 取得最大值，
【练习】
【解析】，，且数列 单调递增，
根据题意，当数列 的前 项和 取得最小值时，即将数列 中的所有非正项加起来，得 ，，即 ，，解得 ，
因为 ，则 ，所以数列 的前 项和 的最小值为 ．
【例6】D
【解析】设从头到尾每一尺的质量构成等差数列 ，则有 ，，
所以 ，数列 的前 项和为 ，即该金箠共重 斤．
【练习】
【解析】设此等差数列 的公差为 ，
由题意 即
解得 所以夏至的日影子长为 ．
数列（2）——等差数列（作业）
一、选择题
1. 下列数列一定不是等差数列的是
A. ，，，， B. ，，，，
C. ，，，， D. ，，，，
2. 数列 中，，，那么这个数列的通项公式是
A. B. C. D.
3. 在等差数列 中，已知 ，，则公差 等于
A. B. C. D.
4. 在等差数列 中，若 ，，则
A. B. C. D.
5. 已知在等差数列 中，，，则 的值是
A. B. C. D.
6. 在等差数列 中，，则
A. B. C. D.
7. 在等差数列 中，， ，则 的前 项和
A. B. C. D.
8. 《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第 天开始，每
天比前一天多织相同量的布，已知第一天织 尺布，一月（按 天计）共织 尺布，则从第 天起每天比前一天多织多少尺布?
A. B. C. D.
二、填空题
9. 在等差数列 中，，则 ．
10. 与 的等差中项是 ．
11. 记等差数列 的前 项和为 ．若 ，，则 ．
12. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 ．
三、解答题
13. 已知等差数列 中，，．求数列 的通项 ．
14. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ，．
（1）求 的通项公式．
（2）求 的最小值．
数列（2）——等差数列（作业）
答案
一、选择题
1. C 【解析】数列 ，，，， 从第 项起，每一项与前一项的差都是常数 ，可是 ，不符合等差数列的定义．
2. B 【解析】因为 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ，．
3. C
4. B 【解析】通解：设公差为 ，则 ，则 ，
故 ．
优解：由等差数列的性质得 ．
5. A 【解析】由于题目中的数列是等差数列，就容易联想到利用相关性质来求解，并且注意到 ，从而利用性质很快求解．由 ，得 ．故 ．
6. B 【解析】，解得 ，，
所以 ．
7. B
8. B 【解析】由题意可知每天织布的多少构成等差数列，其中第一天为首项 ，一月按 天计可得 ，从第 天起每天比前一天多织的即为公差 ．又 ，解得 ．
二、填空题
9.
10. 【解析】由题得 与 的等差中项为 ．
11.
12.
【解析】由 有 ，而 ，
所以结合等差数列的前 项和公式及通项公式，
即可得 ．
三、解答题
13. 解方程组得 所以 ．
14. （1） 设 的公差为 ，由题意得 ．
由 得 ．所以 的通项公式为 ．
（2） 由（）得 ．所以当 时， 取得最小值，最小值为 ．
数列（3）——等比数列（讲义）
【例1】若数列 满足：，（），则 ．
【练习】已知数列 中， 对 成立，且 ，则 ．
【例2】如果 ，，，， 成等比数列，那么
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【练习】已知 ，， 是一个等比数列的前三项，则 的值为
A. 或 B. C. D. 或
【例3】在等比数列 中，，，则公比
A. B. C. D.
【练习1】在等比数列 中，，，则公比
A. B. 或 C. D. 或
【练习2】设 是等比数列，且 ，，则
A. B. C. D.
【例4】在等比数列 中，若 ， 是方程 的两根，则 的值为
A. B. C. D.
【练习1】若等比数列 满足 ，则 ．
【练习2】公比为 数列 的各项都是正数，且 ，则
A. B. C. D.
【变式】已知数列 为等比数列，若 ，，则
A. B. C. D.
【练习】在等比数列 中，各项均为正值，且 ，，则 ．
【例5】已知等比数列 的前 项和为 ，，公比 ，则 等于
A. B. C. D.
【练习1】在等比数列 中，，，则 的前 项和为
A. B. C. D.
【练习2】等比数列中，，，则其公比的值为
【例6】某种细菌在培养过程中，每半小时一次（一个细胞成两个细胞），经过 小时，这
种细菌由 个细胞可繁殖到多少个细胞?
