高一数学立体几何练习题及部分答案大全

一．选择题（每题4分，共40分）

1.已知AB空间，下列命题正确的个数为（ ）

（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形

（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等

A2  3            D  4

3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ）

A  平行 相交 在平面内 平行或在平面内

4.已知直线m过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作（ ）

A  1个 或2个 个或1个 个    D   0个

6.如图,如果菱形所在平面,那么MA与BD的位置关系是(   )

A  平行 垂直相交 异面 相交但不垂直                                         

7.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（  ）

A  0个       B   1个 无数个        D   1个或无数个

8.下列条件中,能判断两个平面平行的是(   )

A  一个平面内的一条直线平行于另一个平面;

B  一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C  一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D  一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

9.对于直线,和平面,使成立的一个条件是(   )

A 

C 

10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有(   )

A个 个   C   3个 个

二．填空题（每题4分，共16分）

11.已知ABC的两边AC,BC分别交平面于点M,N，设直线AB与平面交于点O，则点O与直线MN的位置关系为_________

12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有

_____________条

13.一块西瓜切3刀最多能切_________块

14.将边长是a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得折起后BD得长为a,则三棱锥D-ABC的体积为___________

三、 解答题

15（10分）如图，已知E,F分别是正方形的棱和棱上的点，且。求证：四边形是平行四边形

16（10分）如图，P为所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点，

证明：直线PC与平面ABD垂直

17（12分）如图，正三棱锥A-BCD，底面边长为a，则侧棱长为2a，E,F分别为AC,AD上的动点，求截面周长的最小值和这时E,F的位置.

18（12分）如图，长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c，求长方体对角线的长

答案

1三点共线2无数  无数    3.  7    4    

1证明:

 过作

 又由∥且=

可知

∴四边形是平行四边形

2∵

为的中点

∴

∵

为的中点

∴

∴平面

∴

3提示:沿线剪开 ,则为周长最小值.易求得的值为,则周长最小值为.

4解:

15（10分）如图，已知E,F分别是正方形的棱和棱上的点，且。求证：四边形是平行四边形

6（10分）如图，P为所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点，

证明：直线PC与平面ABD垂直

17（12分）如图，正三棱锥A-BCD，底面边长为a，则侧棱长为2a，E,F分别为AC,AD上的动点，求截面周长的最小值和这时E,F的位置.

18（12分）如图，长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c，求长方体对角线的长

答案

1证明:

 过作

 又由∥且=

可知

∴四边形是平行四边形

4∵

为的中点

∴

∵

为的中点

∴

∴平面

∴

5提示:沿线剪开 ,则为周长最小值.易求得的值为,则周长最小值为.

4解:

高一数学必修2立体几何测试题

试卷满分：100分  考试时间：120分钟

班级___________ 姓名__________  学号_________  分数___________

第Ⅰ卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、线段在平面内，则直线与平面的位置关系是

A、 、 、由线段的长短而定 、以上都不对

2、下列说法正确的是

A、三点确定一个平面 、四边形一定是平面图形    

C、梯形一定是平面图形 、平面和平面有不同在一条直线上的三个交点

3、垂直于同一条直线的两条直线一定

A、平行 、相交 、异面 、以上都有可能

4、在正方体中，下列几种说法正确的是

A、 B、 C、与成角  D、与成角

5、若直线l∥平面，直线，则与的位置关系是

A、l∥a 、与异面 、与相交 、与没有公共点

6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有

A、1、2、3、4

7、在空间四边形各边上分别取四点，如果与能相交于点，那么

 、点不在直线上 、点必在直线BD上

C、点必在平面内 、点必在平面外

8、a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有

 、0个 、1个 、2个 、3个

9、已知二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点C到棱的距离为4，那么的值等于 

A、 、 、 、

10、如图:直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1     和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为

A、 、 、 、

二、填空题（每小题4分，共16分）

11、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是_____

(填”大于、小于或等于”).

