静力弹塑性分析_PushoverAnalysis_的基本原理和计算实例

　　基金项目:华东建筑设计研究院有限公司第2001年度科研项目.

　　作者简介:汪大绥(1941-),男,江西乐平人,教授级高工,主要从事大型复杂结构设计与研究工作.

文章编号:100726069(2004)0120045209

静力弹塑性分析(Pushover Analysis )的

基本原理和计算实例

汪大绥　贺军利　张凤新

(华东建筑设计研究院有限公司,上海200002)

摘要:阐述了美国两本手册FE M A273/274和AT C -40中关于静力弹塑性分析的基本原理和方法,给出了利用ET ABS 程序进行适合我国地震烈度分析的计算步骤,并用一框剪结构示例予以说明,表明

Pushover 方法是目前对结构进行在罕遇地震作用下弹塑性分析的有效方法。

关键词:静力弹塑性;能力谱;需求谱;性能点中图分类号:P315.6　　　文献标识码:A

The basic principle and a case study of the static elastoplastic analysis (pushover analysis)

W ANG Da 2sui 　HE Jun 2li 　ZH ANG Feng 2xin

(East China Architectural Design &Research Institute C o.,Ltd ,Shanghai 200002,China )

Abstract :This paper reviews the basic principles and methods of the static elasto 2plastic analysis (pushover analysis )in FE M A273/274and in ATC 240.Its main calculation procedures are summarized and a case study is presented for the frame 2shearwall structure designed according to China C ode for Seismic Design by means of ET ABS.It has been proved that pushover analysis is a effective method of structural elastoplastic analysis under the maximum earthquake action.K ey w ords :static elastoplastic ;capacity spectrum ;demand spectrum ;performance point

1　前言

利用静力弹塑性分析(Pushover Analysis )进行结构分析的优点在于:既能对结构在多遇地震下的弹性设

计进行校核,也能够确定结构在罕遇地震下潜在的破坏机制,找到最先破坏的薄弱环节,从而使设计者仅对局部薄弱环节进行修复和加强,不改变整体结构的性能,就能使整体结构达到预定的使用功能;而利用传统的弹性分析,对不能满足使用要求的结构,可能采取增加新的构件或增大原来构件的截面尺寸的办法,结果是增加了结构刚度,造成了一定程度的浪费,也可能存在新的薄弱环节和隐患。

对多遇地震的计算,可以与弹性分析的结果进行验证,看总侧移和层间位移角、各杆件是否满足弹性极限要求,各杆件是否处于弹性状态;对罕遇地震的计算,可以检验总侧移和层间位移角、各个杆件是否超过弹塑性极限状态,是否满足大震不倒的要求。

20卷1期2004年3月

世　界　地　震　工　程

W OR LD E ARTH QUAKE E NGI NEERI NG

V ol.20,N o.1

Mar.,2004

2　静力弹塑性分析的基本原理

　　S AP2000n 和ET ABS 程序提供的Pushover 的分析方法,主要基于两本手册,一本是由美国应用技术委员

会编制的《混凝土建筑抗震评估和修复》(ATC -40),另一本是由美国联邦紧急管理厅出版的《房屋抗震加固

指南》

(FE M A273/274)。混凝土塑性铰本构关系和性能指标来自于ATC -40,钢结构塑性铰本构关系和性能指标来自于(FE M A273/274),而Pushover 方法的主干部分,即分析部分采用的是能力谱法,来自于ATC -40。

其主要步骤如下:

(1)用单调增加水平荷载作用下的静力弹塑性分析,

计算结构的基底剪力—顶点位移曲线(图1(a ))。(2)建立能力谱曲线

对不很高的建筑结构,地震反应以第一振型为主,可用等效单自由度体系代替原结构。因此,可以将—曲线转换为谱加速度—谱位移曲线,即能力谱曲线(图1(b )):

图1　Pushover 曲线和能力谱之间的转换

S a =

V b M 1,　　　S d =u n

Γ1φn ,1

(1)

式中Γ1、M 3

1分别为结构第一振型的振型参与系数和模态质量

,V b 为基底剪力;u n 为结构顶点位移。

M 3

1

=

∑

n

i =1(w i φi 1)/g

2

∑n

i =1

(w i φ2i

1)/g

(2)

