2017-2018学年上海市静安区高一(下)期末数学试卷(解析版)

一、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知200°的圆心角所对的弧长等于50cm，则该圆的半径为______cm．

2.方程3sinx-1=0在区间（0，2π）的解为______．

3.若=，则sin2α的值为______．

4.命题“数列的前n项和Sn=3n2+n（n∈N*）”成立的充要条件是______（填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母n）

5.假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数r，则r=______（精确到0.1%）

6.已知数列{an}的通项公式an=（n∈N*），那么使得其前n项和Sn大于7.999的n的最小值为______．

7.函数y=cosx（sinx-cosx）（x∈R）的最大值为______．

8.如图，动点P在以O为圆心，半径为1米的圆周上运动，从最低点M开始计时，用时4分钟逆时针匀速旋转一圈后停止，设点P的纵坐标y（米）关于时间t（分）的函数为y=f（t）．则该函数的图象大致为______（请注明关键点）

9.（1）设α≠kπ+（k∈Z），直接用任意角的三角比定义证明：sec2α-tan2α=1．

（2）给出两个公式：①tanα=，②cos（）=sinα．

请仅以上述两个公式为已知条件证明：tan（）=．

10.已知余切函数f（x）=cotx．

（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）

（2）求证：余切函数f（x）=cotx在区间（0，π）上单调递减．

11.设数列{an}的前n项和为Sn，对于n∈N*，（q-1）Sn=qan-a1，其中q是常数．

（1）试讨论：数列{an}在什么条件下为等比数列，请说明理由；

（2）设a1=32，且对任意的n∈N*，bn=log2an有意义，数列{bn}的前n项和为Tn，若T19=19，求Tn的最大值．

12.如图是一景区的截面图，AB是可以行走的斜坡，已知AB=2百米，BC是没有人行路（不能攀登）的斜坡，CD是斜坡上的一段陡峭的山崖．假设你（看做一点）在斜坡AB上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）．

（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡BC的长的方案，用字母表示所测量的角，计算出BC的长，并化简；