12、正方体中，平面和平面的位置关系为           

13、已知垂直平行四边形所在平面，若，平行则四边形一定是           .

14、如图，在直四棱柱A1B1C1 D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A1 B⊥B1 D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)

第Ⅱ卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

11、             12、             13、               14、                              

三、解答题(共54分,要求写出主要的证明、解答过程)

15、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长. (7分)

16、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且ＥＨ∥ＦＧ． 

求证：EH∥BD.  (8分)

17、已知中,面,,求证：面．(8分)

18、一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积与的函数关系式,并求出函数的定义域. (9分)

19、已知正方体，是底对角线的交点.

求证：(１) C1O∥面；(2)面． (10分)

20、已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，

∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

 （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

 （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？ (12分)

高一立体几何试题

一、选择题：(每题5分)

  1.下列说法中正确的个数为                                         （    ）

     ①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台③各个面都是三角形的几何体是三棱锥④以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥⑤棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥⑥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线。

     A.   0            B.  1          C.  2          D.  3

  2. 如图,一几何体的三视图如下：则这个几何体是                     （    ）

     A.   圆柱         B.   空心圆柱  C.   圆        D.   圆锥

3．一梯形的直观图是一个如上图所示的等腰梯形，且梯形OA/B/C/的面积为，则原梯形的面积为                                                     (    )

   A.               B.           C.            D.   

4. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是 （    ）

A．           B          C             D    

5. 一个圆台的上、下底面面积分别是1和49，一个平行底面的截面面积为25，则这个截面与上、下底面的距离之比是                     (    )

A : 1            B. 3: 1            C.  : 1          D.  : 1

6. 长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是                                          （    ）

A.        B.       C.             D. 

  7. 下列命题中正确的个数是 （ ）

①若直线上有无数个点不在平面内，则

②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点

 A.   0            B.  1            C.  2              D.  3

  8. 已知直线，有以下几个判断：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．上述判断中正确的是 （ ）

A.   ①②③        B.  ②③④         C.  ①②④         D.  ①③④

9. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，以下四个命题中正确的序号是（ ）

①与平行．    ②与是异面直线．

③与成角．④与垂直．

A.   ①②③         B.   ③④         

C.   ②④           D.   ②③④

10．在四面体中，分别是的中点，

若，则与所成的角的度数为     （    ）

A．        B．     C．       D．

11. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=，B1B=BC=1，则面BD1C与面AD1D所成二面角的大小为                                                （    ）

A．        B．        C．         D．

12. 蚂蚁搬家都选择最短路线行走，有一只蚂蚁沿棱长分别为

1cm,2cm,3cm的长方体木块的顶点A处沿表面达到顶点B处

（如图所示），这只蚂蚁走的路程是（ ）

A．        B．        C．         D．1+

二、填空题（每题5分）

 13. 半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________________.

14．已知是一对异面直线，且成角，为空间一定点，则在过点的直线中与所成的角为的直线有 条。

15. 三个平面可将空间分成 部分（填出所有可能结果）。

16.如果直线和平面满足∥，∥那么直线的位置关系是    

三．解答题。（17题10分，其余每题12分）

17. 已知：四边形ABCD是空间四边形，E, H分别是边AB，AD的中点，F, G分别是边CB，CD上的点，且,求证 FE和GH的交点在直线AC上.

18. 已知圆台的上、下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面积之和．

（Ⅰ）求该圆台的母线长；（Ⅱ）求该圆台的体积。

19．如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,

F是BE的中点，求证：

（1）FD∥平面ABC;（2）AF⊥平面EDB

20.如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积.

21. 三棱柱中ABC-A1B1C1中,侧棱A1A垂直于底面ABC ，B1C1=A1C1,，AC1⊥A1B,

M,N分别为A1B1,AB中点，求证：

（1）平面AMC1∥平面NB1C

（2）A1B⊥AM．

22如图，在三棱锥中，底面，

点，分别在棱上，且

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明 理由.

.

