高一数学(人教B版)必修4:第3章综合素质检测

本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)

1．有下列四个命题：

①存在x∈R，sin2＋cos2＝；

②存在x、y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；

③x∈[0，π]，＝sinx；

④若sinx＝cosy，则x＋y＝.

其中不正确的是(　　)

A．①④　        B．②④

C．①③          D．②③

[答案]　A

[解析]　∵对任意x∈R，均有sin2＋cos2＝1，

故①不正确，排除B、D；又x∈[0，π]，＝＝sinx，故③正确，排除C，故选A.

2．(2009·广东)函数y＝2cos2－1是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

[答案]　A

[解析]　y＝2cos2－1

＝cos＝cos

＝sin2x

∴函数是最小正周期为π的奇函数．

3．在△ABC中，若4sinA＋2cosB＝1,2sinB＋4cosA＝3，则sinC的大小是(　　)

A．－          B. 

C.或          D. 

[答案]　D

[解析]　由条件，得(4sinA＋2cosB)2＝1，(2sinB＋4cosA)2＝27，

∴20＋16sinAcosB＋16sinBcosA＝28.

∴sinAcosB＋cosAsinB＝.

即sin(A＋B)＝.

∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝.

4．函数y＝(sinx＋cosx)2＋1的最小正周期是(　　)

A.              B．π

C.              D．2π

[答案]　B

[解析]　y＝(sinx＋cosx)2＋1

＝1＋2sinxcosx＋1＝2＋sin2x.

∴最小正周期T＝π.

5．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin的值等于(　　)

A．－      B．－

C．－      D．－

[答案]　D

[解析]　∵5π<θ<6π，∴ <<，

∴sin<0，∴sin＝－＝－.

6．(2009·江西)函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)

A．1              B．2

C.＋1          D.＋2

[答案]　B

[解析]　f(x)＝·cosx

＝cosx＋sinx＝2

＝2sin，

∵0≤x<，∴≤x＋<，

∴f(x)的最大值为2.

7．函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为(　　)

A.              B. 

C．π              D．2π

[答案]　B

[解析]　y＝sin4x＋cos2x＝(1－cos2x)2＋cos2x

＝cos4x－cos2x＋1

＝(cos2x－)2＋

＝(－)2＋

＝＋

＝＋

＝cos4x＋.

∴T＝＝，故选B.

8．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值为(　　)

A.             B. 

C.              D．1＋

[答案]　C

[解析]　原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°

＝1＋sin30°＝.

9．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])单调递增区间是(　　)

A.      B. 

C.          D. 

[答案]　D

[解析]　f(x)＝sinx－cosx

＝2＝2sin.

∵x∈[－π，0]，∴x－∈.

当x－∈时，f(x)递增，

此时x∈.故选D.

10．(2009·重庆)设△ABC的三个内角为A、B、C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB， cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　)

A.              B. 

C.              D. 

[答案]　C

[解析]　∵m·n＝sinAcosB＋cosAsinB

＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，

∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝1，

∴sinC＋cosC＝1，即2sin＝1，

∴sin＝，∴C＋＝，∴C＝.

11．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B＋sin2C＝2，则△ABC为(　　)

A．等腰三角形      B．等边三角形

C．直角三角形      D．等腰直角三角形

[答案]　C

[解析]　由已知，得＋＋sin2C＝2，

∴1－(cos2A＋cos2B)＋sin2C＝2，

∴cos2A＋cos2B＋2cos2C＝0，

∴cos(A＋B)·cos(A－B)＋cos2C＝0，

∴cosC[－cos(A－B)－cos(A＋B)]＝0，

∴cosA·cosB·cosC＝0，

∴cosA＝0或cosB＝0或cosC＝0.

∴△ABC为直角三角形．

12．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝(　　)

A．3－cos2x         B．3－sin2x

C．3＋cos2x      D．3＋sin2x

[答案]　C

[解析]　f(sinx)＝3－cos2x

＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，

∴f(x)＝2＋2x2

∴f(cosx)＝2＋2cos2x

＝2＋1＋cos2x＝3＋cos2x.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13．(2009·上海)函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．

[答案]　1－

[解析]　y＝2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x

＝1＋sin，∴ymin＝1－.

14.的值为________．

[答案]　－

[解析]　原式＝＝－·＝－.

15．cosθ＝－，且180°<θ<270°，则tan＝________.

[答案]　－2

[解析]　∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，

∴tan<0，又∵cosθ＝－，

∴tan＝－＝－＝－2.

16．在△ABC中，cos＝，则cos2A的值为________．

[答案]　 

[解析]　在△ABC中，cos＝>0，

∴sin＝＝.

∴cos2A＝sin＝sin2

＝2sincos

＝2××＝.

三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)求值(tan5°－cot5°)·.

[解析]　解法一：原式＝·

＝·

＝－2··

＝－2cot10°·tan10°＝－2.

解法二：原式＝·

＝·

＝－·＝－2.

解法三：原式＝·

＝·

＝·＝－2.

18．(本小题满分12分)已知cos＝－，sin＝，且<α<π，0<β<，求tan的值．

[解析]　∵<α<π，0<β<，∴ <α－<π.

∵cos＝－，∴sin＝.

又∵<<，

∴－<－β<.

∵sin＝，∴cos＝.

故sin＝sin

＝sincos－cossin

＝×－×＝，

cos＝cos

＝coscos＋sinsin

＝×＋×＝，

∴tan＝

＝＝.

19．(本小题满分12分)已知α＋β＝，求证：cos2α＋cos2β＋cosαcosβ＝.

[解析]　左边＝＋＋cosαcosβ

＝1＋(cos2α＋cos2β)＋cosαcosβ

＝1＋cos(α＋β)cos(α－β)＋[cos(α＋β)＋cos(α－β)]

＝1＋coscos(α－β)＋

＝1－cos(α－β)＋×＋cos(α－β)

＝1－＝＝右边．

20．(本小题满分12分)若函数f(x)＝－asin·cos的最大值为2，试确定常数a的值．

[解析]　f(x)＝＋asincos

＝cosx＋sinx，

f(x)的最大值为，

∴＝2，

解得a＝±.

21．(本小题满分14分)(2010·南安一中高一下学期期末测试)已知f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a，其中a∈R.

(1)若x∈R，求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在[－，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．

[解析]　f(x)＝1＋cos2x＋sin2x＋a

＝2sin(2x＋)＋a＋1，

(1)f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)∵x∈[－，]，2x∈[－，]，

2x＋∈[－，]，

sin(x＋)∈[－，1]，

∴f(x)max＝a＋3，f(x)min＝a，

∴2a＋3＝3，∴a＝0.

22．(本小题满分14分)(2009·湖南)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．

(1)若a∥b，求tanθ的值；

(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．

[解析]　(1)∵a∥b，∴2sinθ＝cosθ－2sinθ，

∴4sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.

(2)由|a|＝|b|，得sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，

∴1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.

∴－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，

即sin2θ＋cos2θ＝－1，

∴sin＝－.

又∵0<θ<π，∴ <2θ＋<，∴2θ＋＝或.

∴θ＝或θ＝.