2021-2022学年武汉市高三九月调考数学答案

数学试卷参及评分标准

选择题：题号1234567101112答案

D

C

B

C

B

A

A

B

BCD

BCD

ACD

AB

填空题：

13.3

414.15

-15.3

16.

3

24解答题：

17.（10分）解：

（1）当1=n 时，111a a -=，∴2

11=

a .当2≥n 时，n n a S -=1，11)1(1----=n n a n S .两式相减得：n n n na a n a --=-1)1(，即

)2(1

1

1≥+-=-n n n a a n n .)

1(2

121112534231211213423121+⋅⋅=+-⋅-⋅⋯⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋅

=n n n n n n a a a a a a a a a a a a n-n n-n-n .又211=

a 也满足上式，∴)

1(1+=n n a n .………………5分

（2）令n n n n n a a b n

n

n n n 4)12(22)12(1)(1)(221212=++--=-+-=

--.44)1(41=-+=-+n n b b n n ，∴数列}{n b 为等差数列.)1(22

)

44(2)(13212+=+=+=

+++=n n n n b b n b b b b T n n n .………………10分

18.（12分）解：

（1）延长CB ，交DA 的延长线于点G ，由AB ∥CD ，且

CD AB 2

1

=

，∴B 为GC 中点.又H 为FC 中点，∴BH ∥GF .

∵⊂FG 平面ADEF ,BH ⊄平面ADEF .∴BH ∥平面ADEF .………………6分

（2）以D 为坐标原点，DE DC DA ,,的方向为z y x ,,轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则有：)1,0,1(),1,0,0(),0,2,0(),0,1,1(F E C B .

设平面BCF 的法向量),,(111z y x n =，)0,1,1(-=BC ，)1,2,1(-=CF .

⎪⎩⎪⎨

⎧=+-=⋅=+-=⋅0

20

11111z y x CF n y x BC n ，取)1,1,1(=n .设平面EFC 的法向量),,(222z y x m =，)1,2,0(-=CE .

⎪⎩⎪⎨

⎧=+-=⋅=+-=⋅020

222222z y x CF n z y CE n ，取)2,1,0(=m .535321|

|||,cos =⋅+=

⋅>=

<∴n m n m n m ，510

)5

3(1,sin 2=->=所以二面角E CF B --大小的正弦值为

5

10

.………………12分

19.（12分）解：

（1）在三角形ABD 中，由正弦定理得：

DBA

AD

BAD BD ∠=∠sin sin .

得：53530sin 6sin sin =︒=∠⋅=

∠BD BAD AD DBA ，5

4

)53(1cos 2±=-±=∠DBA .

∵ABC DBA ∠<∠，∴2

2

135cos cos -=︒>∠DBA .故54cos -

=∠DBA 不符合题意，∴5

4cos =∠DBA .………………6分

（2）10

2

53225422)cos(cos -=⋅+⋅-

=∠-∠=∠DBA ABC DBC .在三角形BCD 中，DBC BD BC BD BC CD ∠⋅⋅-+=cos 22210

2

52322518⋅

⋅⋅++=.∴7=CD .

(12)

分

20.（12分）解：

（1）设“结果中有‘建’字”为事件A ，“结果中有‘党’字”为事件B .

所求事件概率=P )]

()()([1)(1)(1)(B A P B P A P B A P AB P AB P -+-=+-=-=128

55

]42(43()43[(1444=-+-=.

………………6分

（2）X 可能的取值为：4321，，.

256

24

4)1(44

4===A X P ；

256180

4)2(424243424=+==C C A C X P ；

258

4)3(42

434===A C X P ；

256

4

4)4(414===C X P .

∴8

1725425832561802256241=⨯+⨯+⨯+⨯

=EX .………………12分

21.（12分）解：

（1）0=a 时，1ln )2(2)(--=x x x f .

2

(ln 2)('x

x x x f -+

=，1)1(-=f ，2)1('-=f .∴曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为：)1()1)(1('f x f y +-=.整理得：012=-+y x .………………4分

（2）由0)1(≥f ，得：1≥a .

当1≥a 时，1ln )2(2)(2

-+-≥x x x x f .令1ln )2(2)(2

-+-=x x x x h ，)12

(ln 22)2(ln 2)('+-+=+-+=x

x x x x x x x h .令)(')(x h x t =，02

11(

2)('2>++=x

x x t ，∴)('x h 在),0(+∞上单调递增.∵0)1('=h ，∴0x 时，0)('>x h ，)(x h 单调递增.故0)1()(=≥h x h ，此时0)()(≥≥x h x f ，满足条件.综上所述，1≥a .

………………12分

22.解：（1）由题意，

3)

()1()

1(=-----b b ，解得2=b .

设椭圆半焦距为c ，则22=a c ，即21122=-a b ，解得82

=a .

∴椭圆的标准方程为14

822=+y x .………………4分

（2）设),(),,(2211y x N y x M ,),(),,(Q Q P P y x Q y x P ，直线MN 方程为11-=x k y .

方法一：

直线BM 方程为22

1

1+-=

x x y y ，与1)1(22=-+y x 联立.得0)2(2))2((112

2

12

1=-+-+x y x x y x .由0≠P x ，解得2

12111)

2()

2(2-+--=

y x y x x P .又1482

12

1=+y x ，即2

12128y x -=，代入上式，得62)2()4(2)2(211212

111+=-+---=y x y y y x x P .6

16

422111+-=+-=

y x x y y P P .即点)61 ,62(

111+-+y y x P ，同理，点)6

16

4 ,62(222+-+y y x Q .6

262)

16

16

4(161(2211212+-

++--+-=

--=

y x y x y y x x y y k Q

P Q P 2

112212166)(8x x y x y x y y -+--=

.将1,1212111-=-=x k y x k y 代入上式.得)(5)

(8)(6)1()1()(821211211122112112x x x x k x x x k x x k x x x k k --=-+----=.

即1258k k =

，∴5

8=λ.………………12分

方法二：

11-=x k y 与1482

2=+

y x 联立得：0)12(1221=--+x k x k ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

+-=+=+126

124212121

121k x x k k x x .22111122113322x x k x x k x y x y k k BN BM -+-=-+-=

+12

12114)

(32k x x x x k =+-=.2121112211)3)(3(22x x x k x k x y x y k k BN

BM --=

-⋅-=2

1211212

19

)(3x x x x k x x k ++-=2

3

6)12(91262

12

12

1-=-++--=k k k .

设直线PQ 方程为t x k y +=2，与1)1(2

2

=-+y x 联立得：0)2()1(2)1(22

2

2=-+-++t t x t k x k .

则⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

+-=+--=+1)2(1)1(222222k t t x x k t k x x Q P Q P

.

Q Q P P Q Q P P BQ BP x t x k x t x k x y x y k k 2

22222-++-+=-+-=

+Q P Q P x x x x t k ))(2(22+-+=t

k t t t t k k 2

222)2()1)(2(22=

----

=.Q P Q P Q Q P P BQ

BP x x t x k t x k x y x y k k )2)(2(2222-+-+=

-⋅-=Q P Q P Q P x x t x x t k x x k 2

22

2)

2())(2(-++-+=)2()2)(1()1)(2(2)2(22

22

22

2--++----=

t t t k t t k t t k t t k t k t k )2)(1()1(22

22

22

2-++--=t t 2

-=.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+BQ

BP BN BM BQ

BP BN BM k k k k k k k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=t t t k k 2232421，解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==125854

k

k t .

∴5

8

=

λ.………………12分