2011年高考理科数学试题(浙江卷)详细答案

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数,则实数=

    A．-4或-2        B．-4或2        C．-2或4        D．-2或2

2．把复数的共轭复数记作，i为虚数单位，若=

    A．3-i        B．3+i        C．1+3i      D．3

3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

4．下列命题中错误的是        

    A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面

    B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

    C．如果平面，平面，，那么

    D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

5．设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是

    A．14         B．16        C．17        D．19

6．若，，，，则

    A．        B．        C．       D． 

7．若为实数，则“”是的

    A．充分而不必要条件             B．必要而不充分条件

    C．充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件

8．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则

    A．       B．       C．       D． 

9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率

    A．              B．             C．               D

10．设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）．记集合S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是

    A． =1且=0              B． 

    C． =2且=2                D． =2且=3

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分

11．若函数为偶函数，则实数  =        。

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是        。

13．设二项式（x-）6（a>0）的展开式中X的系数为A,常数项为B，

若B=4A，则a的值是        。

14．若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的

平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是        。

15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙丙公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量X的数学期望

16．设为实数，若则的最大值是          ．。

17．设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是        ．

三、解答题;本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在中，角所对的边分别为a,b,c．

已知且．

（Ⅰ）当时，求的值；

（Ⅱ）若角为锐角，求p的取值范围；

19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列

（1）求数列的通项公式及

（2）记，，当时，试比较与的大小．

20．（本题满分15分）

如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

21．（本题满分15分）

已知抛物线:＝，圆:的圆心为点M

（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程

22．（本题满分14分）

    设函数

   （I）若的极值点，求实数；

   （II）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立，注：为自然对数的底数。

2011浙江理科数学 参

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

BADDBCACBD

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

11．0  12．5  13．2  14．  15．  16．  17． 

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

18．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

   （I）解：由题设并利用正弦定理，得

解得

   （II）解：由余弦定理， 

因为，

由题设知

19．本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分14分。

   （I）解：设等差数列的公差为d，由

得

因为，所以所以

（II）解：因为，所以

因为，所以

当，

即

所以，当

当

20．本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

方法一：

   （I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，

建立空间直角坐标系O—xyz

则，

，由此可得，所以

，即

（II）解：设

设平面BMC的法向量，

平面APC的法向量

由

得

即

由即

得

由

解得，故AM=3。

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

方法二：

（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得

又平面ABC，得

因为，所以平面PAD，

故

（II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM，

由（I）中知，得平面BMC，

又平面APC，所以平面BMC平面APC。

在

在，

在

所以

在

又

从而PM，所以AM=PA-PM=3。

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

   （I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 

所以圆心M（0，4）到准线的距离是

（II）解：设，

则题意得，

设过点P的圆C2的切线方程为，

即        ①

则

即，

设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以

将①代入

由于是此方程的根，

故，所以

由，得，

解得

即点P的坐标为，

所以直线的方程为

22．本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。

   （I）解：求导得

因为的极值点，

所以

解得经检验，符合题意，

所以

（II）解：①当时，对于任意的实数a，恒有成立；

②当时，由题意，首先有，

解得，

由（I）知

令

且

又内单调递增

所以函数内有唯一零点，

记此零点为

从而，当时， 

当

当时， 

即内单调递增，在内单调递减，

在内单调递增。

所以要使恒成立，只要

成立。

由，知

        （3）

将（3）代入（1）得

又，注意到函数内单调递增，

故。

再由（3）以及函数内单调递增，可得

由（2）解得， 

所以

综上，a的取值范围是