2023年全国新高考高三押题卷(五)数学试题(含答案解析)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}1,2A =，{}

2

,3B a a =+，若{}1A B = ，则实数a 的值为（

）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

2．若复数z 的共轭复数为z ，并满足i 2i z =+，其中i 为虚数单位，则z =（）

A ．1+2i

B ．12i

-C ．12i -+D ．12i

--3．命题“00x ∃>，2

0030x x -+>”的否定是（

）

A ．00x ∃>，2

0030

x x -+≤B ．0x ∀>，230x x -+≤C ．00x ∃≤，2

0030

x x -+≤D ．0x ∀≤，230

x x -+>4．已知函数ln 2e ,0

()(3),0

x x f x f x x +⎧≤=⎨->⎩，则()2023f =（

）

A ．

2e

B ．2e

C ．

2

2e D ．2

2e 5．已知直线():130l a x y -+-=，圆()2

2:15C x y -+=．则“1a =-”是“l 与C 相切”的（

）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．某县扶贫办积极响应党的号召，准备对A 乡镇的三个脱贫村进一步实施产业帮扶，现有“特色种养”､“庭院经济”､“农产品加工”三类帮扶产业，每类产业中都有两个不同的帮扶项目，若要求每个村庄任意选取一个帮扶项目（不同村庄可选取同一个项目），那么这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业的概率为（）

A ．

2

9

B ．

16

C ．

13

D ．

25

7．在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，M 为BC 中点，O 为ABC 的内心，且AO AB AM λμ→

→

→

=+，则λμ+=（

）

A ．

712

B ．

34

C ．

56

D ．1

8．已知A ，B ，C 是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>上的三点，直线AB 经过原点O ，AC

经过右焦点F ，若BF AC ⊥，且32

CF FA = ，则该双曲线的离心率为（）

A ．

2

B C ．

32

D ．

5

二、多选题

9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若110a =-，13n n a a +=+，则下列说法正确的是（）

A ．{}n a 是递增数列

B ．10是数列{}n a 中的项

C ．数列{}n S 中的最小项为4

S D ．数列n S n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是等差数列

10．将函数sin 21y x x =+的图象向右平移

12

π

个单位长度，再将所有点的横坐

标缩短到原来的1

2，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则下面对函数()g x 的叙述中正确的是（

）

A ．函效()g x 的最小正周期为

2πB ．函数()g x 图象关于点,012π⎛⎫

- ⎪⎝⎭

对称

C ．函数()g x 在区间,42ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

内单调递增

D ．函数()g x 图象关于直线12

x π

=

对称11．已知实数a 、b ，下列说法一定正确的是（）

A ．若a b <，则223777b

a

a

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

<< ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

B ．若1b a >>，则1log 2

ab a <

C ．若0a >，0b >，21a b +=，则21

a b

+的最小值为8D ．若0b a >>，则

2211a b

b a

++>12．已知等边三角形ABC 的边长为6，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，将AMN 沿MN 折起至A MN '△，在四棱锥A MNCB '-中，下列说法正确的是（）

A ．直线MN ∥平面A BC

'B ．当四棱锥A MNCB '-体积最大时，二面角A MN B '--为直二面角C ．在折起过程中存在某位置使BN ⊥平面A NC

'D ．当四棱A MNCB '-体积最大时，它的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为

39π

三、填空题

13．国庆放假期间，4号到7号安排甲乙丙三人值班，其中，乙和丙各值班1天，甲连续值班2天，则所有的安排方法共有________种.

14．曲线2

23x y e x x =+-

在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin 22πα⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭__________．

15．已知点()0,5A ，过抛物线212x y =．上一点P 作=3y -的垂线，垂足为B ，若PB PA =，则PB =__________．

四、双空题16．已知函数2

()2g x x

π=

+，则函数()g x 图像的对称中心为_______；方程()2cos sin2g x x x =+在区间[2,]ππ-上的实根之和为________.

五、解答题

17．在已知数列{}n a 中，112,21n n a a a +==-.

(1)若数列{}n a t -是等比数列，求常数t 和数列{}n a 的通项公式；

(2)若()21(1)=-+-⋅n

n n b a n ，求数列{}n b 的前2n 项的和2n S .

18．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足

()(sin sin )()sin a b A B a c C +-=-.

