辽宁省沈阳市浑南区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）

1．下列哪个方程是一元二次方程（　　）

A．x+2y＝1    B．x2﹣2x+3＝0    C．x2﹣＝3    D．ax2+bx+c＝0

2．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　）

A．AB2＝AP2+BP2    B．BP2＝AP•BA    

C．    D．

3．若点（3，4）是反比例函数y＝图象上一点，此函数图象必经过点（　　）

A．（﹣2，﹣6）    B．（2，﹣6）    C．（4，﹣3）    D．（3，﹣4）

4．一元二次方程3（x2﹣3）＝5x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）

A．3，﹣5；9    B．3，﹣5，﹣9    C．3，5，9    D．3，5，﹣9

5．若△ABC∽△A'B'C'，且相似比为2：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比为（　　）

A．2：3    B．3：2    C．4：9    D．9：4

6．关于一元二次方程x2+x+2＝0的根的情况叙述正确的是（　　）

A．方程有一个实数根    B．方程有两个不等实数根    

C．方程有两个相等实数根    D．方程没有实数根

7．在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（　　）

A．两条对角线相等    

B．两条对角线互相垂直平分    

C．两条对角线互相垂直    

D．两条对角线相等且互相垂直

8．利用配方法解方程x2﹣12x+13＝0，经过配方得到（　　）

A．（x+6）2＝49    B．（x+6）2＝23    C．（x﹣6）2＝23    D．（x﹣6）2＝49

9．在一个不透明的口袋里有标号为1，2，3，4，5的五个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球．下列说法正确的是（　　）

A．任意摸一次，摸出1号球和摸出5号球的概率相同    

B．有放回的连续摸10次，则一定摸出2号球两次    

C．有放回的连续摸5次，则摸出五个球标号数字之和可能是30    

D．有放回的连续摸6次，则一定能摸出2号球

10．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条小路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为74平方米，那么小路进出口的宽度应为多少米？设小路进出口的宽为x米，则可列方程为（注：所有小路进出口的宽度都相等，且每段小路均为平行四边形）（　　）

A．100×80﹣100x﹣80x＝74    

B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝74    

C．（100﹣x）（80﹣x）＝74    

D．（100﹣x）（80﹣x）﹣x2＝74

二、填空题（每空3分，共18分）

11．已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝3，c＝5，则d＝　   　．

12．若点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝图象上，x1＜x2＜0，则y1，y2大小关系是 　   　．

13．在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，估计盒子中白球的个数是 　   　．

14．如图△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，过F作FG∥AB交BC于点G，若EF＝FG，且EF＝2.5，AC＝4，则阴影部分的面积为 　   　．

15．已知正方形ABCD，点E在线段AB上，连接CE，CA，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点D作DF∥CE交BA延长线于点F，连接GD，GF，则GD与CE的数量关系为 　   　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝25，P是射线BA上一动点，把△PBC沿直线PC翻折，顶点B的对应点为G，当线段CG与AD相交时，设交点为E，连接BE，交PC于点F，连接GF，若BE∥PG，则的值为 　   　．

三、解答题（17题5分，18题8分，19题9分，共计22分）

17．用适当的方法解方程：x2﹣6x﹣2＝0．

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点O为位似中心，在坐标系内画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2：1．

（1）画出△DEF；

（2）请直接写出△DEF的顶点坐标．

19．小明、小芳做一个“配色”的游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其他情况下不分胜负．

（1）转动转盘A一次，请直接写出转到红色的概率；

（2）此游戏的规则，对小明、小芳是否公平？请利用列表或画树状图的方法解释说明．

四、（20题8分，21题8分，共计16分）

20．如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3），且与x轴相交于点B．

（1）求a、b的值；

（2）若点P在x轴上，且△AOP的面积是△AOB的面积的，求点P的坐标．

21．随着互联网的发展，人们的购物方式有了变化，使用网络平台在线购物的越来越多．某产品今年开始做线上销售，二月份销售利润5万元，四月份销售利润11.25万元，求三、四两个月份销售利润的月均增长率．

