函数的极值与导数

尊敬的各位领导、老师们：

大家好！很荣幸能有如此宝贵的机会向大家汇报我参加本次青年教师素质大赛的过程以及我自己的收获。由于我自己水平有限，对很多教学问题的思考和理解肯定不到位，不全面，真诚希望在座的专家、前辈能给予我最大的包容，多提宝贵意见，让我在大家的帮助下提高自己的业务水平！

一、自主备课的过程：

10月16日（周四）从区教育局领取了作课题目为《函数的极值与导数》，授课时间为10月22日下午第三节，共有5天备课时间。在回学校的路上我想起来9月份在42中举行的省评优课中恰好有一个老师做过这节课的说课，我心中暗自高兴有这么一个现成的备课资源。于是，回到单位后我马上拿出省评优课的光盘找到了这一节说课，认真研究。（实际上老师们都知道任何一节课的备课都应该从研究教材、教参开始，所以其实这个时候我自己已经犯了一个备课过程中不应有的错误，虽然，说课中也有教材分析，但当我拿到一节完整的说课视频时，我不自觉的把注意力放在了具体的教学过程上，而忽视了对教材的分析研究，导致我后来的备课绕了一个大弯路。）

这节课的说课教师是秦皇岛一中的吴丹丹，她的教学设计最大的一个特点是创设问题情境，从高台跳水和冲浪运动中抽象出函数图像，引导学生观察图像直接给出了函数极值的定义，之后再引导学生通过探究活动发现极值点附近导数的变化规律，这与我们使用的人教版教材的知识呈现顺序是完全不同的，人教版教材其实是把极值点附近导数的变化规律纳入到函数极值概念之中的（由于我们高中数学不涉及连续、可导等概念，所以教材针对高中数学只研究可导函数的实际，这样定义函数的极值，对于强调导数研究函数的重要性是非常有好处的），但是当时我并未认识到这一点，只觉得这仅仅是一个顺序上的差异，而且我自己更倾向于这节说课的顺序，但是我自己又不敢轻易的否定教材， 于是我又翻阅了北师大版和苏教版的教材，发现吴丹丹的教学设计原来是参照了北师大版的教材，而且苏教版的教材也是这样。如此一来，我更加坚定了自己的判断，于是，参照这节说课的设计，我很快便完成了教学设计的初稿（教学过程部分），设计了5个教学环节：（一）创设情境，引出概念；（二）、合作探究，深化概念；（三）、例题解析，总结方法；（四）、即时训练，深入探究；（五）、归纳小结，反思收获。（幻灯片展示）

（一）、创设情境，引出概念

1、以滑雪运动为话题引出问题，充分调动学生的积极性，让学生初步感受极值，为引出准确的极值概念做准备。（在问题情境的创设上，我花费了不少的精力，高台跳水和冲浪是两个很好的情境，但我又想跳出别人的想法，我想到了滑雪轨迹、声音波形图、“沙漠之舟”骆驼的体温变化曲线、股票变化曲线、乒乓球弹地轨迹等等很多与函数极值有所关联的情境，但自己又觉得这些实际问题都不是特别契合极值的特征，不敢贸然使用，因为使用生搬硬套的问题情境还不如不用，几经犹豫，在第一次试讲之前我暂定以滑雪运动作为问题情境引入，但其实心里还做着再修改的打算。）

2、引导学生观察函数的图象，思考：

函数在、点的函数值与它们附近的函数值有什么关系?

