2020年福建省福州市九年级下学期质量检测二检数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．在实数，，2.02002，中，无理数的是（    ）

A． ． ．2.02002 ．

2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）

A． ． ． ．

3．下列运算中，结果可以为的是（    ）

A． ．

C． ．

4．已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ）

A．四边形 ．五边形 ．六边形 ．七边形

5．若，其中为整数，则的值是（    ）

A．1 ．2 ．3 ．4

6．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为（　　）

A． ．

C． ．

7．随机调查某市100名普通职工的个人年收入（单位：元）情况，得到这100人年收入的数据，记这100个数据的平均数为，中位数为，方差为．若将其中一名职工的个人年收入数据换成世界首富的年收入数据，则一定增大，那么对与的判断正确的是（    ）

A．一定增大，可能增大 ．可能不变，一定增大

C．一定不变，一定增大 ．可能增大，可能不变

8．若一个粮仓的三视图如图所示（单位：），则它的体积（参考公式：圆锥：，圆柱：）是（    ）

A． ． ． ．

9．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心，长为半径作，交于点，连接，．若，，则阴影部分的面积是（    ）

A． ． ． ．

10．小明在研究抛物线（为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（    ）

A．无论取何实数，的值都小于0

B．该抛物线的顶点始终在直线上

C．当时，随的增大而增大，则

D．该抛物线上有两点，，若，，则

11．计算：_________．

12．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．若从2，3，4，5中任取3个数，则这3个数能构成一组勾股数的概率是_________．

13．一副三角尺如图摆放，是延长线上一点，是上一点，，，，若∥，则等于_________度．

14．若，则的值是_________．

15．如图，在中，是弧的中点，作点关于弦的对称点，连接并延长交于点，过点作于点，若，则等于_________度．

16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在，轴的负半轴上，，在反比例函数（）的图象上，与轴交于点，且，若的面积是3，则的值是_________．

17．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

18．如图，点、在上，，，．求证：．

19．先化简，再求值：，其中.

20．如图，已知，，分别是射线，上的点．

（1）尺规作图：在的内部确定一点，使得且；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）中，连接，用无刻度直尺在线段上确定一点，使得，并证明．

21．甲，乙两人从一条长为的笔直栈道两端同时出发，各自匀速走完该栈道全程后就地休息．图1是甲出发后行走的路程（单位：）与行走时间（单位：）的函数图象，图2是甲，乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间（单位：）的函数图象．

（1）求甲，乙两人的速度；

（2）求，的值．

22．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案：一户家庭的月均用水量不超过（单位：）的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为此拟召开听证会，以确定一个合理的月均用水量标准．通过抽样，获得了前一年1000户家庭每户的月均用水量（单位：），将这1000个数据按照，，…，分成8组，制成了如图所示的频数分布直方图．

（1）写出的值，并估计这1000户家庭月均用水量的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）

（2）假定该市希望70%的家庭的月均用水量不超过标准，请判断若以（1）中所求得的平均数作为标准是否合理？并说明理由．

23．如图，在中，，，以为直径作交于点，是的中点，连接．点在上，连接并延长交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）连接，求的最大值．

24．已知，，，是边上一点，连接，是上一点，且．

（1）如图1，若，

①求证：平分∠；

②求的值；

（2）如图2，连接，若，求的值．

25．在平面直角坐标系中，抛物线：的对称轴是轴，过点作一直线与抛物线相交于，两点，过点作轴的垂线与直线相交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断点是否在直线上，并说明理由；

（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．过抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线，分别交直线和直线于点，，求的值．

参

1．A

【解析】

【分析】

根据无理数的定义即可求解．

【详解】

∵=2，

∴在实数，，2.02002，中，无理数的是，

故选A．

【点睛】

此题主要考查无理数的识别，解题的关键是熟知无理数的定义．

2．C

【解析】

【分析】

根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3．A

【解析】

【分析】

根据同底数幂的乘除法运算法则计算，一一验证选项的结论即可得到答案；

【详解】

解：A、，故A选项正确；

B、，故B选项错误；

C、，故C选项错误；

D、，故D选项错误；

故选：A；

【点睛】

本题主要考查了同底数幂的乘法除法的运算，掌握同底数幂乘除法运算法则是解题的关键；

4．B

【解析】

【分析】

【详解】

根据多边形内角和定理，n边形的内角和公式为，因此，

由得n=5．故选B．

5．B

【解析】

【分析】

先计算二次根式的减法，然后进行无理数的估算，即可得到答案．

【详解】

解：∵，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次根式的加减运算，以及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握运算法则．

6．D

【解析】

【分析】

直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．

【详解】

解：设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为：

故选：D

【点睛】

考核知识点：二元一次方程组应用.理解题意列出方程是关键.