五、（10分）

22．（10分）如图，有一块面积为48cm2的待加工材料△ABC，BC＝12cm，将它加工成一个矩形零件EFGH，矩形一边上的两个顶点E，F落在BC上，另两个顶点H，G分别在AB，AC上．

（1）求证：△AHG∽△ABC；

（2）当矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半时，求矩形的长和宽分别是多少厘米？

六、（10分）

23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，动点E从点A出发沿AC方向运动，动点F从点C出发沿CB方向运动，点E，F同时出发，且速度均为1cm/s，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．过E作线段EP∥BC，且EP＝BC，连接EF，PF，解答下列问题：

（1）当点F运动到BC中点时，求EC的长；

（2）连接PC，当△PFC的面积为1cm2时，求t的值；

（3）是否存在某一时刻t，使△EFP为直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

七、（12分）

24．（12分）已知正方形ABCD，E是射线AB上一动点，连接EC，点F在直线CD上，且EF＝EC，将EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，过点C作EG的平行线，交射线AD于点H，连接HG．

（1）如图1，当点E在AB中点时，D，F重合，请判断四边形HCEG的形状并证明你的结论；

（2）如图2，当点E在AB延长线上时，补全图形并回答下列问题：

①四边形HCEG的形状是否发生改变，请说明理由；

②连接HE，交DC于点M，若MC＝5，EF＝，请直接写出ME的长．

八.（12分）

25．（12分）已知，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，线段AE，AF分别与BC，DC两边相交，且AE＝AF＝AB＝6．

（1）如图1，设线段AE，AF分别交BC，DC两边于点M，N，连接MN，当AE⊥BC时，请直接写出MN的长；

（2）将∠EAF绕着顶点A旋转，射线BE，DF交于点Q．

①如图2，连接CQ，CF，若CQ＝CF，求出DF，CF，EQ之间的数量关系；

②∠EAF旋转过程中，四边形AEQF的面积是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由．

辽宁省沈阳市浑南区2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）

1．下列哪个方程是一元二次方程（　　）

A．x+2y＝1    B．x2﹣2x+3＝0    C．x2﹣＝3    D．ax2+bx+c＝0

【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．

【解答】解：A．该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

B．该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；

C．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

D．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

故选：B．

【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．

2．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　）

A．AB2＝AP2+BP2    B．BP2＝AP•BA    

C．    D．

【分析】由黄金分割的定义得AP2＝BP•BA，＝＝，即可求解．

【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），

∴AP2＝BP•BA，＝＝，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，

故选：D．

【点评】此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．

3．若点（3，4）是反比例函数y＝图象上一点，此函数图象必经过点（　　）

A．（﹣2，﹣6）    B．（2，﹣6）    C．（4，﹣3）    D．（3，﹣4）

【分析】根据题意，若点（3，4）是反比例函数y＝图象上一点，可得k的值，结合反比例函数图象上的点的特点，分析选项可得答案．

【解答】解：根据题意，若点（3，4）是反比例函数y＝图象上一点，

则k＝3×4＝12，

结合反比例函数图象上的点的特点，

分析选项可得，只有A的点的横纵坐标的积为12；

故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．

4．一元二次方程3（x2﹣3）＝5x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）

A．3，﹣5；9    B．3，﹣5，﹣9    C．3，5，9    D．3，5，﹣9

【分析】先把一元二次方程化成一般形式得到3x2﹣5x﹣9＝0，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解．

【解答】解：去括号得3x2﹣9＝5x，

移项得3x2﹣5x﹣9＝0，

所以二次项系数为3，一次项系数为﹣5，常数项为﹣9．

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数且a≠0）；要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．

5．若△ABC∽△A'B'C'，且相似比为2：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比为（　　）

