福州高级中学高三(数学理科)模拟试卷

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

样本数据的标准差

，其中为样本平均数.    

第Ⅰ卷 （选择题  共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，则                             

A．       B．       C．      D． 

2．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为

 A.          B.           C.          D. 

3．“”是 “函数有零点”的

A.充分不必要条件                      B.必要不充分条件 

C. 充要条件                           D. 既不充分也不必要条件

4．一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是

    A．①②       B．②③         C．③④    D．①④        

5．若则实数m的值等于

A．          B．          C．－3或1        D．－1或3

6．已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为

A.           B.           C.             D. 

7．已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立，且为自然对数的底，则

A.      

B. 

C.      

D. 

8．形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为

A.            B.             C.           D. 

9．已知点P是双曲线右支上一点F1,F2分别是双曲线的左、

右焦点，I为的内心，若成立，则双曲线的离心率为    

A．5                      B．4                         C．3    D．2

10．设,记不超过的最大整数为，如，，令，则，，，三个数构成的数列（    ）

A.是等差数列但不是等比数列             B.是等比数列但不是等差数列

C.既是等差数列又是等比数列             D.既不是等差数列也不是等比数列

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

11．计算的值等于　★★★　．

12．如右图所示的算法流程图中，输出S的值为　★★★　．

13．点P的坐标满足，过点P的直线与圆相交于A、B 两点，则的最小值是　★★★　．

14．近年来，随着以煤炭为主的能

源消耗大幅攀升、机动车保有量急

剧增加，我国许多大城市灰霾现象

频发，造成灰霾天气的“元凶”之一

（第14题图）

是空气中的pm2.5（直径小于等于

24小时平均浓度

(毫克/立方米)

2.5微米的颗粒物）.右图是某市某

月（按30天计）根据对“pm2.5” 

24小时平均浓度值测试的结果画成

的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有      天“pm2.5”含量不达标．

 15．歌德（Goldbach．C．德．1690—17）曾研究过“所有形如（，为正整数）的分数之和”问题．为了便于表述，引入记号：

＝＋＋┅

＋＋┅

写出你对此问题的研究结论：　★★★　．

（用数学符号表示）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分）

设函数

（1）求函数取最值时x的取值集合；

（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满求函数的取值范围．

17．（本小题满分13分）

某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准.

　   （1）从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

             3   5   3   3   8   5   5   6   3   4

             6   3   4   7   5   3   4   8   5   3

8   3   4   3   4   4   7   5   6   7

该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；

（2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数的关系式为：

，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求的分布列和数学期望．

18．（本小题满分13分）

如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围.

19．（本小题满分13分）

已知函数.

(1) 求函数在上的最大值.

(2)如果函数的图像与轴交于两点、，且.是的导函数，若正常数满足.

求证：.

20．（本小题满分14分）

已知抛物线的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限.

   （1）求证：以线段FA为直径为圆与Y轴相切；

（2）若，求的值.

21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14

分，如果多做，则按所做的前两题计分.

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，

（Ⅰ）求实数a的值；    （Ⅱ）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.

（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值.

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知不等式

（Ⅰ）若，求不等式的解集；

（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围.

高三数学(理科)模拟试卷参

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）

1．B 　2．C　 3．A　 4．B 　5．C　 6．C　 7．A　 8．D 　9．D　 10．B

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）

11．　   12．52　  13．4 　14．27　　15．＝1

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）

16．（本小题满分13分）

解：(1) 

f(x)=cossin+-= +-=(sin+cos)

f(x)=sin(+)                             ………4分

当+=(k)时，f(x)取最值

此时x取值的集合：（k）      ………6分

（2）(2a-c)cosB=Bcosc   (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC

2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA         ………8分

2conA=1  B=   f(A)= sin(+)    0         17．（本小题满分13分）

解：（1）由样本数据知，件产品中等级系数有件，即一等品有件，二等品有件，三等品有件                                      ………3分

∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为                                                               ………4分

二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为； ………5分

三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为．……6分

（2）∵的可能取值为：，

用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）

可得, ,              ………9分

∴可得的分布列：

其数学期望(元)                ………13分

18．（本小题满分13分）

解：（I）证明：在梯形中， 

∵,，

∠＝，∴    

∴∴

∴　⊥  

∵  平面⊥平面,平面∩平面,平面

∴  ⊥平面                …………………6分

（II）由（I）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，令，则， 

∴    

设为平面MAB的一个法向量，

由得

  取，则，…………8分

  ∵　是平面FCB的一个法向量

∴…11分

 ∵        ∴　当时，有最小值，

 当时，有最大值。   ∴   …………………13分

19．（本小题满分13分）

解：(1)由得到：，

 ，故在有唯一的极值点，，

，，              

且知，所以最大值为．             ……………4分

(2)，又有两个不等的实根，

则，两式相减得到: …………6分

于是

，…………………8分

要证：，只需证： 

只需证：       ①

令，只需证：在上恒成立，

又∵

∵，则，于是由可知， 

故知在上为增函数，

则，从而知，即①成立，从而原不等式成立.…13分

20．（本小题满分14分）

解：（1）由已知F（），设A（），则

圆心坐标为，圆心到y轴的距离为.          …………… 2分

圆的半径为，                        ……………4分

∴以线段FA为直径的圆与y轴相切。                            …………… 5分

1.设P（0，），B（），由，得.    

                                  ……………6分

.                               …………… 7分

∴①

②

③                                                 ……………10分

∵

将③变形为，

∴.                                                 ……………11分

将代入②，整理得                        ………………12分

代入①得

.                                                ……………13分

即.                                                  …………14分

21．（本小题满分14分）

（1）选修4-2：矩阵与变换

解：（1）解：（Ⅰ）由=， ∴.  …………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则矩阵的特征多项式为

                …………5分

令，得矩阵的特征值为与4. 

当时， 

∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为;          …………6分

当时， 

∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为.            …………7分

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.     …………1分

       …………2分

所以，该直线的直角坐标方程为：              …………3分

（Ⅱ）圆的普通方程为：               …………4分

圆心到直线的距离…………5分

所以，圆上的点到直线的距离的最小值为          …………7分

（3）选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ），

① 若，则，，舍去．

② 若，则，．

③ 若，则，．                     …………3分

综上，不等式的解集为．                        …………4分

（Ⅱ）设，则

      ，                    …………6分

        ，．                                  …………7分