式中:w i /g ———第i 层质点的质量;φi 1———振型1中质点i 的振幅;φn 1———振型1中最顶层质点的振幅。

(3)建立需求谱曲线

需求谱曲线分为弹性和弹塑性两种需求谱。对弹性需求谱,可以通过将典型(阻尼比为5%)加速度S a 反应谱与位移S d 反应谱画在同一坐标系上(图2(a )),根据弹性单自由度体系在地震作用下的运动方程可知S a 和S d 之间存在下面的关系

图2　典型弹性加速度谱与位移谱

　　　　　　　　世　界　地　震　工　程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　20卷

S d =

T

2

4π

2

S a (3)

从而得到S a 和S d 之间的关系曲线,即AD 格式的需求谱(图2(b ))。　　对弹塑性结构AD 格式的需求谱的求法,一般是在典型弹性需求谱的基础上,通过考虑等效阻尼ζe 比或延性比μ两种方法得到折减的弹性需求谱或弹塑性需求谱。ATC -40采用的是考虑等效阻尼比ζe 的方法。图3　反应谱折减用阻尼的推导　　在图3中,d p 为等效单自由度体系的最大位移,ATC -40中等效阻尼比ζe 由最大位移反应的一个周期内的滞回耗能来确定,按下式计算

ζe =E

D

4πE s

(4)

式中:E D ———滞回阻尼耗能,等于由滞回环包围的面积,即

平行四边形面积;E s ———最大的应变能,等于阴影斜线部分的三角形面积,即a p d p /2。

为确定ζe ,需要首先假定a p 、d p ,有了ζe 后,通过对弹性需求谱的折减,即可得到弹塑性需求谱(见图4)。(4)性能点的确定

将能力谱曲线和某一水准地震的需求谱画在同一坐标系中(见图4),两曲线的交点称为性能点,性能点所对应的位移即为等效单自由度体系在该地震作用下的谱位移。

将谱位移按式(1)转换为原结构的顶点位移,根据该位移在原结构V b —u n 曲线的位置,即可确定结构在该地震作用下的塑性铰分布、杆端截面的曲率、总侧移及层间侧移等,综合检验结构的抗震能力。

若两曲线没有交点,说明结构的抗震能力不足,需要重新设计。

　　因为弹塑性需求谱、性能点、ζe 之间相互依赖,所以确定性能点,是一个迭代过程。

只要已知参数输入正确,性能点、ζe 、需求谱等可由程序自动算出。在输入已知条件时,需要注意的是:

程序中的地震反应谱与我国《建筑抗震设计规范》(G B50011—2001)的地震反应谱表达方式略有不同,需

经等效后换成程序中的系数,程序中的反应谱如图5所示

。

3　计算步骤

3.1　建立模型、内力分析和配筋

利用程序,求出构件在设计规范规定的各种荷载工况下的内力并配筋,其中柱最大配筋率为1%,梁最大配筋率为1.5%。内力分析时,梁、柱用框架单元模拟,现浇板、用壳单元模拟,由于S AP2000n 程序没有给壳单元提供塑性铰,因此,我们用模拟框架来代替剪力墙,以考虑剪力墙进入塑性时的性能。对截面宽度为

7

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b ,高度为h ,厚度为t 的剪力墙来说,模拟框架的计算简图如图6所示。

　　根据文献[1],利用模拟框架与原剪力墙抗弯刚度、抗剪刚度、轴压刚度相等的原则,可以求出柱子的面

积和惯性矩、链杆及斜支撑的面积等特征值。

柱子:

惯性矩　　I c =

tb

3

12

(6B -0.5)(5)截面积　　A c =tb (0.25-B )

(6)　　链杆:

截面积　　A c =tb (0.25-B )

(7)

　　斜支撑:

截面积　　A d =

tb (0.25+B )

sin 3θ

(8)

式中　　　　B =

h

2

16b 2(1+μ)