7．B

【解析】

【分析】

根据平均数、中位数的的概念、方差的计算公式判断即可．

【详解】

解：∵一名职工的个人年收入数据远远小于世界首富的年收入数据，

∴这100个数据的平均数为a一定增大，中位数为b可能不变，

数据的波动一定变大了，方差为c一定增大，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是算术平均数、中位数和方差，掌握它们的概念和计算公式是解题的关键．

8．C

【解析】

【分析】

根据三视图可知，该几何体上班部分是圆锥，下半部分是圆柱，底面是半径为3的圆，圆柱部分高为4，圆锥的高为7-4=3，再根据圆锥：，圆柱：计算即可得到答案；

【详解】

解：根据三视图可知，该几何体上班部分是圆锥，下半部分是圆柱，

底面是半径为3的圆，圆柱部分高为4，圆锥的高为7-4=3，

又底面积为：，

∴，

故选：C；

【点睛】

本题主要考查了几何体的三视图、圆柱和圆锥的体积计算，能从三视图还原几何体是解题的关键；

9．C

【解析】

【分析】

连接AC，根据菱形的性质求出∠BCD和BC=AB=6，求出AE长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．

【详解】

连接AC，

∵ 四边形ABCD是菱形，AB=6，

∴BC=6，

∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，∠BCD=120°，

∵ E是BC的中点，

∴CE=BE=3，AE⊥BC，

同理可得CF=3，AF⊥CD.

由勾股定理得AE=AF=，

∴S阴影＝S△AEC＋S△AFC－S扇形CEF＝＋－＝

故答案为：C．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出ΔAEC、ΔAFC和扇形CEF的面积是解此题的关键．

10．D

【解析】

【分析】

根据抛物线的解析式的性质，对每个选项进行分析即可．

【详解】

A、由函数表达式的性质可得，抛物线的顶点坐标为（h，-h+1），抛物线的最大值为-h+1，若h<1，则y>0，故A项错误；

B、由题可得出抛物线的顶点坐标为（h，-h+1），

当x=h时，代入y=x-1得，故B项错误；

C、由题意得，抛物线在x=h左侧时，随的增大而增大，

∴，故C项错误；

D、∵x12h，

∴x1在x=h左侧且更靠近x=h，

∵在中，x离x=h越近，y值越大，

∴y1>y2，故D项正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握知识点，灵活运用是解题关键．

11．1

【解析】

【分析】

根据负指数幂的计算性质知，；而；再把两个相加，即得到本题答案.

【详解】

解：原式.

故填1.

【点睛】

本题主要考查负指数幂和特殊锐角三角函数的计算. 据负指数的计算公式是易得；而熟记30°、45°、60°的特殊锐角的三角函数值，是得出的根本.

12．

【解析】

【分析】

根据勾股数的概念和概率的计算公式，即可求解．

【详解】

∵从2，3，4，5中任取3个数，一共有4种等可能的情况，只有3，4，5一种情况是勾股数，

∴这3个数能构成一组勾股数的概率是：．

故答案是：．

【点睛】

本题主要考查勾股数和概率公式，熟练掌握上述知识，是解题的关键．

13．15

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理得出∠ACB=60°，∠DEF=45°，再根据两直线平行内错角相等得到∠CEF=∠ACB=60°，根据角的和差求解即可.

【详解】

解：在△ABC中，

∵，，

∴∠ACB=60°.

在△DEF中，

∵∠EDF=90°，，

∴∠DEF=45°.

又∵∥，

∴∠CEF=∠ACB=60°，

∴∠CED=∠CEF-∠DEF=60°-45°=15°.

故答案为：15.