3、教师根据学生回答给出函数极大值、极大值点的定义：

一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近所有点，都有，我们就说是函数的一个极大值，称为极大值点。

4、教师引导学生参照极大值、极大值点的定义说出极小值、极小值点的定义：

一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近所有点，都有，我们就说是函数的一个极小值，称为极小值点。

5、教师总结点评，给出极值、极值点的定义：

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

6、引导学生观察图1.3-11，回答以下问题：

（1）找出图中的极值点，并说明哪些点为极

大值点，哪些点为极小值点？

（2）极大值一定大于极小值吗？                            

学生思考，得出结论：

   极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质。

（二）、合作探究，深化概念

1、问题设置：给定函数，我们应该如何寻找它的极值点，进而求出极值呢？

组织让学生讨论思考，必要时教师加以引导：由极值定义可知极值点是函数增减区间的分界点，而函数的增减性又与其导函数的符号密切相关，所以我们不难想到去观察极值点附近导数的符号变化。

（当时我自己从思想上已经把导数从极值概念中彻底抽离出来，把导数定位成寻找函数极值点，进而求出函数极值的工具，基于此我设置了这样一个探究问题，意图是学生在教师引导下总结出利用导数寻找可导函数极值点的一般方法。）

1、学生自主完成例4：求函数的极值。

例4：求函数的极值。

解:∵∴

令,解得,或

下面分两种情况讨论:

（1）当,即,或时；

（2）当,即时；

当变化时, ,的变化情况如下表:

当时,有极小值，且极小值为。

2、教师总结点评学生解答，规范步骤。

3、教师引导学生归纳出求函数极值的一般方法步骤：

求，解方程，当时：

（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；

  （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值。

（四）、即时训练，深入探究：

1、学生自主解答，巩固用导数求函数极值基本步骤的同时发现新问题。

即时训练：求函数的极值。

解:∵∴

令,解得,

当变化时, ,的变化情况如下表:

2、通过研究，学生得出结论：函数在一点导数值为0是函数在该点取得极值的必要条件，

而非充分条件。

（五）、归纳小结，反思收获

教师引导学生从知识层面和思想方法层面总结本节课的收获。

1、知识上：函数极值、极值点的概念；用导数求函数极值的方法；导数值为0与极值

点的关系。

2、思想方法上：数形结合思想，导数是研究函数的工具。

二、第一次试讲及议课过程：

10月17日（周五）上午第二节课我在我们学校高三理科班做第一次试讲，我们学校数学组所有老师参与听课，虽然是高三学生，但是试讲过程并不像我所想象的那么顺利，我们学校45分钟的课，而且是面对高三学生，课竟然没有讲完，只讲到了例4。议课时，老师们给我提出了一大堆问题：1、轻易的否定教材的顺序是否可行？ 2、“滑雪”作为问题情境不是特别契合教学内容； 3、教学语言不够准确、精炼；4、时间的控制等等。针对大家提出的问题，在18、19日（周六、周日）两天，我自己先解决我自己能解决的问题：1、按照现有的教学设计书写详案，逐字逐句斟酌每一个问题的表述，每一句过渡语；2、再考虑寻找合适的问题情境；3、自己给自己讲课，讲课时间。经过两天的研究、思考，苦于没有我自己认为合适的问题情境（其实是没有考虑清楚情境与极值概念之间的本质联系）在周一试讲之前，我下决心改为复习引入，设置了一个3次函数让学生求其单调区间，并做出其大致图像，然后再引导学生观察图像引出极值定义，而对于教学设计的“顺序”问题我依然坚持我自己的想法，未做改动。（现在回头想想，这两天的备课其实我唯一的收获就是通过写详案锤炼了教学语言，而对教学设计的改动是失败的，原因在于我忽视了对教材及教参的深入研究与思考，没有从整节、整章全局的高度去认识极值的概念，只是一味片面的想从课的某一个点去吸引别人的眼球。）

三、第二次试讲及议课过程：

10月20日（周一）下午，我们学校马晓峰主任、数学组组长赵恩老师陪我到22中做第二次试讲，王发成校长还召集了我们工作室的三位老师：22中的董松艳老师、12中的李晓辉老师、45中的韩志策老师，他们共同参与观课、议课，帮我准备。现在回想起来也不知道是什么原因，反正当时出奇的紧张，课上的很失败。议课时王校长对我的课给予了全盘否定，从教学设计到我个人的授课状态大家都提出了很多问题：