高一数学必修2立体几何测试题参

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题4分，共16分）

11、小于 、平行 、菱形 、对角线A1C1与B1D1互相垂直

三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）

15、解:设圆台的母线长为,则 分

圆台的上底面面积为 分

 圆台的上底面面积为 分

 所以圆台的底面面积为 分

 又圆台的侧面积 分

于是 分

即为所求.分

16、证明：面，面

∴EH∥面 分

 又面，面面，

∴EH∥BD 分

17、证明：  分

 又面  分

 面 分

  分

 又

面 分

18、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为.

 在Rt△EOF中,   

,分

 所以,分

于是 分

依题意函数的定义域为 分

19、证明：（1）连结，设

连结， 是正方体 是平行四边形

∴A1C1∥AC且  分

又分别是的中点，∴O1C1∥AO且

是平行四边形 分

面，面

∴C1O∥面 分

（2）面  分

又，   分

 分

同理可证， 分

又

面 分

20、证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，

 ∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面A分

 又

 ∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,

 ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面A分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥A分

∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴ 分

由AB2=AE·AC 得 分

故当时，平面BEF⊥平面A分

高一立几复习题（一）

1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”为                  

2．右图所示的直观图，其原来平面图形的面积是           

3．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，

则这个棱柱的侧面积为     。

4．a，b，c分别表示三条直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中不正确命题的有          （填序号）

5．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于         

6.经过一点和一直线垂直的直线有             条；经过一点和一平面垂直的直线有 （）                               条；经过平面外一点和平面平行的直线有            条.

7．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是        

垂直于⊿ABC所在的平面，若AB=AC=13，BC=10，PA=12，则P到BC的距离为            .

9.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=a，AB=b，则AA1到对角面DD1B1B的距离是            .

10.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出的图形的序号是      .

11.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

 （1）.

 （2）m∥β，m⊥n，则n⊥β.

 （3）如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面有且只有一个.

   （4）若

  其中正确的命题是   ▲   .

12.正方体的全面积是6a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是______,体积是_______．

13.正四面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上，则这个四面体的高等于________．

14.棱长为的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值，则这个定值等于_________．

15.某师傅需用合板制作零件，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm) ，图中的水平线与竖线垂直.

（1）作出此零件的直观图；

（2）若按图中尺寸，求做成的零件用去的合板的面积.（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）.

16已知Rt⊿ABC中，∠C=90o，C∈?，AB∥平面?，AB=8，AC、BC与平面?所成角分别30o、60o，求AB到平面?的距离.

17.正三棱锥的高为1，底面边长为，此三棱锥内有一个球和四个面都相切．

（１）求棱锥的全面积；

（２）求球的体积．

.

18.在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,问底面的边BC上是否存在点E,

(1)使得∠PED=900;

(2)使∠PED为锐角．证明你的结论．

19.三棱锥各侧面与底面成45°角，底面三角形各角成等差数列，而最大边和最小边的长是方程两根，求此三棱锥的侧面积和体积．

20.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD于A，E、F分别是AB、PD之中点．

（1）求证：AF∥平面PCE；

（2）若二面角P－CD－B为45°，求证：平面PCE⊥平面PCD；

（3）在（2）的条件下，若AD=2，CD=，求F点到平面PCE距离．

立体几何测试题

1．[原创]以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是（ ）

A．球的三视图总为全等的圆     

B．正方体的三个视图总是正三个全等的正方形

C．水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形

D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

2．[原创]圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ）

A．  ．  ．  ．

3．正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是（    ）。

A．三角形      B．四边形     C．五边形     D．六边形

4．[改编]将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）

  ． ． ． ．

5．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（    ）

       A．75°        B．60°        C．45°        D．30°

6．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的侧面积为（ ）

A．2．12   　 　　C． 　 D．

7．设是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

    ①若，则；    ②若l上两点到的距离相等，则；

    ③若    ④若

    其中正确的命题是    （    ）

       A．①②    B．②③    C．②④    D．③④

8．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（    ）。

       A．BC     B.      C.      D.  