【点睛】

本题考查三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

14．4

【解析】

【分析】

先去括号化简，然后利用完全平方公式进行变形，即可得到答案．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了代数式求值，解题的关键是利用完全平方公式变形进行求值．

15．18

【解析】

【分析】

根据题目已知条件可知，本题考查圆相关知识点，涉及圆周角、圆心角之间的关系，弧的运用，垂径定理多知识点综合运用，需要构造辅助线，利用全等的判别，角的互换解答本题

【详解】

设∠EBF=x,则∠BAE=2x,连接OC交AB于点G,连接OB,BC,OD,如下图所示

∵C是的中点,点O为圆心

∴OCAB（垂径定理）

又∵点C与点D关于弦AB对称

∴CDAB,且C,D,O三点共线，GD=GC

∴∠AGD=∠BGC=90°，GA=GB

故△AGD△BGC（SAS）

∴∠ADG=∠BCG=90°-2x

又∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB=∠ADC=90°-2x

又∵同弧

∠E=∠COB=180°-2∠OBC=180°-2（90°-2x）（在△OCB中）

∵BFAE

在△BEF中，∠E=90°-∠EBF=90°-x

故综上：180°-2（90°-2x）=90°-x

解得x=18°

故本题答案为：18

【点睛】

本题考查圆知识点综合运用，难度较高，需要熟悉垂径定理辅助线做法以及角的等量互换方式即可

16．

【解析】

【分析】

由题意，设点A（，0），B（0，），E（0，c），得到，过点D作DF⊥x轴，与x轴交于点F，过点C作CG⊥DF，与DF相交于点G，然后证明△ABO≌△CGD，△AEO∽△ADF，利用比例求出线段的长度，得到点C、D的坐标，代入反比例函数解析式，得到，即可求出答案．

【详解】

解：由题意，，分别在，轴的负半轴上，点E在y轴上，

设点A（，0），B（0，），E（0，c），

∴OA=，OB=b，OE=c，

∵的面积是3，

∴，

∴；

过点D作DF⊥x轴，与x轴交于点F，过点C作CG⊥DF，与DF相交于点G，

∴DF∥y轴，

∴，

∵AD∥BC，

∴，

∴，

∵∠ABC=∠CDA，

∴∠ABE=∠CDG，

∵∠AOB=∠CGD=90°，AB=CD，

∴△ABO≌△CGD，

∴DG=OB=b，CG=AO=a，

∵DF∥BE，

∴△AEO∽△ADF，

∴，

在Rt△AOE中，勾股定理得

，

∵，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

∴，

∵点C、D在的图像上，

∴，化简得：，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确得到边的关系，从而进行解题．

17．，见解析.

【解析】

【分析】

先求出两个不等式的解集，再求其公共解．

【详解】

解：，

解不等式(1)得，，

解不等式(2)，，

所以，原不等式组的解集为，

在数轴上表示如下：

．

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

18．见解析．

【解析】

【分析】

【详解】

证明：∵，

∴，

即；

又∵， ，

∴；

∴．

19．；.

【解析】

【分析】

把被除式分母利用完全平方公式因式分解，按照分式除法的运算法则计算，再通分整理可得最简结果，把x的值代入计算即可.

【详解】

原式

当时，原式

.

【点睛】

本题考查分式的计算——化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键.

20．（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）画法一：根据作一个角等于已知角，得到OM的平行线，在平行线上截取OA的长度，再作线段垂直平分线即可，点C即为所求作的点；

画法二：根据作一个角等于已知角，得到OM的平行线，作OA的垂直平分线，在平行线上截取BC=OA的长度，点C即为所求作的点；

（2）连接OC，AB交于点D，点D即为所求作的点；利用相似三角形的性质证明即可.

【详解】

解：画法一：

画法二：

如图，点，分别为（1），（2）所求作的点．

（2）证明如下：由（1）得，，

∴，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查复杂作图，熟练掌握基本作图步骤是解题的关键.

