圆锥曲线单元测试题(附答案)

高二年级 班 学号 姓名

一、选择题(每题3分)

1)如果实数y x ,满足等式3)2(2

2

=+-y x ，那么

x

y

的最大值是（ ） A 、

2

1

B 、33

C 、23

D 、3

2)若直线01)1(=+++y x a 与圆022

2=-+x y x 相切，则a 的值为（ ）

A 、1,1-

B 、2,2-

C 、1

D 、1-

3)已知椭圆1252

22=+y a

x )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）（A ）10 （B ）20 （C ）241（D ） 414 4)椭圆

136

1002

2=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）8

5)椭圆

19

252

2=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）（A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）8

6)椭圆14

162

2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） （A ）3（B ）11（C ）22（D ）10

7)以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ）

（A ）22

2

=-y x （B ）22

2

=-x y

（C ）42

2

=-y x 或42

2=-x y （D ）22

2

=-y x 或22

2

=-x y

8)双曲线19

162

2=-y x 右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为（ ） （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12

9)过双曲线82

2=-y x 的右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为（ ）（A ）28 （B ）2814-（C ）2814+（D ）28

10)双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F 1、F 2，︒=∠12021MF F ，则双曲线的离心率为（ ）（A ）3（B ）

26（C ）36（D ）3

3

11)过抛物线2

y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则

11

p q

+等于（ ） （A ）2a （B ）12a （C ）4a （D ）4

a

12) 如果椭圆

19

362

2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） （A ）02=-y x （B ）042=-+y x （C ）01232=-+y x （D ）082=-+y x

二、填空题(每题4分)

13)与椭圆22

143

x y +=具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是 22186x y +=或22

3412525

y x +=。 14）离心率35=e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是

22

91520

x y +=。 15）过抛物线2

2y px =（p>0）的焦点F 作一直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，作PP 1、QQ 1

垂直于抛物线的准线，垂足分别是P 1、Q 1，已知线段PF 、QF 的长度分别是a 、b ，那么|P 1Q 1|=

16)若直线l 过抛物线2

y ax =(a>0)的焦点，并且与y 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a=1

4

。

三、解答题

17) 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。(8分)

解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:

2

219x y +=.联立方程组22

192

x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得, 2

1036270x x ++=. 设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y )那么: 12185

x x +=-,0x =129

25x x +=

所以0y =0x +2=1

5

.

也就是说线段AB 中点坐标为(-95,1

5

).

18) 已知双曲线与椭圆

125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为5

14，求双曲线方程.(10分)解:由于椭圆焦点为F(0,±4),离心率为e=4

5

,所以双曲线的焦点为F(0,±4),离心率为

2,

从而

所以求双曲线方程为:

22

1412

y x -=.

19) 抛物线x y 22

=上的一点P(x , y)到点A(a,0)(a ∈R)的距离的最小值记为)(a f ，求

)(a f 的表达式(10分)

解:由于x y 22

=,而

=

=

其中x 0≥ (1)a ≤1时,当且仅当x=0时, )(a f =|PA|min =|a|. (2)a>时, 当且仅当x=a-1时, )(a f =|PA|min

. 所以)(a f

=||,1

1

a a a ≤⎧⎪>.

20)求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为3

3

8的双曲线方程。(10分)

解:设双曲线方程为x 2-4y 2=λ.

联立方程组得: 22x -4y =30

x y λ

⎧⎨--=⎩,消去y 得，3x 2-24x+(36+λ)=0

设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(11,x y ),B(22,x y )，那么：12122

83632412(36)0x x x x λλ+=⎧

⎪+⎪

=

⎨⎪∆=-+>⎪⎩ 那么：

解得: λ=4,所以，所求双曲线方程是：2

214

x y -=

21）已知直线y=ax+1与双曲线3x 2-y 2

=1交于A 、B 两点，（1）若以AB 线段为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值。（2）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线1

2

y x =对称？说明理由。(10分)

解：（1）联立方程223x -y =1

1

y ax ⎧⎨=+⎩，消去y 得：（3-a 2）x 2-2ax-2=0.

设A(11,x y ),B(22,

x y ),那么：122

122

22

2323(2)8(3)0a x x a x x a a a ⎧

+=⎪-⎪⎪

=-⎨

-⎪∆=+->⎪⎪⎩

。

由于以AB 线段为直径的圆经过原点，那么：OA OB ⊥，即12120x x y y +=。

所以：1212(1)(1)0x x ax ax +++=，得到：2222

22(1)10,633a a a a a

a

-+⨯+⨯+=<--，解得a=1±

(2)假定存在这样的a ，使A(11,x y ),B(22,x y )关于直线1

2

y x =

对称。 那么：221122

22

3x -y =13x -y =1⎧⎨⎩，两式相减得：2222

12123(x -x )=y -y ，从而12121212y -y 3(x +x )=.......(*)x -x y +y 因为A(11,x y ),B(22,x y )关于直线12y x =对称，所以12121212y +y 1x +x =2

22y -y 2x -x ⎧⨯⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

代入（*）式得到：-2=6，矛盾。

也就是说：不存在这样的a ，使A(11,x y ),B(22,x y )关于直线1

2

y x =

对称。