3.2　塑性铰的定义和设置

S AP2000n 给框架单元提供了弯矩(M )、剪力(V )、轴力(P )、轴力和弯矩相关(PMM )四种塑性铰,可以在

一根构件的任意部位布置一个或多个塑性铰。各种塑性铰的本构模型归纳为图7所示。　　在上述塑性铰本构关系中,纵坐标(力)代表弯矩、剪力、轴力,横坐标(位移)代表曲率或转角、剪切变形、图8　柱屈服面轴压变形。整个曲线分为四个阶段,弹性段(AB )、强化段(BC )、卸载段(C D )、塑性段(DE )。只要将几个关键点B 、C 、D 、E 确定出来,整个本构关系就确定了,其中确定B 点时,涉及到屈服力和屈服位移的确定,关于屈服力和屈服位移,有两种确定方法,一种是自定义,输入某一具体值,另外一种是由程序计算;确定C 、D 、E 时,各点的纵、横坐标需要分别按照力、位移与屈服力和屈服位移的比值来输入,S AP2000n 程序也提供了两种方法,一种是自定义,另一种是程序按照美国规范FE 2M A273和ATC -40给定。本文采用后一种方法来定义塑性铰的本构关系。

对梁单元,一般仅考虑弯矩(M )屈服产生塑性铰,对柱单元,一般

考虑由轴力和双向弯矩相关(PMM )作用产生塑性铰。对钢筋混凝土

结构,程序根据截面的配筋值,可自动计算屈服弯矩值和轴力弯矩相关面(由0度、22.5度、45度、67.5度、90度五个方向的曲线形成的包络面),见图8。　　塑性铰的位置,应设置在弹性阶段内力最大处,因为这个位置最先达到屈服。对梁、柱单元,一般情况是

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两端弯矩最大,弯曲塑性铰和压弯铰(PMM )应设置在两端,在剪力最大处,应设置剪切铰。3.3　侧向加载模式和Push -over 工况

侧向荷载的分布方式,即应反映出地震作用下各结构层惯性力的分布特征,又应使所求得位移,能大体真实地反映地震作用下结构的位移状况。事实上,由于任何一种荷载分布方式都不可能反映结构全部的变形及受力要求,因为不论用何种分布方式,都将使得和该加载方式相似的振型作用得到加强,而其他振型的作用则被削弱。而且,在强地震作用下,结构进入弹塑性状态,结构的自振周期和惯性力大小及分布方式也因之变化,楼层惯性力的分布不可能用一种分布方式来反映。因此,最少用两种以上的荷载分布方式进行Pushover 分析。

FE M A -273推荐三种形式:　　1)均匀分布:各楼层侧向力可取所在楼层质量;　　2)倒三角形分布:结构振动以基本振型为主时的惯性力的分布形式,类似于我国规范中用底部剪力法确定的侧向力分布;　　3)SRSS 分布:反应谱振型组合得到的惯性力分布。

ATC -40采用与第一振型成正比的侧向力分布形式。S AP2000n 程序提供了自定义分布、均匀加速度分布和振型荷载分布三种加载方式。均匀加速度分布提供的侧向力是用均一的加速度和相应质量分布的乘积获得的;振型荷载分布提供的侧向力是用给定的振型和该振型下的圆频率的平方(ω2)及相应质量分布的乘积获得的,可以取任何一个振型。其中,均匀加速度方法相当于均匀分布,振型荷载分布方法,当取第一振型时,相当于倒三角分布。用户也可以自定义水平力分布情况,也可以把三者按一定系数组合。

在定义Push -over 工况时,除了按上述方法考虑各种水平荷载及组合外,应首先定义重力荷载作用作为Push -over 第一工况,各种水平力及其组合作为其它工况,计算时首先计算第一工况下的内力和变形,其它

工况下的计算是在第一工况下内力和变形基础上施加水平荷载,水平荷载不断增加,结构侧移不断增大,直到达到规定的位移为止。

常用的Push -over 工况主要有:　　1.重力+振型1(纵向)　　2.重力+振型2(横向)　　3.重力+x 向加速度　　4.重力+y 向加速度图9　在不同性能水准下的塑性铰位移限值

3.4　结果分析和性能评价

经Pushover 分析后,得到性能点,根据性能点时的变形,对以下三个方面进行评价:

1)顶点侧移　是否满足抗震规范规定的弹塑性顶点位移限值。

2)层间位移角　是否满足抗震规范规定的弹塑性层间位移角限值。

3)构件的局部变形　是指梁、柱等构件塑性铰的变形,检验它是否超过建筑某一性能水准下的允许变形。

ATC -40将房屋遭受地震后,可能出现的状态主要分为I O (Immediate Occupancy )、、DC (Damage C ontrol )、LS (Life Safety )、SS (Structural Stability )四种状态,可解释为‘立即居住’、‘损坏控制’、‘生命安全’和‘结构稳定’。