(1)求角B 的大小；

(2)若c =，求a

的取值范围.

19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝a ，E 是PC 的中点，过E 作EF ⊥PB ，交PB 于点F ．

(1)证明：PB ⊥平面EFD ；

(2)若平面PBC 与平面PBD 的夹角的大小为

3

π

，求AD 的长度.20．2021年3月5日李克强总即在作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机

器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：

方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；

方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t 元；

制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表维修次数0123机器台数

20

40

80

60

以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．（1）求X 的分布列；

（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t 定在什么范围？

21．已知圆()2

221:1F x y r ++=，圆()()2

2

22:14F x y r -+=-，04r <<．当r 变化时，

圆1F 与圆2F 的交点P 的轨迹为曲线C ，（1）求曲线C 的方程；

（2）已知点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，过曲线C 右焦点2F 的直线交曲线C 于A 、B 两点，与直线x m =交

于点D ，是否存在实数m ，λ，使得PA PB PD k k k λ+=成立，若存在，求出m ，λ；若不存在，请说明理由．

22．已知()2

1x f x e ax x =---．

（1）当2

e

a =

时求()f x 的极值点个数；（2）当[)0,x ∈+∞时，()0f x ≥，求a 的取值范围；（3）求证：

22223

2121212

n e e e +++<--- ，其中*n ∈N ．

参：

1．B

【分析】由交集的结果，根据233a +≥及集合的性质，即可求a 的值.【详解】由{}1A B = ，而233a +≥，故1a =，故选：B.2．A

【分析】根据除法法则计算得到12i z =-，从而得到1+2i z =.【详解】因为i 2i z =+，所以()()

i 2i 2i 12i i i i z -++===-⋅-，所以1+2i z =故选：A 3．B

【分析】利用含有一个量词的命题的否定直接求解作答.

【详解】命题“00x ∃>，2

0030x x -+>”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

所以命题“00x ∃>，2

0030x x -+>”的否定是“0x ∀>，230x x -+≤”.

故选：B 4．C

【分析】根据分段函数的定义结合对数的运算性质求解.【详解】由题可知，当0x >时，()(3)f x f x =-，所以()2023(2020)(1)(2)f f f f ====- ，因为ln 22ln 2

22e 2

(2)e e e

f -+-===，故选:C.5．B

【分析】根据题意圆心到直线的距离等于半径，=，解得1a =-或32a =，

即可得解.

【详解】圆()2

2:15C x y -+=的圆心为(1,0)，半径r =，由直线l 和C 相切可得：

圆心到直线的距离d =解得2230a a --=，解得1a =-或32

a =

，故1a =-是1a =-或3

2

a =的充分不必要条件，故选：B.6．A

【分析】分别计算出三个村庄总的方案的种数和这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业的种数，然后代入古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】设“特色种养”中的两个帮扶项目为,A B ，“庭院经济”中的两个帮扶项目为,C D ，“农产品加工”中的两个帮扶项目为,E F ，所以三个村庄总的方案为666=216⨯⨯种，

这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业，则共有3

38A =48⨯种，所以这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业的概率为

482

=2169

，

故选：A .7．A

【分析】在直角三角形ABC 中，求得内切圆半径，用,AB AC →

→

表示出AO

→，而

()22

AO AB AM AB AC μ

μ

λμλ→→→

→

→

=+=+

+

，从而求得λμ+.

【详解】由题知，2

A π

∠=，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径

34

1345

OE OF ⨯==

=++，四边形AEOF 为矩形，

则1143AO AE AF AC AB →→→→→=+=

+，又1122AM AB AC →→→=+则11(2234AO AB AM AB AC AB AC μμλμλ→→→→→

→→=+=++=+则1231

24

μλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1173412λμ+=+=故选：A 【点睛】关键点点睛：求得内切圆半径，得到1143AO AC AB →

→→=+，从而利用11()2234AO AB AM AB AC AB AC μμλμλ→→→→→

→→=+=++=+，求得参数值即可.8．D

【分析】根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于,,a b c 的方程，从而可以求得离心率.