A．2：3    B．3：2    C．4：9    D．9：4

【分析】根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方，解答即可．

【解答】解：∵△ADE∽△ABC，相似比为2：3，

∴△ADE与△ABC的面积比为（2：3）2＝4：9．

故选：C．

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．

6．关于一元二次方程x2+x+2＝0的根的情况叙述正确的是（　　）

A．方程有一个实数根    B．方程有两个不等实数根    

C．方程有两个相等实数根    D．方程没有实数根

【分析】根据根的判别式即可求出答案．

【解答】解：x2+x+2＝0，

∵a＝1，b＝，c＝2，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（）2﹣4×1×2＝﹣2＜0，

故一元二次方程x2+x+2＝0没有实数根．

故选：D．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型．

7．在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（　　）

A．两条对角线相等    

B．两条对角线互相垂直平分    

C．两条对角线互相垂直    

D．两条对角线相等且互相垂直

【分析】可根据菱形的判定方法来选择．

【解答】解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，

故选：B．

【点评】本题考查平行四边形及菱形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的判定．

8．利用配方法解方程x2﹣12x+13＝0，经过配方得到（　　）

A．（x+6）2＝49    B．（x+6）2＝23    C．（x﹣6）2＝23    D．（x﹣6）2＝49

【分析】方程移项，利用完全平方公式配方后，开方即可求出解．

【解答】解：方程x2﹣12x+13＝0，

移项得：x2﹣12x＝﹣13，

配方得：x2﹣12x+36＝23，即（x﹣6）2＝23．

故选：C．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

9．在一个不透明的口袋里有标号为1，2，3，4，5的五个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球．下列说法正确的是（　　）

A．任意摸一次，摸出1号球和摸出5号球的概率相同    

B．有放回的连续摸10次，则一定摸出2号球两次    

C．有放回的连续摸5次，则摸出五个球标号数字之和可能是30    

D．有放回的连续摸6次，则一定能摸出2号球

【分析】根据概率公式逐一判断即可．

【解答】解：A．任意摸一次，摸出1号球和摸出5号球的概率相同，均为，符合题意；

B．有放回的连续摸10次，则可能摸出2号球两次，此选项不符合题意；

C．有放回的连续摸5次，则摸出五个球标号数字之和最大可能是25，此选项不符合题意；

D．有放回的连续摸6次，则可能摸出2号球，此选项不符合题意；

故选：A．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

10．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条小路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为74平方米，那么小路进出口的宽度应为多少米？设小路进出口的宽为x米，则可列方程为（注：所有小路进出口的宽度都相等，且每段小路均为平行四边形）（　　）

A．100×80﹣100x﹣80x＝74    

B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝74    

C．（100﹣x）（80﹣x）＝74    

D．（100﹣x）（80﹣x）﹣x2＝74

【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．

【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有

（100﹣x）（80﹣x）＝74，

故选：C．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．

二、填空题（每空3分，共18分）

11．已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝3，c＝5，则d＝　7.5　．

【分析】根据比例线段的定义，即可列出方程求解．

【解答】解：根据题意得：＝，即＝，

解得：d＝7.5．

故答案为：7.5．

【点评】本题考查了比例线段的定义，注意a、b、c、d是成比例线段，即＝，要理解各个字母的顺序．

12．若点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝图象上，x1＜x2＜0，则y1，y2大小关系是 　y1＞y2　．

【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断．

【解答】解：∵反比例函数y＝中k＝1＞0，

∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，

∵x1＜x2＜0，

∴点A（x1，y1），B（x2，y2）均在第三象限，

∴0＞y1＞y2．

故答案为：y1＞y2．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解答此题的关键．

13．在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，估计盒子中白球的个数是 　15　．

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．

【解答】解：∵共试验40次，其中有10次摸到黑球，

∴白球所占的比例为＝，

设盒子有白球x个，则＝，

解得：x＝15．

故答案为：15．

【点评】本题考查利用利用频率估计概率．正确列出算式是解题关键．

14．如图△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，过F作FG∥AB交BC于点G，若EF＝FG，且EF＝2.5，AC＝4，则阴影部分的面积为 　　．