10．（文科）如图1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是（    ）。

    A．    B．    C．    D．

（理科）甲烷分子结构是：中心一个碳原子，外围四个氢原子构成四面体，中心碳原子与四个氢原子等距离，且连成四线段，两两所成角为θ，则cosθ值为（ ）

 ． ． 　C． ．

11．在正三棱柱中，若AB=2，则点A到平面的距离为（  ）

A．       B．        C．       D．

12．[改编]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离是的点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是  （    ）

A．           B         C．           D．

13．正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则P点到面ABC的距离是                  

14．[改编]（文科）三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是6，8，10，则OP的长为               。

（理科）已长方体的全面积是8，则其对角线长的最小值是                 

15．如图2，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，

底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当点M满足

                  时，平面MBD平面PCD．

16．在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．

以上两个命题中，逆命题为真命题的是        ．（把符合要求的命题序号都填上）

17．[原创]如图3所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？

 ．矩形中，，平面，边上存在点，使得，求的取值范围．

19．如图4，在三棱锥P-ABC中，，　，　点Ｏ，Ｄ分别是的中点，底面.　

（1）求证1F1C22．一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进（如图8），现在小船在水平P点以南的40米处，汽车在桥上Q点以西30米处（其中PQ⊥水面），求小船与汽车间的最短距离为.（不考虑汽车与小船本身的大小）．

参：

1．选A。画几何体的三视图要考虑视角，对于球无论选择怎样的视角，其三个视图均为全等的圆。

2．选C。圆柱的底面积为S，则底面半径，底面圆的周长是，故侧面积。

 ．选D。通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形。

 ．选C。正方体削成最大的球，即正方体棱长为球的直径，即，，故。

5．如图所示，设侧棱与底面所成的角为，则，所以。

6．选A。由底面边长为2，可知底面半径为2，由勾股定理可知侧棱长为2，所以。

7．选D。命题①和可能平行；命题②中和相交。

8．选C。如图所示：取DF的中点O，易证为二面角的平面角，因为P点在底面上的射影是底面的中心，故不可能为直角，所以平面PDF与平面ABC不垂直。

9．选B。还原成平面图形为如图所示的直角梯形，且，，，故。

10．（文科）如图所示，连结、，则或其补角是异面直线A1E与GF所成的角，由余弦定理：，所以。

（理科）选A。  即正四面体的各顶点与中心连线所成的角，如图，设棱长为1，则有：，，，设，在中，由得：，故。

11．设点A到平面的距离为，则由可得：。

12．曲线在过A的三个面上都是以A为圆心，为半径的四分之一圆弧，所以曲线的总长度为。

13．设P点到面ABC的距离为，由体积公式可得：，故。

14．如图，构造长方体，其中侧面AO，BO，A1O所在的平面即为已知的三个两两垂直的平面，则长方体的长、宽、高分别为6，8，10，而OP的长即为长方体的体对角线的长，所以OP2=36++100=200． 故。

（理科）设长方体的长、宽、高分别为，则，对角线

15．答案：BM⊥PC（或DM⊥PC）．底面四边形ABCD各边都相等，所以四边形ABCD是菱形，故AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又，所以BD⊥平面PAC，即有PC⊥BD，故要使平面MBD⊥平面PCD，只须BM⊥PC，或DM⊥PC． 

16．答案②．①的逆命题是：“若四点中的任何三点都不共线，则这四点不共面”，为假命题，反例可以找正方形，没有三点共线，但四个顶点共面；②的逆命题是：“若两条直线是异面直线，那么这两条直线没有公共点”，由异面直线的定义知这个命题正确．

 ．解：；。因为，故冰淇淋融化了，不会溢出杯子。

18．如图，连结AQ，∵PQ⊥QD，PA⊥QD，PQ∩PA=P，∴QD⊥平面PQA，于是QD⊥AQ，∴在线段BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，等价于以AD为直径的圆与线段BC有交点，∴,2.