【详解】设双曲线的左焦点为E ，连接,,AE CE BE 由题意知,,BF AE BE AF BF AC

==⊥∴四边形AEBF 为矩形，令,BF AE m BE AF n

====∵2CE CF AE AF a -=-=，32

CF FA = ∴在Rt EAC △中，22

233222m m n a n ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将2a m n =-带入可得6m n

=∴212,55

n a m a ==∴在Rt EAF V 中，()

2222m n c +=即()22

2122255a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

可得5

c e a ==故选：D

9．ACD

【分析】利用数列的单调性可判断A 选项；求出数列{}n a 的通项公式，解方程10n a =，可

判断B 选项；解不等式0n a ≤，可判断C 选项；求出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

的通项公式，利用等差数列的定义可判断D 选项.

【详解】由已知110a =-，13n n a a +-=，所以，数列{}n a 是首项为10-，公差为3的等差数列，

所以，()1031313n a n n =-+-=-.

对于A 选项，因为13n n a a +-=，所以，{}n a 是递增数列，A 对；

对于B 选项，令31310n a n =-=，可得233n *=

∉N ，B 错；对于C 选项，令3130n a n =-≤可得133n ≤

，所以，数列{}n S 中的最小项为4S ，C 对；对于D 选项，()()211031332322

2

n n n a a n n n n S +-+--===，则3232n S n n -=，所以，()1312332331222

n n n S S n n n ++---=-=+，故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，D 对.故选：ACD.

10．AD

【分析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，求出()g x 的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性和图像的性质，可得结论.

【详解】由题意可得：函数sin 2212sin(2)13

y x x x π=++=++，将其向右平移12π个单位可得2sin(212sin(21636y x x ππ

π

=-++=++，再将所有点的横坐标缩短到原来的1

2倍，

纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，可得2sin(4)16()g x x π+

+=，故可得函数()g x 的周期242T ππ=

=,故A 正确；令12x π

=-，可得012()g π

-=，故,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数()g x 的一个对称中心，故B 错误；

当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得7134666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质，可得函数2sin(416()g x x π++=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

不单调，故C 不正确；由2sin 1=32()12g π

π

+=，可得12

x π=是函数的对称轴，故D 正确；故选：AD

11．BC

【分析】根据指对数函数的性质及基本不等关系对选项进行一一分析即可.

【详解】对于A ，当0a =时，2377a a

⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；

对于B ，若1b a >>，则1a <<1log log 2ab ab a <=

，故B 正确；对于C ，若0a >，0b >，21a b +=，则21214()(2)4b a a b a b a b a b

+=++=++

48≥+=，当且仅当4b a a b =，即122a b ==时等号成立，故C 正确；对于D ，取1,2a b ==，2121123421a b ++==<=，故D 错误；故选：BC

12．ABD

【分析】根据折叠前后//BC MN 不变判断A ，根据变化过程A '的变化可知B 正确，反证法判断C ，求出球的半径计算面积判断D.

【详解】因为//BC MN ,MN ⊄平面A BC '，BC ⊂平面A BC '，所以直线MN ∥平面A BC '，故A 正确；

因为四棱锥A MNCB '-底面积为定值，所以当点A '到平面MNCB 距离最大时体积最大，故当二面角A MN B '--为直二面角时，满足题意，故B 正确；

对于C ，如图，

若BN ⊥平面A NC '，则BN AA '⊥，又A D MN '⊥，,AD MN A D AD D '⊥= ，可知MN ⊥平面A AD ',所以A A MN '⊥,又MN BN N ⋂=,所以A A '⊥平面MNCB ,这显然不可能，故C 错误；当四棱A MNCB '-体积最大时，二面角A MN B '--为直二面角，如图，

由3

MBC π∠=，取BC 的中点E ，则E 是等腰梯形MNCB 外接圆圆心．F 是△AMN 外心，作OE ⊥平面MNCB ，OF 上平面A 'MN ，则O 是四棱锥A '-MNCB 的外接球的球心，且

OF =DE =

2

，AF 设四棱锥A '-MNCB 的外接球半径R ，则222394R AF OF =+=，所以球表面积是39π．

【点睛】关键点点睛：球的内接四棱锥问题，需要根据所给四棱锥的特点选择合适方法求球半径，本题利用球的截面圆的性质确定球心位置，进而求出球的半径，属于中档题.13．6

【分析】先考虑甲的安排方法，再考虑乙与丙的排法，由分步乘法计数原理求出安排方法的总数.

