2022年全国乙卷数学(理科)高考真题原卷

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

数学（理科）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M

∈B ．3M

∈C ．4M

∉D ．5M

∉2．已知12i z =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2

a b ==-B ．1,2

a b =-=C ．1,2

a b ==D ．1,2

a b =-=-3．已知向量,a b

满足||1,||2|3==-=a b a b ，则⋅=a b （）

A ．2

-B ．1

-C ．1

D ．2

4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：11

1

1b α=+

，

212

1

11

b αα=+

+

，3123

1

11

1

b ααα=+

+

+

，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）

A ．15b b <

B ．38

b b b b b b <5．设F 为抛物线2

:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若||||AF BF =，则||AB =（）A ．2

B

．C ．3

D

．6．执行下边的程序框图，输出的n =（）

B ．4

C ．5

D ．6

7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（）A ．平面1B EF ⊥平面1BDD B ．平面1B EF ⊥平面1A BD C ．平面1B EF ∥平面1A AC

D ．平面1B EF ∥平面11A C D

8．已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A ．14

B ．12

C ．6

D ．3

9．已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A ．

13

B ．

12

C ．

33

D ．

22

10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（）A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大

D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大

11．双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123

cos 5

F NF ∠=

，则C 的离心率为（）

A ．

52

B ．

32

C ．

2

D ．

172

12．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若

()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则22

1

()k f k ==∑（）

A ．21-

B ．22-

C ．23-

D ．24

-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．

从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．14．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．15．记函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕ=+><<π的最小正周期为T ，若3()2f T =

，9

x π

=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．

16．己知1x x =和2x x =分别是函数2

()2e x

f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．17．（12分）

记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．（1）证明：2

2

2

2a b c =+；（2）若25

5,cos 31

a A ==，求ABC △的周长．18．（2分）

如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．

（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；

（2）设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面

ABD 所成的角的正弦值．

19．（12分）

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3

m ），得到如下数据：

样本号i 123456710总和根部横截面积i

x 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量i

y 0.25

0.40

0.22

0.54

0.51

0.34

0.36

0.46

0.42

0.40

3.9

并计算得

10

10

10

22

i

i

i i i=1

i=1

i=1

0.038, 1.6158,0.2474x

y x y ===∑∑∑．

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2

186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

附：相关系数i

=1

22

=1

=1

()()

1.617()

7().3n

i

i n n

i

i

i i x x y y r x x y y -=

-≈--∑∑∑．

20．（12分）

已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫

⎪⎝⎭

两点．

（1）求E 的方程；

（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，

点H 满足MT TH =

．证明：直线HN 过定点．

21．（12分）

已知函数()()ln 1e

x

f x x ax -=++.

（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．

（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2sin x t y t

⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m ⎛⎫

⎪⎝=⎭

π++ρθ．（1）写出l 的直角坐标方程；

（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知a ，b ，c 都是正数，且3

332

2

2

1a b c ++=，证明：（1）19

abc ≤

；（2）

a b c b c a c a b ++≤+++．