【练习】某种细胞时，由 个成 个， 个成 个 依此类推，则 个这样的
细胞 次后，得到细胞的个数是 ．
【例7】中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为
难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 天后到达目的地，则第二天走了 里路．
【练习】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯
三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座 层塔共挂了 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 倍，则塔的顶层的灯数是
A. B. C. D.
数列（3）——等比数列（讲义）
答案
【例1】
【练习】 【解析】因为 ，所以 ．因为 ，所以 ．
【例2】B 【解析】由题意 ，，，又 ，所以 ．
【练习】B
【例3】C
【练习1】B 【解析】根据题意，得 解得 或
【练习2】D 【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此，．
【例4】B
【练习1】
【练习2】B 【解析】因为数列 为等比数列，且公比 ，设首项为 ，
则 ，所以 ，，
所以 ，且多次都为正数，
所以 ，所以 ，所以 ．
【变式】A 【解析】数列 为等比数列，若 ，所以：，
由于 ，所以 ，整理得 ．
【练习】 【解析】由 及 ，，得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ．
【例5】B 【解析】因为等比数列的前 项和为 ，，公比 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
【练习1】A
【练习2】 或
【例6】这种细菌由 个细胞可繁殖到 个细胞．
【练习】 【解析】由题意， 次后，共有 个，所以有 ，所以 ．
【例7】
【解析】由题意，知每天所走路程形成以 为首项，公比为 的等比数列，则 ，解得 ，则 ，即第二天走了 里路．
【练习】C 【解析】设这个塔灯顶层有 盏灯，
因为宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 倍，
所以从塔顶层依次向下每层灯数是以 为公比、 为首项的等比数列，
又总共有灯 盏，所以 ，解得 ，则这个塔顶层有 盏灯．
数列（3）——等比数列（作业）
一、选择题
1. 下列数列中，构成等比数列的是
A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，，
2. 在等比数列 中，已知 ，，那么 等于
A. B. C. D.
3. 等比数列的首项为 ，末项为 ，公比为 ，则这个数列的项数为
A. B. C. D.
4. 已知 ，，，， 这五个实数成等比数列，则 的值为
A. B. C. D. 不确定
5. 已知 是等比数列，且 ，，那么 的值等于
A. B. C. D.
6. 等比数列 中，，，则
A. B. C. D.
7. 已知等比数列 的公比为 ，则 的值是
A. B. C. D.
8. 某林场计划第一年造林 亩，以后每年比前一年多造林 ，则第四年造林
A. 亩 B. 亩 C. 亩 D. 亩
二、填空题
9. 与 两数的等比中项是 ．
10. 已知在等比数列 中，，则 ．
11. 等比数列 中，，， 是方程 的两根，则 的值
为 ．
12. 一个球从 的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第 次着地时，共经过的路程是 ．
三、解答题
13. 在 与 之间插入 个数，使这 个数成等比数列，求所插入的 个数．
14. 已知数列 为等比数列，它的前 项和为 ，若 ，公比 ，求 及 ．
数列（3）——等比数列（作业）
答案
一、选择题
1. D 【解析】由等比数列的概念得 ，，， 是公比为 的等比数列．
2. D
3. B
4. A 【解析】由题意知：，且若令公比为 时有 ，所以 ．
5. A 【解析】由等比数列的性质得：，，
所以 可化为 ，
又因为 ，所以 ．
6. C 【解析】设公比为 ，
因为数列 为等比，且 ，，所以 ，
所以 ，所以 ．
7. A 【解析】．
8. B 【解析】第一年造林 亩，则第二年造林 （亩），第三年造林为 （亩），第四年造林 （亩）．故选B．
二、填空题
9.
10. 【解析】根据等比数列的性质可知：，
则 得 ，故 ，所以 ．
11.
12.
【解析】设小球每次着地后跳回的高度构成数列 ，则数列 为等比数列，，，，所以共经过的路程为 ．
三、解答题
13. 所插入的 个数分别为 ，，，， 或 ，，，，．
14.，
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