【详解】甲的安排方法有3种，即4,5两天值班或5,6两天值班或6,7两天值班，再安排乙

与丙两人有22A 2=种安排方法，所以所有的安排方法共有6种.

故答案为：6

14．4

5【分析】先求出1tan

3αα==，再利用诱导公式和二倍角公式求解.【详解】由题得2()23x y f x e x ==+-

''，所以021(0)33

f e '=-=，所以1tan ,(0,),cos

32πααα=∴∈∴=所以294sin 2cos 22cos 1212105πααα⎛⎫+==-=⨯-= ⎪⎝

⎭.故答案为：4

5

【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值，常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法求解.

15．7

【分析】根据题意，设(,)P x y ，PB PA =，可得3y +=212x y =即可得解.

【详解】

设(,)P x y ，PB PA =，

可得3y +=，

216160x y -+=，

由212x y =，带入可得：4y =，所以37PB y =+=，

故答案为：7.

16．,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭2π

-【分析】根据反比例函数的特征可得对称中心，结合函数单调性画出简图，结合图像可得答案.【详解】21()22

g x x x ππ==++，易知函数()g x 的图像关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；令()2cos sin 2h x x x =+，()2cos sin 2()h x x x h x π-=--=-，所以函数()h x 的图像也关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭

对称；2()4sin 2sin 22(sin 1)(2sin 1)h x x x x x '=--+=-+-，当1sin 1,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝

⎭时，()0h x '>，即()h x 在区间112,6π⎛⎫-π- ⎪⎝⎭和7,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭和5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当1sin ,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，即()h x 在区间117,6

6ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.又(2)2h π-=

，11()()662

h h ππ-==

，75()()662h h ππ-==-，()2h π=-，画出()h x 和()g x

的简图如图

设交点分别为,,,,A B C D 则,2222

C D A B x x x x ππ++=-=-，故则方程()2cos sin2g x x x =+在区间[2,]ππ-上的实根之和为2π-.故答案为：,02π

⎛⎫- ⎪⎝⎭；2π-.

17．(1)1t =；1

21n n a -=+.

(2)2122

n n ++-【分析】（1）由121n n a a +=-，化简得到112(1)n n a a +-=-，得出{}1n a -时首项为1，公比为2的等比数列，求得1t =，进而求得数列的通项公式；

（2）由（1）得到2(1)n n

n b n =+-⋅，结合等比数列的求和公式和并项求和法，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，数列{}n a 满足121n n a a +=-，所以112(1)n n a a +-=-，又由12a =，可得111a -=，

所以数列{}1n a -时首项为1，公比为2q =的等比数列，又因为数列{}n a t -是等比数列，所以1t =，可得1

1112

2n n n a ---=⋅=，

所以数列{}n a 的通项公式为1

21n n a -=+.

（2）解：由（1）知：1

21n n a -=+，可得()21(1)2(1)n n n n n b a n n =-+-⋅=+-⋅，

所以数列{}n b 的前2n 项的和为：

222(222)(1234(21)2)n n n n S =++++-+-++--+ 22(12)((12)(34)[(21)2])

12n n n ⋅-=+-++-+++--+- 2212(12)2212

n n n n +⋅-=+=+--.

18．(1)3

π

(2)

【分析】（1）先利用正弦定理把已知式子统一成边的关系，再利用余弦定理可求出角B 的大小，

（2）由（1）可得23

A C

B π

+=π-=

，由正弦定理可得

1

2sin

23

3

sin

sin sin sin tan

C C

C

c

a A

C C C C

π⎫

⎛⎫+⎪

-

⎪

⎝⎭⎝⎭

=⋅===

，然后由ABC

为锐角三角形求出角C的范围，再利用正切函数的性质可求得结果

【详解】（1）因为()(sin sin)()sin

a b A B a c C

+-=-，

所以由正弦定理可得()()()

a b a b a c c

+-=-，化简得222

a c

b ac

+-=，

所以由余弦定理得

2221

cos

222

a c

b ac

B

ac ac

+-

===，

因为(0,)

Bπ

∈，

所以

3

Bπ

=

（2）因为

3

Bπ

=，所以

2

3

A C Bπ

+=π-=,

由正弦定理得，

sin sin

a c

A C

=，

所以

1

2sin

23

3

sin

sin sin sin tan

C C

C

c

a A

C C C C

π⎫

⎛⎫+⎪

-

⎪

⎝⎭⎝⎭

=⋅===

，

因为ABC

为锐角三角形，

所以

2

2

32

C

C

π

ππ

⎧

<<

⎪⎪

⎨

⎪<-<

⎪⎩

，得

62

C

ππ

<<，

所以tan C>

所以

3

tan C

<<

3

tan C

<<，

a

<<，

即a

的取值范围为

19．(1)证明见解析；

(2)a.