【分析】连接BF，根据三角形中位线定理求出BC，根据题意得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到BF⊥AC，根据勾股定理求出BF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．

【解答】解：如图，连接BF，

∵E，F分别是AB，AC的中点，EF＝2.5，

∴BC＝2EF＝5，

∵FG∥AB，F是AC的中点，

∴AB＝2FG，G是BC的中点，

∵EF＝FG，

∴BA＝BC，

∵F是AC的中点，

∴BF⊥AC，AF＝2，

∴BF＝＝＝，

∴S△ABC＝×4×＝2，

∵E，G分别是AB，BC的中点，

∴S阴影部分＝S△ABC＝，

故答案为：．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

15．已知正方形ABCD，点E在线段AB上，连接CE，CA，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点D作DF∥CE交BA延长线于点F，连接GD，GF，则GD与CE的数量关系为 　CE＝GD　．

【分析】先证明四边形CEFD是平行四边形，再证明△FGE≌△DGA（SAS），得△DGF是等腰直角三角形，从而得结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD∥AB，CD＝AB＝AD，∠CAD＝∠CAE＝45°，

∵CE∥DF，

∴四边形CEFD是平行四边形，

∴CD＝EF，CE＝DF，

∴AB＝EF＝AD，

∵EG⊥AC，

∴∠AGE＝90°，

∴∠GEA＝∠EAC＝45°，

∴EG＝AG，

∵∠FEG＝∠DAG＝45°，

∴△FGE≌△DGA（SAS），

∴∠EGF＝∠AGD，DG＝FG，

∴∠DGF＝∠EGA＝90°，

∴△DGF是等腰直角三角形，

∴DF＝GD，

∵CE＝DF，

∴CE＝GD．

故答案为：CE＝GD．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝25，P是射线BA上一动点，把△PBC沿直线PC翻折，顶点B的对应点为G，当线段CG与AD相交时，设交点为E，连接BE，交PC于点F，连接GF，若BE∥PG，则的值为 　或　．

【分析】利用折叠的性质和平行线的性质得到四边形PBFG为菱形，再利用新电视剧新的判定与性质得到；设AE＝x，则DE＝25﹣x，利用相似三角形的判定与性质，得到关于x的方程，解方程求得x值，再利用勾股定理求得CE的长，将相应线段的值代入中，则结论可得．

【解答】解：由题意得：△BPC≌△GPC，

∴∠PGC＝∠PBC＝90°，CB＝CG＝25，PB＝PG，∠CPG＝∠CPB，BF＝FG，

∵BE∥PG，

∴∠BFP＝∠CPG，

∴∠BFP＝∠CPB，

∴BP＝BF，

∴PB＝PG＝BF＝FG，

∴四边形PBFG为菱形．

∴GF∥BP，

∵BP∥CD，

∴GF∥CD，

∴∠FGE＝∠DCE．

∵∠GEF＝∠D＝90°，

∴△GEF∽△CDE，

∴．

∵BE∥PG，

∴∠BEC＝∠PGC＝90°，

∴∠AEB+∠DEC＝90°．

∵∠AEB+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠DEC．

∵∠A＝∠D＝90°，

∴△ABE∽△DEC，

∴，

设AE＝x，则DE＝25﹣x，

∴，

解得：x＝16或9，

∴DE＝9或16．

∴EC＝＝15或20，

∴＝或＝，

故答案为：或．

【点评】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

三、解答题（17题5分，18题8分，19题9分，共计22分）

17．用适当的方法解方程：x2﹣6x﹣2＝0．

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．

【解答】解：∵x2﹣6x﹣2＝0，

∴x2﹣6x＝2，

则x2﹣6x+9＝2+9，即（x﹣3）2＝11，

∴x﹣3＝±，

∴x1＝3+，x2＝3﹣．

【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点O为位似中心，在坐标系内画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2：1．

