北师大版初一全册经典例题

∴m2﹣2mn+n2=8①，

∵（m+n）2=2，

∴m2+2mn+n2=2②，

①+②得，2m2+2n2=10，

∴m2+n2=5．

故选C．

=2x﹣3．

故选A．

a﹣b=（a+c）﹣（b+c）=16﹣9=7，

故选A．

B、12a2b3c）÷（6ab2）=2abc，故本选项错误；

C、3m2÷（3m﹣1）=，故本选项错误；

D、（x2﹣4x）x﹣1=x﹣4，故本选项正确；

故选D．

∴3x﹣2y=3x÷32y=3x÷（32）y=4÷7=4÷7=．

故选A．

因此，5S﹣S=52013﹣1，

S=．

故选C．

B、（2b﹣5）2=4b2﹣20b+25，故选项错误；

C、（a﹣b）（b﹣a）=﹣（a﹣b）2，故选项正确；

D、a2+2ab+（﹣b）2=（a+b）2，故选项错误．

故选C．

∵平方是非负数，a、b是整数，

∴（a﹣b）2，是非负整数．

故选C．

当x+y=0，xy=﹣2时，原式=1﹣0+（﹣2）=﹣1．

故选A．

∴BA=DA，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°

∴∠BAE=∠DAC

∴△BAE≌△DAC

∴BE=CD

故选A．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

而EC=BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，

整理得16x=48，所以x=3．

故选A．

∴∠1+∠7=90°

同理∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°∠4=45°

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×90°+45°=315°

故选B．

∴△ACB为等腰直角三角形，BC=AC=AE，

∴△ACD≌△AED，

∴CD=DE，

又∵DE⊥AB于点E，

∴△EDB为等腰直角三角形，DE=DB=CD，

∴△DEB的周长=DE+EB+DB=CD+DB+EB=CB+EB=AE+EB=AB=6，

∴周长为6．

故选B．

③SAS判定△ACD≌△ABD，所以D在∠BAC的平分线上．

∴△ABE≌△ACF；

②∵△ABE≌△ACF，

∴∠C=∠B，

∵AB=AC，AE=AF，

∴CE=FB，

∵∠CDE=∠BDF，

∴△BDF≌△CDE；

③连接AD，

∵△BDF≌△CDE，

∴CD=BD，

∵AB=AC，AD=AD，

∴△ACD≌△ABD，

∴∠CAD=∠BAD，

即D在∠BAC的平分线上．

故选D．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，

∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，

∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．

故选A．

∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，

∵2（∠A+∠C）=3∠B，

∴∠B=72°，

∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，

故选C．

故选D．

∵直线a∥b，

∴AE∥BF∥CG∥a∥b，

∴∠8=∠9=30°，

∴∠7=48°﹣∠8=18°，

∴∠6=∠7=18°，

∴∠5=30°﹣∠6=12°，

∴∠4=∠5=12°，

∵∠1=120°，

∴∠2=60°，

∴∠3=∠2=60°，

∴∠DAB=∠3+∠4=60°+12°=72°．

故答案为：72°．

∵1=1×2﹣1，3=2×2﹣1，5=3×2﹣1，

∴故第n幅图有2n﹣1个．

（2）根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案．

∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，

∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，

∵在△DBH和△DCA中

∵，

∴△DBH≌△DCA，

∴BH=AC．

（2）连接CG，

∵F为BC的中点，DB=DC，

∴DF垂直平分BC，

∴BG=CG，

∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，

∴∠AEB=∠CEB，

在△ABE和△CBE中

∵，

∴△ABE≌△CBE，

∴EC=EA，

在Rt△CGE中，由勾股定理得：BG2﹣GE2=EA2．

（2）根据三角形全等得∠AFB=∠DEC，所以是等腰三角形．

∴BE+EF=CF+EF，

即BF=CE．

又∵∠A=∠D，∠B=∠C，

∴△ABF≌△DCE（AAS），

∴AB=DC．

（2）解：△OEF为等腰三角形

理由如下：∵△ABF≌△DCE，

∴∠AFB=∠DEC，

∴OE=OF，

∴△OEF为等腰三角形．

∴∠AED=2∠B（三角形外角的性质），DE=BE（等角对等边），

又∠C=2∠B，

∴∠C=∠AED（等量代换），

在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（AAS），

∴AC=AE，CD=DE（对应边相等），

∴CD=BE（等量代换），

∴AB=AE+EB=AC+CD．

∴∠B=∠E．

在△ABC和△CED中，，

∴△ABC≌△CED．

∴AC=CD．

∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC．

又∵AE=BD，

∴△AEC≌△BDA（SAS）．

∴AD=CE；

（2）由（1）△AEC≌△BDA，得∠ACE=∠BAD，

∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．

∴∠CED=∠BFD=90°，∠AFC=∠AEB=90°．

∵△BDF与△CDE中，

，

∴△BDF≌△CDE（ASA）．

∴DF=DE，BD=CD，∠B=∠C．

∴BE=CF．

∵在△AFC与△AEB中，

，

则△AFC≌△AEB．

∴AE=AF．

（2）将（1）中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论；

（3）一定成立．利用整式的混合运算方法加以证明．

（2）答案不唯一．如n（n+2）﹣（n+1）2=﹣1；（5分）

（3）一定成立．

理由：n（n+2）﹣（n+1）2=n2+2n﹣（n2+2n+1）（7分）

=n2+2n﹣n2﹣2n﹣1=﹣1．（8分）

故n（n+2）﹣（n+1）2=﹣1成立．

故答案为：4×6﹣52=24﹣25=﹣1．

（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．

（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1，

则（2m+1）2﹣（2n+1）2=4（m﹣n）（m+n+1）．

当m，n同是奇数或偶数时，m﹣n一定为偶数，所以4（m﹣n）一定是8的倍数．

当m，n﹣奇﹣偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数

所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．

于是分母变为n2﹣（n﹣1）（n+1）．

应用平方差公式化简得

n2﹣（n2﹣12）=n2﹣n2+1=1，

即原式分母的值是1，

所以原式=24690．

∵a、b、c是三个连续的正整数（a＜b＜c），

∴a=b﹣1，c=b+1，

∴以c、a为长和宽作长方形的面积为ac=（b﹣1）（b+1）=b2﹣1，

∴b2﹣1＜b2，

∴以b为边长的正方形面积大．