专题六 对角互补模型

旋转型

类型一（“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)） 已知直角△ABC 和等腰直角△DBC ，则

AB+AC=2 AD.

例：如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，直线MN 是过点A 的直线CD ⊥MN 于点D ，连接BD ．

（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC ，AD ，BD 之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ，进而得出：DC+AD= BD ． （2）探究证明

将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ，AD ，BD 之间的数量关系，并证明

在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．

类型二（“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)）

已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AD.

例：已知:△ABC中，CA=CB, ∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90º

(1)如图所示，求证：DA+DB=DC

(2)如图所示，猜想DA.DB.DC之间有何数量关系？并证明你的结论.

(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH= .

类型三“等边三角形对120°模型”.

△ABC是等边三角形，∠BPC=120°，则有PB+PC=PA；

类型四“120°等腰三角形对60°模型”

△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，则有

例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．

（1）如图1,△ABC是等边三角形,点D是边BC下方一点,∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．

解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD, CE=BD，∠ABD=∠ACE,∠DAE=60°,根据∠BAC+∠BDC=180°,可知∠ABD+∠ACD=180°,则∠ACE+∠

ACD=180°,易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．

根据上述解题思路,三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；

（2）如图2,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC．点D是边BC下方一点,∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．

练习：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形

ABCD的边BC，CD上，∠EAF=1

2

∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量

关系．

（1）思路梳理

将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；

（2）类比引申

如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC

延长线上，∠EAF=1

2

∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出

证明．

（3）联想拓展

如图3，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE 的长为________________.

构造全等型

类型五-全等型90°

条件:①∠AOB=∠DCE =90°，②OC 平分∠AOB

结论:①CD=CE;②OC;③S △DCE =S △OCD +S △OCE =

1

2

OC 2

辅助线的做法，可有下面两种方法来证明。

当C 与AO 的延长线相交时，也是相同的方法。

结论变为：①CD=CE;②OC;③S △OCE - S △OCD =

1

2

OC 2

例：探究：如图1和2,四边形ABCD 中,已知AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．

（1）①如图 1,若B 、ADC ∠都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至

ADG ，使AB 与AD 重合，则能证得EF BE DF =+，请写出推理过程；

②如图 2，若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足数量关系_______时，仍有

EF BE DF =+;

（2）拓展：如图3,在ABC 中，90BAC ∠=︒,AB AC ==D 、E 均在边BC 上,且45DAE ∠=︒．若1BD =，求DE 的长．

类型六-全等型120°

条件:①∠AOB=2∠DCE =120°，②OC 平分∠AOB

结论:①CD=CE;②OD+OE=OC;③S △DCE =S △OCD +S △OCE =

4

OC 2

证明提示:①可参考“全等型-90°”证法一;

②如图:在OB 上取一点F,使OF=OC,证明△OCF 为等边三角形。

例：如图，已知60AOB ∠=︒，在AOB ∠的角平分线OM 上有一点C ，将一个120︒角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与射线,OA OB 相交于点,D E .

（1）如图1，当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时，请猜想+OD OE 与OC 的数量关系，并说明理由；

（2）当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）如图3，当DCE ∠绕点C 旋转到点D 位于OA 的反向延长线上时，求线段,OD OE 与

OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明

练习：如图，一伞状图形，已知120AOB ∠=︒，点P 是AOB ∠角平分线上一点，且

2OP =，60MPN ∠=︒，PM 与OB 交于点F ，PN 与OA 交于点E ．

(1)如图一，当PN 与PO 重合时，探索PE ，PF 的数量关系

(2)如图二，将MPN ∠在(1)的情形下绕点P 逆时针旋转α度()060α<<︒，继续探索PE ，PF 的数量关系，并求四边形OEPF 的面积．

练习：（1）方法导引：

问题：如图1，等边三角形ABC 的边长为6，点O 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线交点，120FOG ︒∠=，绕点O 任意旋转FOG ∠，分别交ABC 的两边于D ，E 两点．求四边形ODBE 面积．

讨论：

①小明：在FOG ∠旋转过程中，当OF 经过点B 时，OG 一定经过点C ．

②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“ASA ”证出ODB OEC ≌．

③小飞：因为ODB OEC ≌，所以只要算出OBC 的面积就得出了四边形ODBE 的面积．

老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形ODBE 的面积：________． （2）应用方法：

①特例：如图2，FOG ∠的顶点O 在等边三角形ABC 的边BC 上，2OB =，4OC =，边OG AC ⊥于点E ，OF AB ⊥于点D ，求BOD 的面积．

②探究：如图3，已知60FOG ︒∠=，顶点O 在等边三角形ABC 的边BC 上，2OB =，4OC =，记BOD 的面积为x ，COE 的面积为y ，求xy 的值．

③应用：如图4，已知60FOG ︒∠=，顶点O 在等边三角形ABC 的边CB 的延长线上，2OB =，6BC =，记BOD 的面积为a ，COE 的面积为b ，请直接写出a 与b 的关系式．

类型七-全等型α

条件:①∠AOB = 2α, ∠DCE = 180- 2α.；②CD=CE;

结论:①OC平分∠AOB;②OD+ OE = 2OC.cosα

③S四边形ooc E = S△oc D +S△oc E = OC2sinαcosα

当∠DCE的一边交AO的延长线于点D时,上述条件不变，结论有所变化

例：综合实践

初步探究：

如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．

(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为；

解决问题：

(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系

为；

拓展应用：

(4)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由；