【分析】(1)要证PB⊥平面EFD，则要证PB⊥DE，则证DE⊥平面PBC，则证DE⊥BC，则证BC⊥平面PCD；

(2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 和平面PBD 的法向量，利用向量方法即可求出AD ．【详解】（1）∵PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是矩形，∴PD BC ⊥，CD BC ⊥，

又PD CD D ⋂=，∴BC ⊥平面PDC ，∵DE ⊂平面PDC ，∴BC DE ⊥．

又∵PD DC =，E 是PC 的中点，∴DE PC ⊥，∵PC BC C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC ，∴DE PB ⊥．又EF PB ⊥，EF DE E ⋂=，∴PB ⊥平面EFD ；

（2）如图，由题意知DA 、DC 、DP 两两互相垂直，以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -.设AD t =

，

则()0,0,0D ，(),,0B t a ，()0,,0C a ，()0,0,P a ，0,,22a a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

∴()0,0,DP a =uu u r ，(),,0DB t a =uu u r

，

由(1)知，DE ⊥平面PBC ，故DE

是平面PBC 的一个法向量，且0,,22a a DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭

．

设平面PBD 的法向量为(),,n x y z = ，

由00n DP n DB ⎧⋅⎨⋅⎩ ＝，＝，得00az tx ay ⎧⎨⎩＝，＋＝，即00z tx ay ⎧⎨⎩＝，＋＝，

取1y =，得,1,0a n t ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭r ，

∴1

2cos 32a DE n DE n

π

⋅==⋅uuu r r

uuu r r ，解得

t a =，即AD a =．

20．（1）答案见解析；（2）[)0,1500．

【分析】（1）根据统计表，维修0、1、2、3次的机器的比例分别为

110、15、2

5、310

，而2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数可能有{0,1,2,3,4,5,6}，对应的基本事件为

(){}0,0、{(0,1),(1,0)}、{(0,2),(2,0),(1,1)}、{(0,3),(3,0),(1,2),(2,1)}、{(1,3),(3,1),(2,2)}、

{(2,3),(3,2)}、{(3,3)}，进而可求各可能值的概率，写出分布列即可.

（2）根据两个方案的描述，结合（1）所得的分布列，分别写出方案一、方案二所需费用的分布列，进而求它们的期望，要使选择方案二对客户更合算有()()21E Y E Y <，即可求t 的范围.

【详解】（1）由题意得，0,1,2,3,4,5,6X =，

()11101010100P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()12113

221055525P X ==⨯⨯+⨯=，

()131211

32210105550

P X ==

⨯⨯+⨯⨯=，()31227421055525P X ==

⨯⨯+⨯=，()326

5210525P X ==⨯⨯=()33961010100

P X ==⨯=，

∴X 的分布列为X 0

1234

56

P

11001

25

325

1150

725

625

9100

（2）选择方案一：所需费用为1Y 元，则2X ≤时，15000Y =，3X =时，16000Y =；4X =时，

17000Y =；5X =时，58000Y =，6X =时，19000Y =，

∴1Y 的分布列为

1

Y 500060007000

80009000

P

171001150

725

625

9100

()11711769

E 500060007000800090006860100502525100

Y =⨯

+⨯+⨯+⨯+⨯=，选择方案二：所需费用为2Y 元，则4X ≤时，26230Y =；5X =时，26230Y t =+；6X =时，

262302Y t =+，则2Y 的分布列为

2

Y 62306230t

+62302t +P

67100

625

9100

()()()2676921623062306230262301002510050

t E Y t t =⨯

++⨯++⨯=+，要使选择方案二对客户更合算，则()()21E Y E Y <，∴216230686050

t

+

<，解得1500t <，即t 的取值范围为[)0,1500．【点睛】关键点点睛：

（1）由题设描述确定2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数的可能值，并确定对应的基本事件，进而求各可能值的概率，写出分布列.

