2019年江苏省镇江市中考数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）

1．（2分）﹣2019的相反数是　   　．

2．（2分）27的立方根为　   　．

3．（2分）一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝　   　．

4．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　   　．

5．（2分）氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法把0.00000000005表示为　   　．

6．（2分）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1　   　y2．（填“＞”或“＜”）

7．（2分）计算：﹣＝　   　．

8．（2分）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝　   　°．

9．（2分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于　   　．

10．（2分）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝　   　．（结果保留根号）

11．（2分）如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是　   　°．

12．（2分）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是　   　．

二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）

13．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a6 B．a7÷a3＝a4 C．（a3）5＝a8 D．（ab）2＝ab2

14．（3分）一个物体如图所示，它的俯视图是（　　）

A． B．    

C． D．

15．（3分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

16．（3分）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（　　）

A．    

B．    

C．    

D．

17．（3分）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（　　）

A． B． C． D．3

三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

18．（8分）（1）计算：（﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°；

（2）化简：（1+）÷．

19．（10分）（1）解方程：＝+1；

（2）解不等式：4（x﹣1）﹣＜x

20．（6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．

（1）求证：△AGE≌△CHF；

（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．

21．（6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．

22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．

（1）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝　   　．

23．（6分）如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y＝（m＞0，x＞0）图象上的两点，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA，OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE＝3：4．

（1）S△OAB＝　   　，m＝　   　；

（2）已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．

24．（6分）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．

（1）∠ABC＝　   　°；

（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．

参考值：sin78°≈0.98，cos78°＝0.21，tan78°≈4.7．

25．（6分）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．

各类别的得分表

（1）九（2）班学生得分的中位数是　   　；

（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？

26．（6分）【材料阅读】

地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．

【实际应用】

观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．

（1）求∠POB的度数；

（2）已知OP＝00km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．（π取3.1）

27．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．

（1）点D的坐标是　   　；

（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．

①当n＝时，求DP的长；

②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围　   　．

28．（11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．

在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．

兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．

【观察】

①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　   　个单位长度；

②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　   　个单位长度；

【发现】

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．

①a＝　   　；

②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；

【拓展】

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．

若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　   　．（直接写出结果）

2019年江苏省镇江市中考数学试卷

参与试题解析

一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）

1．（2分）﹣2019的相反数是　2019　．

【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．

【解答】解：﹣2019的相反数是：2019．

故答案为：2019．

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．

2．（2分）27的立方根为　3　．

【分析】找到立方等于27的数即可．

【解答】解：∵33＝27，

∴27的立方根是3，

故答案为：3．

【点评】考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．

3．（2分）一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝　5　．

【分析】根据众数的概念求解可得．

【解答】解：∵数据4，3，x，1，5的众数是5，

∴x＝5，

故答案为：5．

【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

4．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　x≥4　．

【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．

【解答】解：由题意得x﹣4≥0，

解得x≥4．

故答案为：x≥4．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

5．（2分）氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法把0.00000000005表示为　5×10﹣11　．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10﹣11．

故答案为：5×10﹣11．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

6．（2分）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1　＜　y2．（填“＞”或“＜”）

【分析】反比例函数y＝﹣的图象在第二象限，在第二象限内，y随x的增大而增大，根据x的值大小，得出y值大小．

【解答】解：∵反比例函数y＝﹣的图象在二、四象限，而A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在第二象限，

∴在第二象限内，y随x的增大而增大，

∵﹣2＜﹣1

∴y1＜y2．

故答案为：＜

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大，由x的值变化得出y的值变化情况；也可以把x的值分别代入关系式求出y1、y2再作比较亦可．

7．（2分）计算：﹣＝　　．

【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．

【解答】解：＝2﹣＝．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．

8．（2分）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝　40　°．

【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC＝60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．

【解答】解：∵△BCD是等边三角形，

∴∠BDC＝60°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠BDC＝60°，

由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，

故答案为：40．

【点评】本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质，掌握三角形的三个内角都是60°是解题的关键．

9．（2分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于　1　．

【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．

【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，

解得m＝1．

故答案为1．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

10．（2分）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝　﹣1　．（结果保留根号）

【分析】先根据正方形的性质得到CD＝1，∠CDA＝90°，再利用旋转的性质得CF＝，根据正方形的性质得∠CFDE＝45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF﹣CD即可．