ATC -40给出了梁、柱、墙等构件在上述几种相应状态下的塑性限值,无论何种类型铰,都可以用图9表示,纵轴表示轴力、弯矩、剪力等,横轴表示轴向变形、曲率、转角等,其中B 、I O 、LS 、CP (C ollapse Prevention )、C

为性能点,其中B 点出现塑性铰,C 点为倒塌点,CP 为预防倒塌点,各性能点所对应的横坐标为相应的弹塑性位移限值。

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4　计算实例

4.1　工程概况

该结构为15层框架—剪力墙结构,层高均为3.6m ,其结构平面如图10所示。以5层为一个标准层。下面5层柱混凝土标号为C35,梁混凝土标号为C30,柱截面为0.7m ×0.7m ,沿横向边跨梁截面为0.4m ×0.

65m ,中间跨横向梁及纵向梁截面为0.4m ×0.45m ,横向墙厚0.25m ,混凝土标号C35;中间5层柱混凝土标号为C30,梁混凝土标号为C25,柱截面为0.6m ×0.6m ,沿横向边跨梁截面为3m ×0.65m ,中间跨横向梁及纵向梁截面为0.3m ×0.45m ,横向墙厚0.20m ,混凝土标号为C30;上面5层柱混凝土标号为C25,梁混凝土标号为C20,柱截面为0.6m ×0.6m ,沿横向边跨梁截面为3m ×0.65m ,

中间跨横向梁及纵向梁截面为0.3m ×0.45m ,横向墙厚0.16m ,混凝土标号C25。整个纵墙厚度均为0.

16m 。所有柱、梁截面受力主筋选用二级钢筋,抗剪钢筋为一级钢筋。

图10　结构平面图

根据上面给出的墙体已知条件,按照公式(5)～(8),可得模型框架的特征值,其中斜向支撑的类型主要

分1.5×1.5m 、1.35×1.35m 、1.2×1.2m 等三种类型。带有模拟框架的整体结构三维图形如图11所示。　　楼板采用150厚现浇混凝土板,填充墙采用240厚粉煤灰泡沫砌块砌体。本工程按7度抗震设防,场地类别为Ⅳ类,设计地震分组为第三组,场地特征周期为0.9秒。

经S AP2000程序地震反应谱分析,得到梁、柱、支撑等配筋,其中底层柱最大的配筋率为2.7%,最大轴压比为0.4%,各构件的配筋率及强度等指标均满足规范要求。

结构在多遇地震下的侧移和层间位移角见表1。

y 向的最大层间位移角为1/968,满足限值1/800的要求,x 向的最大层间位移角为1/753,大于限值1/800约6%,可以认为近似满足要求。　　　　　　　　　　表1　侧移和层间位移角

层　号

X 向侧移

(mm )Y 向侧移

(mm )X 向层间

位移角

Y 向层间

位移角

1554.43.531/8121/10491450.2140.101/7811/10231345.6036.581/7661/9971240.9032.971/7561/9761136.1429.281/7531/9681031.3625.561/7631/981926.21.1/7771/1000822.0118.291/8091/1029717.5614.791/8571/1088613.3611.481/9521/118859.588.451/12001/134 6.58 5.811/14121/15933 4.03 3.551/17821/192 2.01 1.741/25901/29031

0.62

0.50

1/5806

1/7200

05　　　　　　　　世　界　地　震　工　程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　20卷

　　该结构的总质量为42.7×103kg ,动力特性见表2。

表2　模态周期与频率

振型序号

周期/s

频率/H z

频率(弧度)

1 1.4227620.702858 4.416188

2 1.1594960.86244

3 5.41813 1.0952430.913039 5.73679440.3421 2.86597618.00745650.2985 3.37285621.1922786

0.290551

3.441738

21.625080

4.2　数据的准备和输入

为了简单起见,本算例只采用程序里提供的缺省的塑性铰本构模型(即不需要另外输入图7中B 、C 、D 、E 各点值),将弯矩(M )塑性铰赋予梁的两端、轴力和弯矩相关(PMM )铰赋予柱两端,轴力(P )铰赋予支撑和链杆,其中B 、C 、D 、E 等关键点由程序根据计算出的配筋数量及截面尺寸,利用上述两本手册提供的相关公式确定。