（1）画出△DEF；

（2）请直接写出△DEF的顶点坐标．

【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置；

（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标．

【解答】解：（1）如图所示：△D′E′F′和△D″E″F″即为所求；

（2）D′（2，4），E′（2，2），F′（6，2），D″（﹣2，﹣4）E″（﹣2，﹣2），F″（﹣6，﹣2）．

【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．

19．小明、小芳做一个“配色”的游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其他情况下不分胜负．

（1）转动转盘A一次，请直接写出转到红色的概率；

（2）此游戏的规则，对小明、小芳是否公平？请利用列表或画树状图的方法解释说明．

【分析】（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，即可得答案；

（2）由（1）的表格，分析可能得到紫色、绿色的概率，得到结论不公平．

【解答】解：（1）用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种，转到红色的概率为，

上面等可能出现的12种结果中，有3种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是，即小明获胜的概率是；但只有2种情况才可能得到绿色，配成绿色的概率是，即小强获胜的概率是．而＞，故小芳获胜的可能性大，这个“配色”游戏对双方是不公平的．

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断，正确计算出各自的概率是解题关键．

四、（20题8分，21题8分，共计16分）

20．如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3），且与x轴相交于点B．

（1）求a、b的值；

（2）若点P在x轴上，且△AOP的面积是△AOB的面积的，求点P的坐标．

【分析】（1）直接利用待定系数法把A（a，3）代入反比例函数中即可求出a的值，然后把A的坐标代入y＝﹣x+b即可求得b的值；

（2）根据直线解析式求得B的坐标，然后根据题意即可求得P的坐标．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3），

∴3＝﹣，

∴a＝﹣1． 

∴A（﹣1，3）．

把A的坐标代入y＝﹣x+b得，3＝1+b，

∴b＝2；

（2）直线y＝﹣x+2与x轴相交于点B．

∴B（2，0），

∵点P在x轴上，

△AOP的面积是△AOB的面积的，

∴OB＝2PO，

∴P的坐标为（1，0 ）或（﹣1，0 ）．

【点评】此题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，关键是求出A、B点坐标，利用待定系数法和数形结合的思想解决问题．

21．随着互联网的发展，人们的购物方式有了变化，使用网络平台在线购物的越来越多．某产品今年开始做线上销售，二月份销售利润5万元，四月份销售利润11.25万元，求三、四两个月份销售利润的月均增长率．

【分析】设三、四两个月份销售利润的月均增长率为x，则四月份获得利润5（1+x）2万元，由题意：四月份销售利润11.25万元，列出一元二次方程，解方程即可．

【解答】解：设三、四两个月份销售利润的月均增长率为x，则三月份获得利润5（1+x）万元，四月份获得利润5（1+x）2万元，

依题意得：5（1+x）2＝11.25，

整理得：（1+x）2＝2.25，

解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．

答：三、四两个月份销售利润的月均增长率为50%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

五、（10分）

22．（10分）如图，有一块面积为48cm2的待加工材料△ABC，BC＝12cm，将它加工成一个矩形零件EFGH，矩形一边上的两个顶点E，F落在BC上，另两个顶点H，G分别在AB，AC上．

（1）求证：△AHG∽△ABC；

（2）当矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半时，求矩形的长和宽分别是多少厘米？

【分析】（1）利用相似三角形的判定定理解答即可；

（2）过点A作AD⊥BC于点D，AD交HG于点M，利用三角形的面积公式求得AD的长，设HG＝xcm，HE＝ycm，则DM＝ycm，

AM＝AD﹣DM＝（8﹣y）cm，利用相似三角形的性质列出比例式，得到x，y的关系式，利用矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半列出方程，将x，y的关系式代入，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求得结论．