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴CD＝1，∠CDA＝90°，

∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，

∴CF＝，∠CFDE＝45°，

∴△DFH为等腰直角三角形，

∴DH＝DF＝CF﹣CD＝﹣1．

故答案为﹣1．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．

11．（2分）如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是　80　°．

【分析】先根据题意求出转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于360°计算即可．

【解答】解：设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x，

根据题意得：，

解得，

∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：360°×＝80°．

故答案为：80．

【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

12．（2分）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是　　．

【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x＝代入代数式即可求得．

【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，

∴＝﹣＝﹣2

∵线段AB的长不大于4，

∴4a+1≥3

∴a≥

∴a2+a+1的最小值为：（）2++1＝；

故答案为．

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．

二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）

13．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a6 B．a7÷a3＝a4 C．（a3）5＝a8 D．（ab）2＝ab2

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；

B、a7÷a3＝a4，正确；

C、（a3）5＝a15，故此选项错误；

D、（ab）2＝a2b2，故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

14．（3分）一个物体如图所示，它的俯视图是（　　）

A． B．    

C． D．

【分析】从图形的上方观察即可求解；

【解答】解：俯视图从图形上方观察即可得到，

故选：D．

【点评】本题考查几何体的三视图；熟练掌握组合体图形的观察方法是解题的关键．

15．（3分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．

【解答】解：连接AC，

∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，

∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，

∵＝，

∴∠CAB＝∠DAB＝35°，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，

故选：A．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

16．（3分）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（　　）

A．    

B．    

C．    

D．

【分析】由数轴上解集左端点得出a的值，代入第二个不等式，解之求出x的另外一个范围，结合数轴即可判断．

【解答】解：由x+2＞a得x＞a﹣2，

A．由数轴知x＞﹣3，则a＝﹣1，∴﹣3x﹣6＜0，解得x＞﹣2，与数轴不符；

B．由数轴知x＞0，则a＝2，∴3x﹣6＜0，解得x＜2，与数轴相符合；

C．由数轴知x＞2，则a＝4，∴7x﹣6＜0，解得x＜，与数轴不符；

D．由数轴知x＞﹣2，则a＝0，∴﹣x﹣6＜0，解得x＞﹣6，与数轴不符；

故选：B．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解集在数轴上的表示及解一元一次不等式的能力．

17．（3分）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（　　）

A． B． C． D．3

【分析】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．首先说明点G与点F重合时，FG的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．

【解答】解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．

∵E（﹣2，0），F（0，6），

∴OE＝2，OF＝6，

∴EF＝＝2，

∵∠FGE＝90°，

∴FG≤EF，

∴当点G与E重合时，FG的值最大．

如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．

∵PA＝PB，BE＝EC＝a，

∴PE∥AC，BJ＝JH，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BH＝DH＝，BJ＝，

∴PE⊥BD，

∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，

∴∠EBJ＝∠FEO，

∴△BJE∽△EOF，

∴＝，

∴＝，

∴a＝，

∴BC＝2a＝，

故选：A．

【点评】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

18．（8分）（1）计算：（﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°；

（2）化简：（1+）÷．

【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；

（2）根据分式的混合运算法则计算．

【解答】解：（1）（﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°

＝1+3﹣2

＝2；

（2）（1+）÷

＝（+）÷

＝•

＝x+1．

【点评】本题考查的是分式的混合运算、实数的混合运算，掌握它们的运算法则是解题的关键．

19．（10分）（1）解方程：＝+1；

（2）解不等式：4（x﹣1）﹣＜x

【分析】（1）方程两边同乘以（x﹣2）化成整式方程求解，注意检验；

（2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可．

【解答】解；（1）方程两边同乘以（x﹣2）得

2x＝3+x﹣2

∴x＝1

检验：将x＝1代入（x﹣2）得1﹣2＝﹣1≠0

x＝1是原方程的解．

∴原方程的解是x＝1．

（2）化简4（x﹣1）﹣＜x得

4x﹣4﹣＜x

∴3x＜

∴x＜

∴原不等式的解集为x＜．

【点评】本题分别考查了分式方程和一元一次不等式的求解问题，属于基础题型．

20．（6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．

（1）求证：△AGE≌△CHF；

（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．

【分析】（1）由垂线的性质得出∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG＝∠CFH，由AAS即可得出△AGE≌△CHF；

（2）连接AH、CG，由全等三角形的性质得出AG＝CH，证出四边形AHCG是平行四边形，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，

∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，

∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠BFE，

∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，

∴∠AEG＝∠CFH，

在△AGE和△CHF中，，

∴△AGE≌△CHF（AAS）；

（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：

连接AH、CG，如图所示：

由（1）得：△AGE≌△CHF，

∴AG＝CH，

∵AG∥CH，

∴四边形AHCG是平行四边形，

∴线段GH与AC互相平分．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

21．（6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．

【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：根据题意画树状图如下：

共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，

则小丽和小明在同一天值日的概率是＝．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．

（1）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝　　．

【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠D，证出∠OBD+∠ABC＝90°，得出AB⊥OB，即可得出结论；

（2）由勾股定理得出OA＝＝13，得出OC＝OA﹣AC＝8，再由三角函数定义即可得出结果．

【解答】（1）证明：连接AB，如图所示：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠ACB＝∠OCD，

∴∠ABC＝∠OCD，

∵OD⊥AO，

∴∠COD＝90°，

∴∠D+∠OCD＝90°，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠D，

∴∠OBD+∠ABC＝90°，

即∠ABO＝90°，

∴AB⊥OB，

∵点B在圆O上，

∴直线AB与⊙O相切；

（2）解：∵∠ABO＝90°，

∴OA＝＝＝13，

∵AC＝AB＝5，

∴OC＝OA﹣AC＝8，

∴tan∠BDO＝＝＝；

故答案为：．

【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握切线的判定方法和等腰三角形的性质是解题的关键

23．（6分）如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y＝（m＞0，x＞0）图象上的两点，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA，OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE＝3：4．

（1）S△OAB＝　3　，m＝　8　；

（2）已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．

【分析】（1）由一次函数解析式求得点B的坐标，易得OB的长度，结合点A的坐标和三角形面积公式求得S△OAB＝3，所以S△ODE＝4，由反比例函数系数k的几何意义求得m的值；

（2）利用待定系数法确定直线AC函数关系式，易得点C的坐标；利用∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°判定△CBO∽△PDE，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE、DE的长度，易得点D的坐标．

【解答】解：（1）由一次函数y＝kx+3知，B（0，3）．

又点A的坐标是（2，n），

∴S△OAB＝×3×2＝3．

∵S△OAB：S△ODE＝3：4．

∴S△ODE＝4．

∵点D是反比例函数y＝（m＞0，x＞0）图象上的点，

∴m＝S△ODE＝4，则m＝8．

故答案是：3；8；

（2）由（1）知，反比例函数解析式是y＝．

∴2n＝8，即n＝4．

故A（2，4），将其代入y＝kx+3得到：2k+3＝4．

解得k＝．

∴直线AC的解析式是：y＝x+3．

令y＝0，则x+3＝0，

∴x＝﹣6，

∴C（﹣6，0）．

∴OC＝6．

由（1）知，OB＝3．

设D（a，b），则DE＝b，PE＝a﹣6．

∵∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°，

∴△CBO∽△PDE，

∴＝，即＝①，

又ab＝8 ②．

联立①②，得（舍去）或．

故D（8，1）．

【点评】考查了反比例函数综合题，需要掌握待定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，但是难度不是很大．

24．（6分）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．

（1）∠ABC＝　30　°；

（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．

参考值：sin78°≈0.98，cos78°＝0.21，tan78°≈4.7．

【分析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；

（2）作CQ⊥AB于Q，根据正弦的定义求出QC，根据直角三角形的性质求出BC，结合图形计算即可．

【解答】解：（1）∵五边形ABDEF是正五边形，

∴∠BAF＝＝108°，

∴∠ABC＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，

故答案为：30；

（2）作CQ⊥AB于Q，

在Rt△AQC中，sin∠QAC＝，

∴QC＝AC•sin∠QAC≈10×0.98＝9.8，

在Rt△BQC中，∠ABC＝30°，

∴BC＝2QC＝19.6，

∴GC＝BC﹣BG＝9.6．

【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形的应用，掌握正多边形的性质、正弦的定义是解题的关键．

25．（6分）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．

各类别的得分表

（1）九（2）班学生得分的中位数是　6分　；

（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？

【分析】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D类，所以中位数是6分；

（2）先求出两个班一共有多少学生，减去九（2）班的学生数，得出九（1）班的学生数，再根据条形图，用九（1）班的学生数分别减去该班A、D两类的学生数得到B类和C类的人数和，再结合九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，即可求解．