19．（1）Ｏ、Ｄ分别为、的中点．∴ ，又平面，，∴ 平面.

(2) ，，∴又平面，∴.取中点Ｅ，连结,则平面.作于F,连结,则平面,∴是与平面所成的角．在中，．所以与平面所成的角正弦值为.

20．（文科）由题意AB∥CD，∴∠C1BA是异面直线BC1与DC所成的角。连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得AC=。 又在Rt△ACC1中，可得AC1=3。在梯形ABCD中，过C作CH∥AD交AB于H,得∠CHB=90°，CH=2，HB=3, ∴CB=。又在Rt△CBC1中，可得BC1=，在△ABC1中,cos∠C1BA=，∴∠C1BA=arccos．所以异面直线BC1与DC所成角的余弦值大小为．

（理）如图，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B1（2，0，3），F（1，2，0），∴，（1，2，0）。

（1）设平面AB1F的一个法向量为，由得即∴，∴可取平面AB1F的一个法向量为．

（2）∵D1（0，2，3），设E（2，y，z），则，由（1）知，平面AB1F的一个法向量为，∴要使D1E平面AB1F，只须使，∴令，即∴∴当E点坐标为（2，1，时，D1E平面AB1F．

21．设棱长为1,取MN的中点E,连结BE, 正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N分别为棱AB、BC的中点，∴，∴，∵，∴,∴∠是二面角的平面角.且BE=.

(2)展开图如右图所示. P、B两点间的距离共计4种情况,①PB=； ②PB=；③PB=； ④PB=.求得其中一个即可.

22．设经过时间t汽车在A点，船在B点，如图所示，则AQ=30–20t，BP=40—10t，PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，设小船所在平面为α,AQ,QP确定平面为β,记α∩β=l,由AQ∥α，AQβ得AQ∥l，又AQ⊥PQ，得PQ⊥l，又PQ⊥PB，及l∩PB=P得PQ⊥α.作AC∥PQ，则AC⊥α.连CB，则AC⊥CB，进而AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40－10t）2+(30—20t)2=100［5(t—2)2+9］，t=2时AB最短，最短距离为30 m.．

备用题：

1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，则A1C与DE所成的角的余弦值为（ ）

  ． ． ．  ． 

解：选A．分别以DA、DC、DD1为轴、轴、轴，

设棱长为2，则，，，故

有：，，由

。所以A1C与DE所成的角的余弦值为。 

2．如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是            .

解：这种题型最直接的解决方法就是还原法，根据三视图画出它的立体图形。本题的立体图形如下，所以正确答案应该是5个。

3．已知A，B，C，D为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面BCD的距离等于_____________。

解：易知四面体ABCD是以棱长为2的正四面体，球心为正面体的中心，可求得正四面体的高为，球的半径为，所球心到底面的距离为。

4．已知平面?与平面?交于直线l，P是空间一点，PA⊥?，垂足为A，PB⊥?，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在? 内的射影与点B在?内的射影重合，则点P到l的距离为________.

解：因为“点A在? 内的射影与点B在?内的射影重合”，记为H，则四边形PAHB为矩形，所以点P到l的距离为矩形的对角线，对角线的长度为，所以P到l的距离。

5．在中，，，所在平面外一点到A、B、C的距离都是14，则点P到面ABC的距离为                 

解：由P到A、B、C的距离知，P点在底面上的射影O为底面的外心，故，即，设P到面ABC的距离为，则。

6．在梯形中，分别是上的点，，的中点．现沿将四边形折起，使（如图9－11－4）．

 (1)求证：平面平面；  

 (2)确定的值并计算二面角的大小；

 (3)求点到平面的距离．

(1)在原图中:.∵，∴，，折起后：由 及已知, 所以,平面.

(2)知两两垂直,建立以为空间坐标系原点分别为轴.则，，,,解得. 即,.设平面的一个法向量为,由，,即．又平面的一个法向量.∴,又因为二面角的平面角为钝角,所以为.

(3)点到面的距离为．