【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是矩形，

∴HG∥EF，

∴△AHG∽△ABC；

（2）过点A作AD⊥BC于点D，AD交HG于点M，如图，

∵△ABC的面积为48cm2，

∴BC•AD＝48，

∵BC＝12cm，

∴AD＝8cm．

∵HG∥EF，AD⊥BC，

∴AM⊥HG，

∴HE＝MD＝GF．

设HG＝xcm，HE＝ycm，则DM＝ycm，

∴AM＝AD﹣DM＝（8﹣y）cm，

由（1）知：△AHG∽△ABC，

∴，

∴，

∴y＝．

∵矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半，

∴xy＝24．

∴x•＝24．

解得：x1＝x2＝6，

∴y＝＝4，

∴HG＝6cm，HE＝4cm，

答：矩形的长为6cm，宽为4cm．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．

六、（10分）

23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，动点E从点A出发沿AC方向运动，动点F从点C出发沿CB方向运动，点E，F同时出发，且速度均为1cm/s，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．过E作线段EP∥BC，且EP＝BC，连接EF，PF，解答下列问题：

（1）当点F运动到BC中点时，求EC的长；

（2）连接PC，当△PFC的面积为1cm2时，求t的值；

（3）是否存在某一时刻t，使△EFP为直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由勾股定理求出BC的长，求出AE的长，则可得出答案；

（2）过点E作EM⊥CB于M，证明△EMC∽△BAC，由相似三角形的性质得出，求出EM＝，过点P作PG⊥CF，交BC的延长线于G，EM＝PG＝（cm），根据三角形PFC的面积列出方程，解方程可得出答案；

（3）分两种情况，①若∠FEP＝90°时，②当∠EFP＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．

【解答】解：（1）∵AB＝3cm，AC＝4cm，

∴BC＝＝＝5（cm），

∵F为BC的中点，

∴CF＝BC＝cm，

∴AE＝cm，

∵AC＝4cm，

∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝（cm）；

（2）过点E作EM⊥CB于M，

∵∠EMC＝∠A＝90°，∠ECM＝∠ACB，

∴△EMC∽△BAC，

∴，

∴，

∴EM＝，

过点P作PG⊥CF，交BC的延长线于G，

∵EP∥BC，EM⊥BC，

四边形EMGP是矩形，

∴EM＝PG＝（cm），

∵S△PFC＝CF•PG＝1，

∴＝1，

解得t＝，

∴当t＝时，△PFC的面积为1cm2；

（3）存在．

分两种情况：①若∠FEP＝90°时，

∵EP∥BC，

∴EF⊥BC，

∵∠EFC＝∠A，∠ECF＝∠ACB，

∴△EFC∽△BAC，

∴，

∴，

解得t＝；

②当∠EFP＝90°时，

过点E作EM⊥BC，过点P作PG⊥BC，交BC的延长线于G，

由（2）可知EM＝（cm），，

∴CM＝（cm），

∴MF＝CM﹣CF＝﹣t＝（cm），

∵EP＝MG＝5cm，

∴FG＝5﹣MF＝5﹣＝（cm），

∵∠EFM+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，

∴∠EFM＝∠FPG，

又∵∠EMF＝∠PGF，

∴△EMF＝∽△FGP，

∴，

∴EM2＝FG•MF，

∴，

∴2t2﹣3t＝0，

解得t＝或t＝0（舍去），

综上所述，t＝或t＝时，△EFP为直角三角形．

【点评】本题是相似形综合题，考查了勾股定理，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键．

七、（12分）

24．（12分）已知正方形ABCD，E是射线AB上一动点，连接EC，点F在直线CD上，且EF＝EC，将EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，过点C作EG的平行线，交射线AD于点H，连接HG．

（1）如图1，当点E在AB中点时，D，F重合，请判断四边形HCEG的形状并证明你的结论；

（2）如图2，当点E在AB延长线上时，补全图形并回答下列问题：

①四边形HCEG的形状是否发生改变，请说明理由；

②连接HE，交DC于点M，若MC＝5，EF＝，请直接写出ME的长．

【分析】（1）设ED与CH交与点M，利用正方形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到CH＝EG，再利用菱形的判定定理解答即可；

（2）①延长HC交EF于点K，利用正方形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到CH＝EG，再利用菱形的判定定理解答即可；