21．（1）甲的速度是，乙的速度是；（2），

【解析】

【分析】

（1）根据图1中的数据，可以计算出甲的速度，然后图2中的数据，可以计算出乙的速度，本题得以解决；

（2）根据题意，可知a是甲走完全程用的时间，b是乙走完全程用的时间，然后根据（1）中的结果和全程为200m，即可计算出a和b的值，本题得以解决．

【详解】

解：（1）由图1可得甲的速度是．

由图2可知，当时，甲，乙两人相遇，

故，

解得．

答：甲的速度是，乙的速度是．

（2）由图2可知：乙走完全程用了，甲走完全程用了，

∴，

．

∴的值为，的值为．

【点睛】

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22．（1）100，14.72；（2）不合理，见解析

【解析】

【分析】

（1）先确定a的值，然后求这些数据的加权平均数即可；

（2）由14．72在内，然后确定小于的户数，再求出小于的户数占样本的百分比，最后用这个百分比和70%相比即可说明．

【详解】

解：（1）依题意得a=（1000-40-180-280-220-60-20）÷2=100．

这1000户家庭月均用水量的平均数为：

，

∴估计这1000户家庭月均用水量的平均数是14.72．

（2）不合理．理由如下：

由（1）可得14．72在内，

∴这1000户家庭中月均用水量小于的户数有

（户），

∴这1000户家庭中月均用水量小于的家庭所占的百分比是，

∴月均用水量不超过的户数小于60%．

∵该市希望70%的家庭的月均用水量不超过标准，

而，

∴用14．72作为标准不合理．

【点睛】

本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、加权平均数，正确求得加权平均数是解答本题的关键．

23．（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）连接OD，AD．根据圆周角定理得到∠ADB=90°，求得∠ADC=90°，根据线段中点的定义得到DE=AE，求得∠EAD=∠EDA，根据等腰三角形的性质得到∠OAD=∠ODA，推出OD⊥DE，于是得到结论；

（2）过点F作FH⊥AB于点H，连接OF，得到∠AHF=90°．根据余角的想性质得到∠G=∠BAF，根据相似三角形的性质得到，由垂线段最短可得FH≤OF，当且仅当点H，O重合时等号成立．于是得到结论．

【详解】

（1）证明：连接，．

∵为直径，点在上，

∴，

∴．

∵是的中点，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

即，

∴．

∵是半径的外端点，

∴是的切线．

（2）过点作于点，连接，

∴．

∵为直径，点在上，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

又，

∴，

∴．

由垂线段最短可得，

当且仅当点，重合时等号成立．

∵，

∴上存在点使得，此时点，重合，

∴，

即的最大值为．

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

24．（1）①见解析，②；（2）

【解析】

【分析】

（1）①先利用等腰三角形的性质求出，再得到，故可知，故可求解；

②过点作于点，根据平分，得到，故，利用特殊角的三角函数值即可求解；

（2）证法一：过点作交的延长线于点，连接，证明，得到，，再得到在和是等腰直角三角形，故，，再利用在中，即可求解；

证法二：根据已知条件证明，得到，再利用在中，，则，从而得到，，再利用在中，即可求解．

【详解】

（1）①证明：∵，，

∴．

∵，，

∴，，

∴，

即，

∴平分．

②解：过点作于点，

∴．

∵，

∴．

又平分，

∴，

∴．

在中，，

∴，

∴．

（2）证法一：过点作交的延长线于点，连接，

∴．

又，，

∴，，，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，，

∴．

∵，

∴，

∴，

在和中，

，，

在中，．

证法二：∵，

∴，

∴．

∵，

∴，，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

在中，，

∴，

∴，．

在中，．

【点睛】

此题主要考查等腰三角形、三角函数及相似三角形的综合运用，解题的关键是熟知全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、三角函数的应用及相似三角形的判定与性质．

25．（1）；（2）在，见解析；（3）-8

【解析】

【分析】

（1）由抛物线的对称轴是y轴可列式求出k，即可得到结果；

（2）过的直线与抛物线交于，两点，设直线的解析式为将代入，得，可判断出该方程有两个不相等的实数根，，设，，设出直线的解析式为，设，，，计算可得，即可求出A的坐标，进行判断即可；

（3）根据题意可设直线解析式，依题意得，得到，可求出切线的解析式为，得到，由勾股定理得，代入即可求解；

【详解】

解：（1）∵抛物线的对称轴是轴，

∴且，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为．

（2）点在直线上．

理由如下：∵过的直线与抛物线交于，两点，

∴直线与轴不垂直．

设直线的解析式为，

将代入，得，

∴，

∴该方程有两个不相等的实数根，，

不妨设，，

∴直线的解析式为．

设．

∵轴交直线于点，

∴，

∴．

又方程的解为，

∴，

∴，

即点的纵坐标为－2，

∴点在直线上．

（3）∵切线不过抛物线的顶点，

∴设切线的解析式为．

将代入，得，

依题意得，

即，

∴，

∴切线的解析式为．

当时，，∴．·

当时，，∴．

∵，

∴，

由勾股定理得，

∴

．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的综合应用，结合一元二次方程的根的判别式的求解方法，对二次函数与一元二次方程的结合考查比较全面．