1、教学设计方面：

1他要求我再认真研究教材、教参，理清极值与导数的关系；（王校长原话：想想课题为什么不叫函数的极值，而叫函数的极值与导数？

2高台跳水是教材整章的总问题情境，不应该为了“出新”就舍弃；（极值点是函数的关键点，函数是描述事物运动变化规律的数学模型，也就是说极值点是事物运动变化过程中的关键点，它是有实际意义的，从实际问题引入是最佳的。）

3教材对于极值概念的教学采取的是概念形成的路径，即：从实例出发，再由特殊到一般，以学生感性经验为基础，形成表象，归纳、抽象、概括出极值概念，而且极值点附近导数的变化规律是纳入极值概念之中的，这样的设计能有效的引导学生生成概念，而我的教学设计表面上看与教材只是一个知识呈现顺序的区别，本质上则是我自己对教材中极值概念理解的不深刻。

4对于极值概念的理解与把握，除了极值刻画的是函数的局部性质之外，还需要注意：极值点与极值的区别；函数的极值可能不止一个，函数的极值点一定在区间的内部。

5对于我通过变式训练引出导数值为零点不一定是函数极值点这一教学难点的处理，王校长认为有与例4重复的问题，他主张在这里设置开放性的问题，充分调动学生积极性去寻找导数值为零但不是极值点的实例，教学效果会更好。

6 可以考虑让学生根据原函数图像画导函数草图，根据导函数图像画原函数草图。

7课堂小结可以尝试让学生完成如下表格：

1教师的位置移动，应该适时走到学生中间去，特别是在小组讨论时；

2教学语言需要进一步规范；

3板书设计及板书的时机；

4评价语要多样化，不能永远是一句“很好”。

其实还有很多问题，我自己现在都记不太清了，但是我还记得大家伙怕说的太狠，把我打击坏了，议课最后又鼓励我说课还是有很多亮点的，稍加改进就好！我心里想：基本上得重新备了！但是从我内心来说，真的是对王校长他们毫无保留的帮助感激不尽。

议完课已经晚上7:00，马晓峰主任对我和赵恩老师说：别吃饭了，咱们赶紧回学校备课吧！他很着急！ 回到学校，我们又继续研讨，马主任帮我把刚才大家提出的意见梳理清楚，定了一个大的方向：严格按照教材的内容编排去设计课。

晚上，我自己认真整理大家的意见，反思自己的问题，再去仔细的阅读教材、教参，突然意识到最好的教学设计就在教材之中。熬了半宿，我完成了教学设计的第二稿，也就是我最后参赛上课的教学设计。这一次我静下心来，严格按照备课流程，先做教材分析、学情分析，确定教学目标、教学重难点，教法、学法分析，然后开始考虑教学流程，设计教学的每一环节。

21日（周二）上午在我们学校高二做了第三次试讲，赵恩老师为了让我能用新生试讲一次，特意在她们班赶了进度，我们学校徐秀林校长、马晓峰主任及数学组全体老师参与观课、议课，新的教学设计取得了较好的试讲效果，课进行的比较顺利，虽然还是没有在35分钟内完成，但误差不大，学生积极地参与也给了我自信。议课中，大家对课的整体思路都给予了肯定，主要还是是针对我自己的教学语言、评价方式等提出了一些改进意见，尽管大家知道这些一时半会儿也不容易改过来。通过这次试讲我自己的紧张也得到了缓解，有了些许自信。

下面我就结合最后在一中上课的实际情况给大家说说这节课：

一、教材分析：

本节课是人教A版数学选修2-2第一章第三节《导数在研究函数中的应用》第二课时《函数的极值与导数》的内容。导数是研究函数单调性、变化率、最值等问题最一般、最有效的工具。本节是在研究了函数单调性与导数关系的基础上继续研究导数在研究函数极值中的应用，同时也为后面学习函数的最值打下坚实的基础，因此，本节内容具有承上启下的重要作用。（可惜的是我虽然知道导数是研究函数的重要工具，但在最后的授课中却没有向学生强调这一点）