（2）根据（1）所得分布列，由各方案的费用与维修次数的关系写出费用的分布列，并求期望，通过期望值的大小关系求参数的范围.

21．（1）22

143

x y +=；

（2）存在；4m =，2λ=．【分析】（1）圆F 1与圆F 2的交点满足1PF r =，24PF r =-，又122F F =，则P 点轨迹满足椭圆方程，从而求得椭圆方程；

（2）设直线AB 的方程为()1y k x =-，与椭圆联立，求得韦达定理，分别表示出

1212332211PA PB

y y k k x x -

-+=+--，()3121PD k m k m --

=-，将韦达定理代入化简，并满足条件PA PB PD k k k λ+=，从而求得参数m ，λ的值.

【详解】解：（1）由题意可知1PF r =，24PF r =-，122F F =，所以12124PF PF F F +=>，

所以曲线C 为以1F 、2F 为焦点的椭圆，且˙

2224a ==，21c =，2413b =-=，

所以曲线C 的方程为22

143

x y +=．

（2）假设存在，由题意知直线AB 的斜率存在，

设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，

联立|()22

1,3412,

y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，消去y 整理得，()2222

4384120k x k x k +-+-=，则2122843

k x x k +=+，2122412

43k x x k -=+，

所以()()1212121233331122221111PA

PB

y y k x k x k

k x x x x -

-----+=

+=+----()()()()()

1212121232332221212121x x k k k x x x x x x +-=-

-=-=----++，

()()

3

1321

21PD k m k k m m --

=

=-

--，因为PA PB PD k k k λ+=，所以()32121k k m λλ-=-

-，所以2λ=，

()

3121m λ

=-，得4m =，所以存在4m =，2λ=使PA PB PD k k k λ+=成立．

【点睛】方法点睛：化简圆锥曲线条件时，如遇到直线与圆锥曲线相交的相关条件，可以通过联立化简，求得韦达定理，代入化简，并根据条件求得参数值.22．（1）两个极值点；（2）1,2⎛

⎤-∞ ⎥⎝

⎦；（3）证明见解析．

【分析】（1）利用导数求出函数()f x 的单调区间，即得()f x 的极值点个数；

（2）设()()()210x h x f x e ax x ==--≥'，则()2x

h x e a '=-单调递增，对a 分类讨论，求出()

f x 的最值即得解；（3）由（2）可知12

a =时，()2

21210x e x x x -≥++≥，所以()222e 12n n n <-+，再利用裂项相消法求和得证.【详解】解：（1）当2e a =

时，()212

x

e f x e x x =---，所以()1x f x e ex =--'，()x

f x e e ''=-，

所以当1x <时，()0f x ''<，()f x '在(),1∞-上单调递减；

当1x >时，()0f x ''>，()f x '在()1,+∞上单调递增，

因为()00f '=，()11f '=-，()22210f e e '=-->，

所以存在()01,2x ∈，使()00f x '=，所以，(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>；()00,x x ∈时，()0f x '<；()0,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，所以0和0x 是()f x 的极值点，

所以()f x 有两个极值点．

（2）()21x f x e ax x =---，()e 21x f x ax =--'，

设()()()210x h x f x e ax x ==--≥'，则()2x h x e a '=-单调递增，

又()012h a '=-，所以当12

a ≤时，()0h x '≥，()h x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00h x h ≥=，即()0f x '≥，()f x 在[)0,∞+上单调递增，

所以()()00f x f ≥=，符合题意.当12

a >时，令()0h x '=，解得ln 2x a =，当[)0,ln 2x a ∈时，()0h x '<，()h x 在[)0,ln 2a 上单调递减，()()(0)0f x h x h '=≤=，()f x 在()0,ln 2a ）上单调递减，

所以()0,ln 2x a ∈时，()()00f x f <=，不符合题意，

所以a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝

⎦．（3）由（2）可知12

a =时，()0f x ≥，[)0,x ∈+∞，即()221210x e x x x -≥++≥，所以222e 1212n n n n n -≥++>+，()

222e 12n n n <-+，所以()

222222221212113242n e e e n n +++<+++---⨯⨯+ 1111113242

n n =-+-+-+ 111312122

n n =+--<++．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第3问，其关键是根据（2）得到

()221210x e x x x -≥++≥，再通过放缩得到()

222e 12n n n <-+.