《圆锥曲线》单元测试题

班级         姓名         学号         分数        

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1、若双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)

A.              B．5            C.                D．2

2、圆锥曲线＋＝1的离心率e＝，则a的值为(　　)

A．4　　　　　   B．－           C．4或－          D．以上均不正确

3、以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为  

  F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为(　　)

A.－1          B．2－         C.               D.

4、已知双曲线－＝1与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，其中a1>0，a2>b>0，那么以

   a1、a2、b为边长的三角形是(　　)

A．锐角三角形    B．直角三角形     C．钝角三角形      D．等腰三角形

5、设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭 

   圆的方程为(　　)

A.＋＝1     B.＋＝1        C.＋＝1          D.＋＝1

6、已知椭圆E：＋＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1

  被椭圆E截得的弦长不可能相等的是(　　)

A．kx＋y＋k＝0     B．kx－y－1＝0     C．kx＋y－k＝0     D．kx＋y－2＝0

7、过双曲线M：x2－＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线 

   分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是(　　)

A.            B.                C.              D.

8、设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2＋＝1的交点为A、

  B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为(　　)

A．1　　　     　B．2　　　　        C．3　　　　      D．4

9、设F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y＝b相切的⊙F2交椭圆于 

  点E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为(　　)

A.             B.              C.                 D.－1

10、如图所示，从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引

   圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于

   P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则

   |MO|－ |MT|与b－a的大小关系为(　　)  

A．|MO|－|MT|>b－a           B．|MO|－|MT|＝b－a

C．|MO|－|MT|11、已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线 

   C挡住，则实数a的取值范围是(　　)

A．(4，＋∞)       B．(－∞，4]           C．(10，＋∞)       D．(－∞，10]

12、点P在曲线C：＋y2＝1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：x＝4于

    B点，满足|PA|＝|PB|或|PA|＝|AB|，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是(　　)

A．曲线C上的所有点都是“H点”          B．曲线C上仅有有限个点是“H点”

C．曲线C上的所有点都不是“H点”        D．曲线C上有无穷多个点是“H点”

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上．)

13．已知点A(1,0)，B(2,0)．若动点M满足·＋||＝0，则点M的轨迹方程为________．

14．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直 

   线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为______．

15．设双曲线x2－＝1的左右焦点分别为F1、F2，P是直线x＝4上的动点，若∠F1PF2＝θ，

   则θ的最大值为________．

16．直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面

   积的最大值为________．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17、已知A(－2,0)、B(2,0)，点C、点D满足||＝2，

    ＝(＋)．

   (1)求点D的轨迹E的方程；

   (2)过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆G于M、N两点，

  线段MN的中点到y轴的   距离为，且直线l与轨迹E相切，求椭圆G的方程．

18、设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过原点O斜率为1的直线与椭圆C相交于

    M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直

线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，试探究k1·k2是否为定值？若是，求出定值；

若不是，说明理由．

19、过点M(1,1)作直线与抛物线x2＝2y交于A、B两点，该抛物线在A、B两点处的两条切

    线交于点P.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)求△ABP的面积的最小值．

20、已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2＋3y2＝4上，对

    角线BD所在直线的斜率为1.

    (1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；

(2)当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

21、如图，在由圆O：x2＋y2＝1和椭圆C：＋y2＝1(a>1)

   构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为，

   直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，

   B.

   (1)求椭圆C的方程；

   (2)是否存在直线l，使得·＝2，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，

   请说明理由．

22、已知椭圆的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆

   相交于M，N两点，如果△MNF2的周长等于8.

  (1)求椭圆的方程；

  (2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，

    使·恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

   《圆锥曲线》单元测试题答案

一、选择题：

13、＋y2＝1        14、　－        15、　30°      16、

三、解答题：

17、[解析]　(1)设C、D点坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，则＝(x0＋2，y0)，＝(4,0)，  则＋＝(x0＋6，y0)，故＝(＋)＝.

又＝(x＋2，y)，故

解得

代入||＝＝2得x2＋y2＝1，即为所求点D的轨迹E的方程．

(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为

y＝k(x＋2)①

又设椭圆方程为＋＝1　(a2>4)②

因为直线l与圆x2＋y2＝1相切，故＝1，解得k2＝.将①代入②整理得(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，

而k2＝，即(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－.

由题意有＝2×，求得a2＝8.经检验，此时Δ>0.故所求的椭圆方程为＋＝1.

18、[解析]　(1)设椭圆的焦距为2c(c>0)，焦点F(c,0)，直线l：x－y＝0，

F到l的距离为＝，解得c＝2，

又∵e＝＝，∴a＝2，∴b＝2.

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由解得x＝y＝，或x＝y＝－，

不妨设M，N，P(x，y)，

∴kPM·kPN＝·＝，

由＋＝1，即x2＝8－2y2，代入化简得k1·k2＝kPM·kPN＝－为定值．

19、[解析]　(1)设直线AB方程为y＝k(x－1)＋1，

代入x2＝2y中得，x2－2kx＋2k－2＝0

其中Δ＝(－2k)2－4(2k－2)＝4[(k－1)2＋1]>0

记A，B，则

x1＋x2＝2k，x1x2＝2k－2.

对y＝求导得，y′＝x

则切线PA的方程为y＝x1(x－x1)＋，

即y＝x1x－①

同理，切线PB的方程为y＝x2x－②

由①、②两式得点P的坐标为，

于是得P(k，k－1)，设P(x，y)，则，

消去参数k，得点P的轨迹方程为x－y－1＝0.

(2)由(1)知

|AB|＝|x1－x2|

＝

＝2.

点P到直线AB的距离

d＝＝

△ABC的面积

S＝|AB|·d＝(k2－2k＋2)＝[(k－1)2＋1].

当k＝1时，S有最小值1.

20、[解析]　(1)由题意得直线BD的方程为y＝x＋1.

因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.

于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.

由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.

因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋>0，

解得－设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

x1＋x2＝，x1x2＝，

y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.

所以y1＋y2＝，所以AC的中点坐标为.

由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y＝x＋1上，所以＝＋1，

解得n＝－2.

所以直线AC的方程为y＝－x－2，

即x＋y＋2＝0.

(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，

所以|AB|＝|BC|＝|CA|.

所以菱形ABCD的面积S＝|AC|2.

由(1)可得|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，

所以S＝.

所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值4.

21、[解析]　(1)∵e＝＝，c2＝a2－1，∴＝，

解得：a2＝3，所以所求椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)假设存在直线l，使得·＝2

易得当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y＝kx＋b，

由直线l与圆O相切可得，b2＝k2＋1①

把直线y＝kx＋b代入椭圆C：＋y2＝1中，整理得：

(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0

则x1＋x2＝－，x1·x2＝，

·＝x1·x2＋y1·y2＝x1·x2＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝(1＋k2)x1·x2＋kb(x1＋x2)＋b2

＝(1＋k2)＋＋b2＝＝②

由①②两式得k2＝1，b2＝2，

故存在直线l，其方程为y＝±x±.

22、[解析]　(1)由题意知c＝，4a＝8，∴a＝2，b＝1，

∴椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，

由消去y得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)

则由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝，

则＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)，

∴·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2

＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2

＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)

＝m2－＋＋k2

＝

要使上式为定值须＝，解得m＝，

∴·为定值，

当直线l的斜率不存在时P，Q，

由E可得＝，＝，

∴·＝－＝，

综上所述当E时，·为定值.