二、学情分析：

此前的学习中，学生对基本初等函数的认识主要以一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等为载体，而这些函数多数为单调函数（在整个定义域内或在定义域内若干子区间上），只有二次函数、正弦函数、余弦函数存在极值，但它们同时也是函数在整个定义域内的最值，因此学生在理解极值概念时会容易联系到最值的概念。基于此，在教学中要特别注意引导学生深刻理解极值的概念，辨析其与最值的区别。另外，如何引导学生用导数去寻找函数的极值点是本节课另一个关键，教师应该充分利用上节课学生用导数研究函数单调性的经验，引导学生学会运用导数工具求函数极值，培养学生用导数研究函数的意识。（我自己注意到了学生的数学经验，但却忽视了对学生而言更重要的生活经验，其实根源在于对极值概念的实际背景、实际意义理解不到位，在备课中我确实想到了一些，比如我们为什么要关注跳水运动员起跳的最高点，因为他跳的越高，越利用他后面完成整套动作，但我自己却并未将这些传递给学生，一厢情愿的带着学生开始研究函数极值，却没有告诉学生为什么要引入这一概念，没有让学生明白极值对我们实际生活是有帮助的、有意义的。）

三、教学目标：

1、知识与技能

（1）掌握函数极值的概念，会通过函数图像直观感知、理解函数的极值与导数的关系。

（2）掌握利用导数求函数极值的一般方法。

（3）了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

2、过程与方法

（1）通过结合实例，借助函数图象直观感知，培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。

（2）通过学生自主探究，培养学生分析问题、解决问题的能力，感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，强化数形结合思想。

3、情感态度与价值观

（1）通过观察函数图像特征得出结论培养学生细心观察的良好学习习惯。

（2）通过对函数极值的研究提高学生分析问题、解决问题的能力。

（3）通过本节课学习培养学生思维的开放性、有效性、严密性。

三、教学重点：理解极值的概念，利用导数求函数极值的方法。

四、教学难点：理解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件。

五、教法分析：

遵循以教师为主导，以学生为主体的教学规律，充分调动学生的积极性，让学生自主学习。通过教师的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究、小组讨论去发现和接受新知识。

六、学法分析：学生观察、思考、讨论、探究。

七、教学过程：

 （一）、创设情境，引出概念

1、以高台跳水为话题引出问题，充分调动学生的积极性，让学生初步感受极值，为引出准确的极值概念做准备。

2、引导学生观察函数的图象，思考：函数在点的导数值是多少？

3、学生可能从图像直观感知点处切线平行于x轴，从而得到。教师适当引导学生可以从点附近函数值以及导函数的变化情况进行分析。  

   学生得出结论：在t = a附近，函数值先增（ta时，）.

   这样，当t 在 a的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有

。（教师在学生回答过程中及时引导、补充）

（从一开始备课就憋着劲要把教材的问题情境换掉到最后绕了一大圈又回到教材，我个人乐观的认为我花费精力寻找各种问题情境又放弃的过程绝对不是做无用功，至少我通过这个过程深刻的认识到了教材上问题情境的真正价值）