（2）设BC=3百米，AC=百米，∠DBA=，∠BAD=arccos，求山崖CD的长．（精确到米）

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：圆心角200°=200×=π，

∵弧长为50=πr，

∴r=（cm），

即该圆的半径长cm．

故答案为：．

先将角度化为弧度，再根据弧长公式即可即可．

本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，是基础题．

2.【答案】arcsin或

【解析】

解：由3sinx-1=0，

得sinx=，

∴x=2kπ+arcsin，

或x=（2k+1）π-arcsin，k∈Z；

∴方程在区间（0，2π）的解为：

x=arcsin或x=π-arcsin．

故答案为：arcsin或π-arcsin．

由题意求得sinx=，利用反三角函数求出方程在区间（0，2π）的解即可．

本题考查了三角函数方程的解法与应用问题，是基础题．

3.【答案】

【解析】

解：由=，得，

∴，则sin，

两边平方得：，即sin2α=-．

故答案为：．

把已知等式展开二倍角余弦及两角和的余弦，整理后两边平方求解．

本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．

4.【答案】数列为等差数列且a1=4，d=6，（答案不唯一）

【解析】

解：根据题意，设该数列为{an}，

若数列的前n项和Sn=3n2+n，则当n=1时，a1=S1=4，

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=6n-2，

当n=1时，a1=4符合an=6n-2，

故有数列为等差数列且a1=4，d=6，

反之当数列为等差数列且a1=4，d=6时，an=6n-2，Sn==3n2+n；

故数列的前n项和Sn=3n2+n（n∈N*）”成立的充要条件是数列为等差数列且a1=4，d=6，

故答案为：数列为等差数列且a1=4，d=6．

根据题意，设该数列为{an}，由数列的前n项和公式分析可得数列为等差数列且a1=4，d=6，反之验证可得Sn=3n2+n成立，综合即可得答案．

本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题．

5.【答案】7.2%

【解析】

解：根据题意，设10年前的国民生产总值为a，则10年后的国民生产总值为2a， 

则有a（1+r%）10=2a， 

即（1+r%）10=2， 

解可得：r≈7.2， 

故答案为：7.2．

根据题意，设10年前的国民生产总值为a，则10年后的国民生产总值为2a，结合题意可得a（1+r%）10=2a，解可得r的值，即可得答案．

本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于r的方程，属于基础题．

6.【答案】13

【解析】

解：列{an}的通项公式an=（n∈N*），

则：，

所以：当时，

即：，

当n=13时，成立，

即：n的最小值为13．

故答案为：13

直接利用数列的通项公式，建立不等式，解不等式求出结果．

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

7.【答案】

【解析】

解：函数y=cosx（sinx-cosx）=sin2x-cos2x-=sin（2x-）

当sin（2x）=1时，y取得最大值为．

故答案为：．

利用三角函数化简，结合三角函数的有界限可得答案．

本题考查三角函数的有界性，化简能力，考查转化思想以及计算能力．

8.【答案】

【解析】

解：设y=f（t）=Asin（ωt+φ）+b，t≥0，

∴A=1，T=4，ω==，t=0时，φ=-，b=0

∴y=f（t）=sin（t-），

故答案为：

根据题意先得出y=f（t）=sin（t-），再画图．

本题考查了函数的图象与图象的变换．属中档题．

9.【答案】解：（1）证明：设α≠kπ+（k∈Z），在α的中边上任意取一点P（x，y），r=|OP|=，

sec2α-tan2α=-=-==1，即sec2α-tan2α=1．

（2）证明：∵①tanα=，②cos（）=sinα．

∴：tan（）===cotα=，即tan（）=．

【解析】

（1）直接利用任意角的三角函数的定义证得sec2α-tan2α=1．

（2）由已知条件利用诱导公式，证明tan（）=．

本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．

10.【答案】解：（1）余切函数f（x）=cotx，为奇函数，

最小正周期为π，单调递减区间为（kπ，kπ+π）（k∈Z）；

证明：（2）余切函数f（x）=cotx在区间（0，π）设x1和x2，

则：cotx2-cotx1=，

=，

由于：0＜x1＜x2＜π，

则：-π＜x1-x2＜0，

从而得到：sin（x1-x2）＜0，sinx1•sinx2＞0，

故：cotx2＜cotx1，

所以函数在（0，π）为单调递减函数．

【解析】

（1）直接利用函数的性质写出结果． 

（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果．

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

11.【答案】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，对于n∈N*，（q-1）Sn=qan-a1，①

当n≥2时，（q-1）Sn-1=qan-1-a1②，

①-②得：（q-1）an=qan-qan-1，

即：an=qan-1，

所以：，

所以：当a1≠0，q≠0时，数列{an}为等比数列．

（2）由（1）得： 

所以：bn=5+（n-1）log2q，

由于：T19=19，

所以：，

即：，

由bn=5+（n-1）log2q≥0，

解得：n≤12.25，

故：．

【解析】

（1）以定义证明数列为等比数列． 

（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的和及最大值．

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

12.【答案】解：（1）由题意，可测得∠CAB=α，∠ABC=β，

在△ABC中，由正弦定理得， =，

即=，

解得BC=；

（2）解法一，在△ABC中，AB=2百米，BC=3百米，AC=百米，

由余弦定理，可得cos∠ABC===-，

∴∠ABC=；如图所示，

在△DBA中，∠DBA=，∠BAD=arccos，

∴tan∠BAD=2，BD=4；

又∵∠CBD=∠ABC-∠DBA=；

在△BCD中，由余弦定理得CD=≈205（米），

∴山崖CD的长度约为206米．

解法二，在Rt△ABD中，求得AD=2，

在△ABC中，由余弦定理得cos∠CAB=，

∴sin∠CAB=，

再由∠DAB=arccos，

可求得cos∠DAB=，sin∠DAB=，

∴cos∠DAC=cos（∠DAB-∠CAB）=×+×=；

在△ACD中，由余弦定理，得CD=≈205，

所以山崖CD的长度约为205米．

【解析】

（1）由题意测得∠CAB=α，∠ABC=β，在△ABC中利用正弦定理求得BC的值； 

（2）解法一，△ABC中由余弦定理求得∠ABC，Rt△DBA中求得BD和∠CBD的值，在△BCD中利用余弦定理求得CD的值． 

解法二，Rt△ABD中求得AD，△ABC中利用余弦定理求得cos∠CAB，利用三角恒等变换求得cos∠DAC，在△ACD中利用余弦定理求得CD的值．

本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了三角函数模型应用问题，是中档题．