【解答】解：（1）由条形图可知九（2）班一共有学生：3+6+12+27＝48人，

将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D类，所以中位数是6分．

故答案为6分；

（2）两个班一共有学生：（22+27）÷50%＝98（人），

九（1）班有学生：98﹣48＝50（人）．

设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是x人、y人．

由题意，得，

解得．

答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是6人、17人．

【点评】本题考查的是统计图表与条形图的综合运用．读懂统计图表，从统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．也考查了中位数与平均数．

26．（6分）【材料阅读】

地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．

【实际应用】

观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．

（1）求∠POB的度数；

（2）已知OP＝00km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．（π取3.1）

【分析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，则∠DHC＝67°，证出∠HBD＝∠DHC＝67°，由平行线的性质得出∠BEO＝∠HBD＝67°，由直角三角形的性质得出∠BOE＝23°，得出∠POB＝90°﹣23°＝67°；

（2）同（1）可证∠POA＝31°，求出∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝36°，由弧长公式即可得出结果．

【解答】解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示：

则∠DHC＝67°，

∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°，

∴∠HBD＝∠DHC＝67°，

∵ON∥BH，

∴∠BEO＝∠HBD＝67°，

∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°，

∵PQ⊥ON，

∴∠POE＝90°，

∴∠POB＝90°﹣23°＝67°；

（2）同（1）可证∠POA＝31°，

∴∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝67°﹣31°＝36°，

∴＝＝3968（km）．

【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．

27．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．

（1）点D的坐标是　（2，9）　；

（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．

①当n＝时，求DP的长；

②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围　＜n＜　．

【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；

（2）由对称轴可知点C（2，），A（﹣，0），点A关于对称轴对称的点（，0），借助AD的直线解析式求得B（5，3）；①当n＝时，N（2，），可求DA＝，DN＝，CD＝当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，DP＝9；当PQ与AB不平行时，DP＝9；②当PQ∥AB，DB＝DP时，DB＝3，DN＝，所以N（2，），则有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，＜n＜；

【解答】解：（1）顶点为D（2，9）；

故答案为（2，9）；

（2）对称轴x＝2，

∴C（2，），

由已知可求A（﹣，0），

点A关于x＝2对称点为（，0），

则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13，

∴B（5，3），

①当n＝时，N（2，），

∴DA＝，DN＝，CD＝

当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，

∵△DAC∽△DPN，

∴，

∴DP＝9；

当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，

∴△DNQ∽△DCA，

∴，

∴DP＝9；

综上所述，DN＝9；

②当PQ∥AB，DB＝DP时，

DB＝3，

∴，

∴DN＝，

∴N（2，），

∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，＜n＜；

故答案为＜n＜；

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．

28．（11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．

在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．

兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．

【观察】

①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　90　个单位长度；

②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　120　个单位长度；

【发现】

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．

①a＝　50　；

②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；

【拓展】

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．

若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　48≤x＜75　．（直接写出结果）

【分析】【观察】①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；

②此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；

【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列方程即可得到结论；

②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列函数解析式即可得到结论；

【拓展】由题意得到x+y+150+150＝（150﹣x+150﹣y），得到y＝﹣5x+300，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论．

【解答】解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，

∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度，

设机器人甲的速度为v，

∴机器人乙的速度为v＝4v，

∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，

机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为＝，而，

∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，

机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，

设此时相遇点距点A为m个单位，

根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），

∴m＝90，

故答案为：90；

②∵相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，

∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣40＝110个单位长度，

设机器人甲的速度为v，

∴机器人乙的速度为v＝v，

∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为＝，

机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而，

∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A，再到点B，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，

设此时相遇点距点A为m个单位，

根据题意得，40+150+150﹣m＝（m﹣40），

∴m＝120，

故答案为：120；

【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，

设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，

根据题意知，x+150＝（150﹣x），

∴x＝50，

经检验：x＝50是分式方程的根，

即：a＝50，

故答案为：50；

②当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上，

∴线段OP的表达式为y＝3x，

当v＜v时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时，

设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，

根据题意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），

∴y＝﹣3x+300，

即：y＝，

补全图形如图2所示，

【拓展】如图，由题意知，x+y+150+150＝（150﹣x+150﹣y），

∴y＝﹣5x+300，

∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，

∴﹣5x+300≤60，

∴x≥48，

∵x＜75，

∴48≤x＜75，

故答案为48≤x＜75．

【点评】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．