（二）、合作探究，生成概念

1、教师过渡：对于一般的函数，是否也有同样的性质呢？（由特殊到一般）

2、组织学生分组思考讨论教材27页“探究”，先研究b、d、f、h四个点（学生有了问题情境中a点的研究经验，可以较顺利的通过自主探究完成任务）

3、学生以b点为例回答探究成果，教师将学生所得结论板书于表格中：

5、教师引导学生类比b、d、f、h的情形研究a、c、e、g四个点（类比思想的渗透）。

6、学生以a点为例回答探究成果，教师将学生所得结论板书于表格中：

我们把点a叫做函数的极大值点，把叫做函数的极大值（生成定义）。

8、教师总结点评，给出极值、极值点的定义：

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

（这一环节的设计我对教材稍加改动，将极大值与极小值分组让学生探究，引导学生运用类比思想根据极大值、极大值点的概念轻松得到极小值、极小值点的定义。）

（三）、辨析研讨，深化概念

1、引导学生观察图1.3-10、1.3-11，辨析以下问题：（判断命题真假）

（1）图1.3-11中的d是函数的极大值； 

（2）函数的极大值就是函数的最大值；

（3）函数的极大值一定大于极小值；                            

（4）函数的极小值（或极大值）可能不止一个。

2、学生思考、辨析、回答，得出结论：

   极值点不是点，指的是“高点”或“低点”的横坐标得值，极值是纵坐标的值；

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；

函数的极大值和极小值之间没有确定的大小关系；

函数的极值可能不止一个。

（这一环节的设计，当时大家的意见是设置一个开放性问题：请大家再思考函数的极值、极值点还有什么特征？我自己出于时间紧张的考虑，选择了设置几个具有导向性的问题来加深学生对极值概念的理解。）

（四）、例题解析，总结方法

1、学生自主完成例4：求函数的极值。

例4：求函数的极值。

解:∵∴

令,解得,或

下面分两种情况讨论:

（1）当,即,或时；

（2）当,即时；

当变化时, ,的变化情况如下表:

当时,有极小值，且极小值为。

函数的图象如右：

2、学生用实物投影展示并讲解自己的解答过程，

其他同学补充完善，教师引导规范步骤。

3、教师引导学生归纳出求函数极值

的一般方法步骤：

（1）求函数定义域（教师后补充）；

（2）求；

  （3）解方程；

（4）列表讨论当变化时，、的变化情况；

（5）确定极值点，求出极值。

4、教师提问：导数值为0的点一定是极值点吗？

   学生思考回答，教师引导学生举出反例，

通过辨析，得出结论：

某点导数值为0是该点为极值点的必要不充分条件，导数值为0且左右两侧导数值异号才是极值点的充分条件。

（对于这个教学难点的设计，在上课之前我还担心问题过于开放，对学生有一定挑战性，但最后上课时学生完成的非常顺利，这让我自己对“考纲定重点，学生定难点”这句话又有了更深刻的理解，因为我自己“备学生”做的不好，所以在课后答辩时，评委只问了我一个问题“当课堂生成与你的预设产生误差时，你怎么处理？）

（五）、归纳小结，反思收获

教师引导学生从知识层面和思想方法层面总结本节课的收获。

1、知识上：函数极值、极值点的概念；用导数求函数极值的方法；导数值为0与极值

点的关系。

2、思想方法上：数形结合思想，类比思想，导数是研究函数的工具。

（课堂小结没有按照王校长的建议以让学生完成表格的形式去设计，还是出于时间的考虑，如果真按照王校长的建议去设计，课堂小结应该成为课堂的一大亮点）

八、作业布置

1、习题1.3A组第4、5题。

2、思考题：如何求函数在上的最值。

九、板书设计

（板书设计我借鉴了北师大版教材中的这样一个表格呈现形式，我自认为还比较理想，也

不知道对不对）

以上就是我参加本次素质赛的大致过程，其间，我得到了太多人的帮助，借此机会，再次向他们表示由衷的感谢！正是你们的无私帮助，让我在这次参赛过程中收获了很多！在教学中永远没有最好的课，只要潜心研究，你会发现你的教学总可以改进！感谢素质大赛，感谢各位老师，这样一次宝贵的经历，让我发现了自己身上好多缺点，在今后的教学中，我一定铭记各位老师的宝贵建议，钻研业务，努力提高自己！再次感谢大家！谢谢！

 王晓乾

2014/11/22