由于本工程属于中等高度建筑,本文采用振型荷载(倒三角形荷载)作用在纵、横两个方向,即两个工况是:

a.重力+振型1　(纵向)

b.重力+振型2　(横向)

按照抗震规范,本算例进行两种地震烈度情况下的计算,即多遇地震和罕遇地震。根据我国现行抗震规范的地震反应谱与ATC -40反应谱的对比,可以确定系数C A 、C V 。7度多遇地震,C A =0.032,C V =0.0767度罕遇地震,C A =0.2,C V =0.484.3　计算结果与分析

　　1.多遇地震

经Pushover 计算,X 向的性能点S a =0.053,S d =0.027,根据(1)式转换,得到V b =3191kN ,u n =0.042m <0.054m (弹性反应谱计算结果,见表1)。

Y 向的性能点S a =0.0,S d =0.022,经(1)式转换,得到V b =3961kN ,u n =0.035m <0.043m (弹性反应谱计算结果,见表1)。

在达到上述状态时,各杆件没有产生塑性铰,与弹性计算是符合的,只是极限位移略小于反应谱计算的位移。

Y 向—关系曲线见图12。

图12　Y 向底层剪力—顶点位移曲线

　　2.罕遇地震

X 向性能点S a =0.127,S d =0.1,转换后,V b =

7786kN ,u n =0.256m 由于u n =0.256m <1

100

×54=

0.54m (1%是抗震规范规定的弹塑性层间位移角限值),所以,X 向顶点位移满足弹塑性极限要求。

Y 向性能点S a =0.167,S d =0.145,转换后,V b =

10033kN ,u n =0.225m 由于u n =0.225m <1

100

×54=0.

54,所以,Y 向顶点位移满足弹塑性极限要求。

在性能点状态时的X 向和Y 向层间位移角见表

3。　　从表3可见,X 向和Y 向的最大层间位移角均小于抗震规范规定的弹塑性层间位移角限值1%,所以,该结构的层间位移角也满足弹塑性极限的要求。　　X 向、Y 向在性能点时的塑性铰分布如图13、14所示,塑性铰主要出现在梁、模拟框架柱、链杆、斜支撑、底层柱底端等部位,这些铰的变形落在两种区段,B -I O 、I O -LS 段。深颜色为I O -LS 段,浅颜色为B -I O

1

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段,位于I O -LS 段的梁铰,梁柱节点处保护层出现了剥落现象,塑性铰区出现了弯曲裂缝,没产生永久变形,

承载力完好;位于I O -LS 段的柱铰,出现了弯曲裂缝,少量的剪切裂缝,没有保护层剥落现象,没有永久水平偏置,承载力完好。

表3　利用Pushover 计算出的侧移和层间位移角

层　号

X 向侧移

(mm )Y 向侧移

(mm )X 向层间

位移角

Y 向层间

位移角

152562251/1711/1142352061/1711/171132141851/11/1121921661/1711/180111711461/1

1/1101491271/11/180********/1711/20081061/1711/1785701/2001/225667541/11/225548381/2401/300433261/2771/300320141/3271/5142971/5141/7201

2

2

1/1800

1/1800

　　综合以上评价,该工程满足使用要求。如果局部某个构件不满足塑性限值要求,则需要局部加强,而不

会改变整体结构的性能。

5　结语

　　本文阐述了美国两本手册中进行Pushover 分析的基本原理,并结合我国抗震规范对一个15层框架-剪力墙结构进行了抗震分析,结果表明,Pushover 方法不仅能够对结构在多遇地震下的弹性反应谱计算结果进行检验,更重要的是可以对结构在遭受罕遇地震后可能出现的破坏状况进行较精确的分析,比现行抗震规范中关于结构在罕遇地震作用下薄弱层(部位)弹塑性变形计算更进一步。

25　　　　　　　　世　界　地　震　工　程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　20卷

与时程分析法相比,Pushover 方法概念清晰,实施相对简单,同样能使设计人员在一定程度上了解结构在强震作用下的反应,迅速找到结构的薄弱环节。

当然,该方法也存在一定的不足之处,比如剪力墙的准确模拟方面,还需要进一步研究。

参考文献:

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3

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