解析几何及参

2006学年第1学期　 考试科目：  解析几何 

考试类型：（闭卷）　　　考试时间：　 120 　分钟

学号                  姓名                 年级专业                     

1．设向量非零，若，则与满足的条件      。

2．设非零不共线，则的正向所成角的平分线上的单位向量是       。

3．设向量，则同时垂直于向量的单位向量为                  。

4．设为互相垂直的右旋向量组，且，则＝           。

5．参数方程，表示的二次曲面是              。

6．绕自身的渐近线旋转的的旋转面方程为                。

7.二次曲线的平行于的切线方程是                 。

8.曲线关于面上的投影曲线方程为              。

二、选择题（每题3分，共24分）。

1.下列命题中，正确的是                               (   )

A、  ；

B、  ；

C、；

D、。

2.设向量是不共线，且    (   )                       

3.设均为单位向量，且，则的值为  (   )

4．直线与直线的位置关系是           (   )

A、垂直；   B、平行；   C、重合；   D、异面。

5.直线与平面的夹角是          (   )

6.在空间直角坐标系中，下列方程表示椭圆的是          (   )

7.直线族所形成的二次曲面是             (   )

A、抛物柱面；                  B、双曲柱面；     

C、椭圆抛物面；                D、双曲抛物面。

8.经过两条抛物线和的二次曲面是      (   )

A、椭圆抛物面；                B、单叶双曲面；     

C、双曲抛物面；                D、双叶双曲面。

三、计算题（1、2、3、4每题10分，5题15分，共55分）。

1．在给定的直角坐标系中，求异面直线与之间的距离及公垂线方程。

2.在直角坐标系中，求经过以下两平面的交线， 

      且平行于轴的平面的方程，并求点到平面的距离。

3.设圆柱面的对称轴为

且已知点在该圆柱面上，求该圆柱面的方程。

4.求绕旋转的旋转面方程。

5.通过直角坐标变换或者二次曲线不变量把化成标准型，作出其图形，说明原方程表示什么曲线。

四、证明题（5分）。

 设等边边长为1，令,证明：。

华南农业大学期末考试试卷（A卷）参

2006学年第1学期　 考试科目：　解析几何　　

五、填空题（每空2分，共16分）。

1．

2．

3．

4．6

5．二次锥面

6．或

7．

8．。

六、选择题（每题3分，共24分）。

1．C、C、D、D、C；      6 . B、A、C.

七、计算题（1、2、3、4题每题7分，5、6题每题11分，共50分）。

1．解：分别过点,方向向量分别是

        ……3分

        公垂线方向向量可以取…………………..……...4分

     方程

即

………………………...…………7分

方程

即

……………………………..………10分

从而公垂线的方程为

……………………………..……10分

2．解：设经过

的平面族方程为

…………...……..4分

设

平行于轴，则…………………….………..6分

取,代入方程得。………………………..…………..……..8分

………..……..…....10分

3．解：对称轴过点，方向向量

     设是圆柱面上任意一点，则在上充要条件是

       即

……………………….……..6分

代入计算得

整理得

. …..10分

4．解：母线，轴过点，方向向量

点在此旋转面上的充要条件为在某一条母线上，即存在母线上一点，使得在过点的纬圆上。因此                 ......6分

即

消去，得

5．……………………….......9分

消去，得

……….……....10分

6．

解法一：使用直角坐标坐标变换。设新旧坐标系同定向右手系。

先作转轴变换消去交叉项。选取转角使得它满足           

7．             ……………………………………..…1分

解得    ，则

…………………………2分

于是

             …………………………...4分

………….6分

因此转轴后的新方程是

              …………………. …….7分

转轴公式为

。      （1）……...………..8分

配方得

               …………...…..……..9分

再作移轴变换

       （2）………….….......10分

得

…………………….………...11分

即

…………………………………….11分

原方程表示椭圆，长半轴长为，虚半轴长为

由公式（1）、（2）得总的坐标变换公式为

……….……..…12分

即

…………..…….……...12分

新坐标原点旧坐标为。作图………………………….……15分

解法二：不变量。二次曲线的不变量为

   这是椭圆型曲线。………….2分

，…………………………………….4分

原方程表示椭圆，…………………………………………….……..5分

特征方程     ，……………………………………...7分

特征根       

原方程化为

……………………………………9分

即           …………………………….....................10分

选取转角使得它满足           

8．    ……………………………………....11分

解得    。…………………………………………….11分

由

解得对称中心。…………………………………………12分

作图见上面…………………………………………………………..15分

八、证明题（5分）。

证明：由题设条件知共面，且，

              ………………....3分

所以          ………………………………..........4分

由此得

……………….5分