②设EH交BC于点N，利用①的结论证明△NEC≌△MHC，得到CM＝CN，则△CMN和△BEN为等腰直角三角形，设BN＝NE＝x，则BC＝x+5，利用勾股定理列出方程即可求得x值，再利用等腰直角三角形的性质求得MN，EN的长，则ME＝MN+EN．

【解答】解：（1）四边形HCEG是菱形，理由：

设ED与CH交与点M，如图，

∵CH∥EG，EG⊥EF，

∴CH⊥ED，

∴∠ADM+∠DHC＝90°，

∵∠ADM+∠EDC＝90°，

∴∠DHC＝∠EDC．

∵AB∥CD，

∴∠AED＝∠EDC，

∴∠AED＝∠DHC，

在△AED和△HDC中，

，

∴△AED≌△HDC（AAS），

∴ED＝CH，

∴CH＝EG，

∵CH∥EG，

∴四边形HCEG为平行四边形，

∵点E在AB中点，

∴EA＝EB，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°．

在△AED和△BEC中，

，

∴△AED≌△BEC（SAS），

∴ED＝EC，

∵D，F重合，

∴ED＝EF，

∵将EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，

∴EF＝EG．

∵EF＝EC，

∴EG＝EC．

∴四边形HCEG是菱形；

（2）①四边形HCEG的形状不会发生改变，四边形HCEG是菱形，理由：

延长HC交EF于点K，如图，

由题意得：EF＝EG，EG⊥EF，

∵EF＝EC，

∴EC＝EG．

∵CH∥EG，

∴CK⊥EF．

∴∠KCF+∠KFC＝90°．

∵∠KCF＝∠DCH，∠DCH+∠DHC＝90°，

∴∠KFC＝∠DHC．

∵EC＝EF，

∴∠KFC＝∠ECF．

∵AB∥CD，

∴∠BEC＝∠ECF，

∴∠BEC＝∠DHC．

在△BEC和△DHC中，

，

∴△BEC≌△DHC（AAS），

∴EC＝HC，

∴EG＝CH，

∵CH∥EG，

∴四边形HCEG为平行四边形，

∵EC＝EG，

∴四边形HCEG是菱形；

②设EH与BC交于点N，如图，

由①知：△BEC≌△DHC，

∴CH＝CE，∠ECN＝∠HCM，

∴∠CEN＝∠CHM．

在△NEC和△MHC中，

，

∴△NEC≌△MHC（ASA），

∴CN＝CM，

∵MC＝5，

∴CN＝5，

∴MN＝CM＝5．

∵∠BCD＝90°，

∴∠CMN＝∠CNM＝45°，

∵∠BNE＝∠CNM，

∴△BNE为等腰直角三角形，

∴BN＝NE，

设BN＝NE＝x，则BC＝x+5，

∵EF＝，EC＝EF，

∴EC＝．

在Rt△BEC中，

∵BE2+BC2＝EC2，

∴，

解得：x1＝2，x2＝﹣7（负数不合题意，舍去），

∴BE＝BN＝2，

∴EN＝BN＝2．

∴EM＝MN+EN＝7．

【点评】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．

八.（12分）

25．（12分）已知，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，线段AE，AF分别与BC，DC两边相交，且AE＝AF＝AB＝6．

（1）如图1，设线段AE，AF分别交BC，DC两边于点M，N，连接MN，当AE⊥BC时，请直接写出MN的长；

（2）将∠EAF绕着顶点A旋转，射线BE，DF交于点Q．

①如图2，连接CQ，CF，若CQ＝CF，求出DF，CF，EQ之间的数量关系；

②∠EAF旋转过程中，四边形AEQF的面积是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由．

【分析】（1）根据菱形的性质证明△AMB≌△AND（AAS），可得AM＝AN，得△AMN是等边三角形，然后根据含30度角的直角三角形即可解决问题；

（2）①连接AC，CE，证明△ABE≌△ACF（SAS），可得BE＝CF，同理△ACE≌△ADF（SAS），可得CE＝DF，再证明△BEC≌△CFD（SSS），可得∠BCE＝∠CDF，∠EBC＝∠FCD，设∠BAE＝α，根据等腰三角形的性质证明∠QFC＝∠CQF＝30°，然后根据四边形内角和定理可得∠BQD＝90°，然后证明∠QCE＝90°，根据勾股定理即可解决问题；

