浙江省嘉兴一中2015届高三上学期期中考试数学(理)

  高三数学（理科）  试题卷  

命题：王璐  吴献超      审题：沈志荣   

满分[ 150]分 ，时间[120]分钟            2014年11月

参考公式：

柱体的体积公式: ( 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高)

锥体的体积公式: (其中表示锥体的底面积，表示锥体的高)

台体的体积公式: (其中分别表示台体的上底、下底面积，表示台体的高)

球的表面积公式:, 球的体积公式(其中表示球的半径) 

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若集合，，则=（ ▲  ）

A．   B.       C.    D. 

2.函数的值域是 (  ▲  )

A．              B．       C．          D． 

3.已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（  ▲  ）

A.若            B.若则

C.若           D. 若

4.已知函数=（  ▲  ）

    A．2        B．—2            C．           D．— 

5.已知，且是的必要不充分条件，则的取值范围为（▲）

A．       B.      C．   D. 

6.函数的图象向左平移个单位得函数的图象，则函数的解析式是 ( ▲ ) 

A．              B． 

C．             D． 

7.已知等差数列的前项和为且满足,则中最大的项为（  ▲  ）                                                                  

    A．          B．           C．            D． 

8.已知点P是双曲线C：左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（  ▲  ）

    A．    B．2    C．    D． 

9.已知是圆：上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，则的最大值是（  ▲  ）

   A.               B. 0              C.                    D. 

10.设非空集合满足：当时，有，给出如下三个命题：

①若则；②若则；  ③若则．

其中正确命题的是（  ▲  ） 

A.①          B.①②           C.②③           D.①②③

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.若，则▲  ． 

12.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为 2, 

高为3,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是_▲  ．

13.若x，y满足不等式组则2x＋y的最大值是__▲  ．

14.已知向量满足，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于__▲  ．

15.设抛物线的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于两点,过的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P,若,则弦长等于__▲  ．

16.记数列的前和为，若是公差为的等差数列，则为等差数列时,的值为 ▲  ． 

17.设是正实数，且，则的最小值是___▲  ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

已知函数，其相邻两个零点间的距离为．

（1）求的解析式；

（2）锐角中，的面积为，求的值．

19．（本小题满分14分）

已知数列中， 

（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；

（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

20. （本小题满分14分）

如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围.

21. （本小题满分15分）

已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)如果过点的直线与椭圆交于两点（点与点不重合），

求的值；

当为等腰直角三角形时，求直线的方程．

22. （本小题满分15分）

已知函数．

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）求所有的实数，使得对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方；

（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

解：（1）…………………3分

       由题可知，………………………5分

      …………………………………………………7分

      （2）

       又由锐角知，角为锐角，…………………………9分

       ……………………………………………………………12分

       ……………………………………………………………14分

19．（本小题满分14分）

（2）

，    两式相减得

若n为偶数，则

若n为奇数，则

（2）由（I）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，令，则， 

∴    

设为平面MAB的一个法向量，

由得

  取，则，…………8分

  ∵　是平面FCB的一个法向量

∴…10分

 ∵        ∴　当时，有最小值，

 当时，有最大值。   ∴   …………………14分

21. （本小题满分15分）

解：（1）因为椭圆经过点，因为，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）若过点的直线的斜率不存在，此时两点中有一个点与点重合，不满足题目条件．

所以直线的斜率存在，设其斜率为，则的方程为，

把代入椭圆方程得，设，则，

，，

因为，所以

由知：，如果为等腰直角三角形，设的中点为，则

，且

若，则，显然满足，此时直线的方程为；

若，则，解得，所以直线的方程为，即或．

综上所述：直线的方程为或或．

22. （本小题满分15分）

解：（1）由得函数的单调递增区间为和； 

（2）由题意得对任意的实数，恒成立，

即，当恒成立，即，，，

故只要且在上恒成立即可，    

在时，只要的最大值小于且的最小值大于即可，

而当时，，为增函数，；

当时，，为增函数，，所以； 

（3）当时，在R上是增函数，则关于x的方程不可能有三个不等的实数根； 则当时，由得

时，对称轴，则在为增函数，此时的值域为，

时，对称轴，

则在为增函数，此时的值域为，

在为减函数，此时的值域为；

由存在，方程有三个不相等的实根，则，

即存在，使得即可，令，

只要使即可，而在上是增函数，，

故实数的取值范围为； 同理可求当时，的取值范围为；

综上所述，实数的取值范围为．