自然数平方和公式的推导与证明

一. 自然数平方和推导与证明

12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。 

    设：S=12+22+32+…+n2

另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键！（通常不容易这么去设想）

有了此步设题，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为

(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+

…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，

即

S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………… (1)

第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：

S1=[12+32+52…+ (2n-1)2] +[22+42+62…+(2n)2] ，

其中：

22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S………………………… (2)

12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1)2+…+ (2n-1)2

= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+

  (22×n2-2×2×n+1)2

=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…

-2×2×n+n

=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n

=4S-4(1+2+3+…+n)+n………………………………………(3)

由(2)+ (3)得：

S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………… (4)

由(1)与(4)得：

2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n

即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n

      = n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]

      = n(2n2+3n+1)

      = n(n+1)(2n+1)

     S= n(n+1)(2n+1)/ 6

亦即：S=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6…………………… (5)

以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。

由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为

2n(n+1)(2n+1)/3，

其中2n为最后一位自然数。

由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为

n(2n-1)(2n+1)/3，

其中2n-1为最后一位自然数。

二. 自然数平方和推导与证明

    可以由自然数平方和公式推导自然数立方和公式

设S=13+23+33+…+n3………………………………………………… (1)

有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+13………………………………………(2)

由(1)+ (2)得：2S=[n3+13]+[(n-1)3+23]+[(n-2)3+33]+…+[n3+13]

                =(n+1)(n2-n+1)

                    +

               (n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)

                    +

               (n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)

                    +

                    .

                    .

                    .

                    +

               (n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)

即2S=(n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1)-3(n-2)-…-n(n-n+1)] …… (3)

由12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：

2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]

  =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…

+(n-1+1)(n-1)]

  =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+ (n-1)]

=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+…+(n-1)2+1 +2+…+(n-1)] 

…… (4)

由12+22+…+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2，1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：

   2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2

     =n2(n+1)2/2

即S=13+23+33+…+n3= n2(n+1)2/4

结论：自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数。

自然数偶数立方和公式推导

设S=23+43+63+…+(2n)3

有S=23(13+23+33+…+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2

结论：自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1)2，其中2n为最后一位自然偶数。

自然数奇数立方和公式推导

设S=13+23+33+…+(2n) 3

由自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数代入左边

有n2(2n+1)2=23+43+63+…+(2n) 3+13+33+53…+(2n-1)3

                 =2n2(n+1)2+13+33+53…+(2n-1)3

移项得：13+33+53…+(2n-1)3 =n2(2n+1)2-2n2(n+1)2

                                     =n2(2n2-1)

结论：自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。