②连接EF，过点A作AP⊥EF于点P，证明△AEF是等边三角形，得EF＝AE＝6，所以AP＝3，可得S△AEF＝9，由四边形AEQF的面积＝S△AEF+S△EFQ＝9+S△EFQ，当△EFQ的面积最大时，四边形AEQF的面积最大，根据∠EQF＝90°，可得当EQ＝FQ时，即由EQ，FQ为边组成正方形时，△EFQ的面积最大，由EF是由EQ，FQ为边组成正方形的对角线，求出正方形的面积，即可求出△EFQ的最大面积＝×18＝9，进而可以解决问题．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD＝CD＝BC，AD∥BC，

∵∠BAD＝120°，

∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°，∠C＝120°，

∴∠D＝60°，

∵AE⊥BC，

∴∠AMC＝90°，

∵∠EAF＝60°，

∴∠ANC＝360°﹣120°﹣60°﹣90°＝90°，

∴∠AMB＝∠AND＝90°，

在△AMB和△AND中，

，

∴△AMB≌△AND（AAS），

∴AM＝AN，

∵∠EAF＝60°，

∴△AMN是等边三角形，

∴MN＝AM，

∵AB＝6，∠B＝60°，

∴AM＝3，

∴MN＝3；

（2）①DF2+CF2＝EQ2，理由如下：

如图，连接AC，CE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，AD∥BC，

∵∠BAD＝120°，

∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，

∵∠EAF＝60°，

∴∠BAC＝∠EAF，

∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE，

∴∠BAE＝∠CAF，

∵AE＝AF＝AB，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（SAS），

∴BE＝CF，

∵CQ＝CF，

∴BE＝CF＝CQ，

同理△ACE≌△ADF（SAS），

∴CE＝DF，

∵BC＝CD，

∴△BEC≌△CFD（SSS），

∴∠BCE＝∠CDF，∠EBC＝∠FCD，

设∠BAE＝α，

∵AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣α）＝90°﹣，

∴∠EBC＝90°﹣﹣60°＝30°﹣，

∵∠BAC＝60°，

∴∠EAC＝60°﹣α，

∵AE＝AC，

∴∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣60°+α）＝60°+，

∴∠ECB＝60°+﹣60°＝，

∴∠QEC＝∠EBC+∠ECB＝30°﹣+＝30°，

∴∠QFC＝∠FDC+∠FCD＝30°，

∵CQ＝CF，

∴∠QFC＝∠CQF＝30°，

∵∠EBC＝∠CDF＝30°，

∴∠BQD＝360°﹣120°﹣60°﹣60°﹣30°＝90°，

∴∠EQC＝90°﹣30°＝60°，

∴∠QCE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

∴CE2+CQ2＝EQ2，

∵CE＝DF，CQ＝CF，

∴DF2+CF2＝EQ2；

②如图，连接EF，过点A作AP⊥EF于点P，

∵∠EAF＝60°，AE＝AF＝6，

∴△AEF是等边三角形，

∴EF＝AE＝6，

∴AP＝3，

∴S△AEF＝EF•AP＝6×3＝9，

∵四边形AEQF的面积＝S△AEF+S△EFQ＝9+S△EFQ，

∴当△EFQ的面积最大时，四边形AEQF的面积最大，

∵∠EQF＝90°，

∴当EQ＝FQ时，即由EQ，FQ为边组成正方形时，△EFQ的面积最大，

∵EF是由EQ，FQ为边组成正方形的对角线，

∴正方形面积为EF2＝18，

∴△EFQ的最大面积＝×18＝9，

∴四边形AEQF的面积＝S△AEF+S△EFQ＝9+9．

∴四边形AEQF的面积有最大值，最大值为9+9．

【点评】本题属于四边形的综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是综合运用菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质．