四年级奥数数阵与幻方

数阵问题

知识要点：

 一般地来讲在解决数阵图的问题上，我们应先观察好数阵图，找出“公用数”的位置，求出“公用数”是解决数阵问题的关键。在数阵图中横行有，竖行也有的数，我们把它叫做“公用数”。如果题中给你的数的个数是奇数个，而“公用数”仅一个，而这个“公用数”又是中心数，这样的数阵图称为辐射型数阵图。在解决这类数阵图时，就是先找出公用数，每边均剩下两个数，实际上就是在奇数个数中找到和相等的几对数，找的办法有三种，即：去头、去尾、去中间，而数阵图中的“公用数”就是这列数中的头、尾、中间任意一个数。

 还有一种数阵图，题中给你的已知数的个数为偶数个，“公用数”不再是一个，而是多个。这样的数阵图称为封闭型数阵图，在解决此类数阵图时，应分三步走：l、先求出题中给出已知数的总和，2、再求出数阵图中的和，3、用图中和减去已知数的和即为“公用数”的总和。

例题分析：

 一．辐射型数阵：

例1.将2～8这7个数分别填在下图中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内数的和相等.

例2.把1～9这9个数字,分别填入下图的各圆圈内,使每条线上5个数的和相等.

例3.将1～9这九个数字填在”七一”内,使每一横行,每一竖列的数字的和都是13.

二．封闭型数阵：

例4.将1~6六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那么a是多少？

例5.如果将—11这11个自然数填入左下图的圆圈中，使每个菱形上的四个数之和都等于24，那么A等于多少？

例6.把10～80八个整十数填入下图的○中，使每个圆上五个数的和为210。

例7.把10～15这6个数字分别填放图中的各个圆圈内，使每边上的三个圆圈内数之和相等。

例8.图中五个正方形和12个圆圈，将1—12填入圆圈中，使每个正方形四角上圆圈中的数字之和都等于K，那么K等于几?

例9.图中的大三角形被分割成九个小三角形将1—9填入小三角形中，使每条边上的五个小三角形的数字之和都相等，那么这个和的最小值是多少？最大值是多少？

例10.图中有10个小三角形和4个大三角形，将1~10填入每个小三角形，使每个大三角形内的数字之和都等于25。（以填好3个数）

练习：

1．将6～12这7个数填入图中，使每条线段上的三个数的和相等。

 （第1题） （第2题）

2．把1～5这5个数填在图中的圆圈内,使横行三个数的和等于纵列三个数的和.

3．将5，6，7，8，9这五个数字分别填入图中,使横行,竖列三个数的和都使21.

4．将2、5、8、11、14分别填入下左图的○中，使每边三数之和都等于21。

5．将2、4、6、8、10、12、14七个数填入下中图的○中，使每条边上的三个数相加的和都等于24。

（第4题） （第5题） （第6题）

6．将2～12填入上右图的○中，使每条边上三个数的和相等，有几种不同的填法？

7．把3～8这6个数填在左下图中的圆圈内，使每条线上的和都相等.

 （第8题）

8．将1～6这六个数分别填入右上图中，使每条线段上三个数的和相等.

9．把1～10十个数分别填入下图的“六一”形十个空格内，使每行中数字和为12。

10．将5~14这十个自然数填入右上图中的圆圈中，使每个大圆上六个数的和是55，求a+b。

11．把1～9这9个数填在图中的圆圈内，使每条边上四个数的和都相等.

12．将1—7填入左下图的Ο中，使得图中四个三角形的三个顶点之和都等于11，求A+B=？

13．图中有10个小三角形和4个大三角形，将1~10填入每个小三角形，使每个大三角形内的数字之和都等于25（其中已填好了3个数）。

幻  方

知识要点：

把一些数填入到横竖都相等的正方形内，使得方阵图中每一行、每一列和两条对角线上的各个数字之和都相等，这样的方阵图叫做幻方。

有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数问题。对于这类问题，我国古代数学家已有了很深的研究。如南宋时期的数学家杨辉已对幻方(纵横图)作了比较详尽的记叙，总结了幻方的十六字编造法。即“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”

例题分析：

例1. 将10～18这九个数填入图中，使它成为一个三阶幻方。

 （第1题） （第2题） （第3题）

例2．如上图，将1，3，5，7……，17填入右上的3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。

例3．如上图，如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这九个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？的那个数是多少？怎么填？

6
28	15

例4．如图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数。

例5．如图所示，方格中的格子被填上了数，每一行，每一列以及两条对角线中所填的数字之和均相等，则x的值为（     ）。

例6．已知下图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2037。求画有“？”的格子填的数是多少？

447		？
	4

例7. 在图中的空格处填上适当的数，使它成为一个三阶幻方。

	12
	15	20
16		11

4	b	c
1	e	f
g	h	2

                       

（例8图）

例8. 如右上图，在3×3的方格中，每行，每列及每条对角线上三数之和均相等，那么，b=（     ）h=（     ）。

例9．在图中的空格处填上适当的数，使它成为一个三阶幻方。

	3	15
1

例10．在图中的空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（已填好一个），使每一横行，竖行及对角线上的三数之和都等于21。

		11

例11．如图是一个三阶幻方，已知2个数，请根据幻方的性质求画有“？”的格子填的数是多少？

？
		18
	12

例12．已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等。请填出其他的数。

	1	12
	6
3

练习：

1.用3、6、9、12、15、18、2l、24、27这9个数作一个三阶幻方．

		14
		7

2.在图中的空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等

18	10
		2

3.在右图空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于 30．

4.在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6（如图）请你在其他方格中填上适当的数，使横，三个方向的三个数之和均为27。

		5
6

5.用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和都是60．

6.在图中的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使得每行，每列，每条对角线上的三个数之和都等于21。

7.下图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行，竖列和对角线上三个数之和都等于30

		14

？
		19
	13

8.右图是一个三阶幻方．求“?”是多少，空格处怎么填？．

9.在图中九个方格中已分别填入四个数，请再填入其它自然数，使任一行与任一列的三个数之积都相等。

12	10	1
		15

1	2
4	3