2019年新课标全国卷(1、2、3卷)理科数学备考宝典专题10+数列

10．数列

一、2018年考试大纲

二、新课标全国卷命题分析

三、典型高考试题讲评

2011—2018年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——10．数列

一、考试大纲

1．数列的概念和简单表示法

(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式). 

(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数. 

2．等差数列、等比数列 

(1)理解等差数列、等比数列的概念. 

(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式. 

(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 

(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 

二、新课标全国卷命题分析

数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰：（1）等差数列通向公式及其前项和；（2）等比数列通向公式及其前项和；（3）错位相减法、裂项相消法等求数列的前项和等等．数列在大学中有着特殊位置，《微积分》中的无穷级数，《数论》中扩展的数列都有涉猎，数列还是比较重要的知识今年没有出等比数列的知识，是比较不足的地方，望考生从等比数列和等差数列两方面出题，2019年若是在出数列，有可能出现“错位相减法求和”，因为考查学生运用数学思想去解决问题，考查考生的内在数学涵养。

三、典型高考试题讲评

题型1 等差数列与等比数列的基本量

例1  (2018·新课标Ⅰ，理4)记为等差数列的前项和，若，，则（  ）

A．      B.       C.       D. 

解析：且为等差数列的前项和.

      ，即，又，，

     ， 故选B

【解题技巧】等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式，共涉及到五个量，，，或，，，知道其中三个就可以求另外两个，体现方程的思想，在求解此类问题时，使用，或建立方程是基本方法。

题型2 等差、等比数列的性质及其应用

例2.（2015全国Ⅱ，理4）等比数列满足，，则（   ）

A.           B.         C.          D. 

解析：由题意可设等比数列的公比为，则由得，.又因为，所以.解得或（舍去），所以.故选B. 

【解题技巧】（1）等比数列中常用的性质：；若，则．

（2）等差数列中常用的性质：；若，则．

（3）在等差数列中，为其前项和，则：

①数列，，，…也是等差数列；  ②为等差数列；

③；；

④若，分别是等差数列，的前项和，则．

题型3  证明数列是等差、等比数列

例3 （2016·新课标Ⅲ，理17）已知数列的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．

(1) 证明是等比数列，并求其通项公式；

(2) 若，求λ．

解析：(1)， 

当时，，即，

即，即，

∴是等比数列，公比，

当n=1时，，即，.

（2）若，    则，    .

题型4  数列求通项与数列求和

例4.（2015全国1理17）为数列的前项和，已知，.

（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．

解析（1）由①

可得②

式①－式②得．又因为，所以．

当时，，即，解得或（舍去），

所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为．

（2）由可得．

记数列前项和为，则

．

【解题技巧】（1）利用与的关系求数列的通项公式，注意验证是否满足；

（2）裂项相消法求和是一种常见的数列求和方法，将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，从而达到求和的目的。常见的裂项相消的方式有：

①；②；③；

④；

题型5  数列与函数、不等式的综合

例5 （2014·新课标Ⅱ，17）已知数列{an}满足a1 =1，an+1 =3 an +1.

（Ⅰ）证明是等比数列，并求{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：.

解析：（Ⅰ）证明：∵，∴，即：，又，∴是以为首项，3为公比的等比数列．∴，即．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，∴，

∴，

故：．

2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编

10．数列

一、选择题

(2018·新课标Ⅰ，理4)记为等差数列的前项和，若，，则（  ）

A．      B.       C.       D. 

（2017·新课标Ⅰ，4）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（   ）

A．1                B．2                C．4                D．8

（2017·新课标Ⅰ，12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（   ）

A．440                  B．330                  C．220                  D．110

（2017·新课标Ⅱ，3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ）

A．1盏               B．3盏             C．5盏                 D．9盏

（2017·新课标Ⅲ，9）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（   ）

A．            B．                C．3            D．8

（2016·新课标Ⅰ，3）已知等差数列前项的和为，，则（    ）

A．            B．            C．        D．

（2016·新课标Ⅲ，12）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（　　）

A．18个        B．16个        C．14个        D．12个

（2015·新课标Ⅱ，4）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =（    ）

A．21            B．42            C．63            D．84

（2013·新课标Ⅰ，7）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)．

A．3      B．4      C．5      D．6

（2013·新课标Ⅰ，12）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，…

若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则(　　)．

A．{Sn}为递减数列                       B．{Sn}为递增数列

C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列    D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

（2013·新课标Ⅱ，3）等比数列的前项和为，已知，，则（    ）

A.             B.            C.            D. 

（2012·新课标Ⅰ，5）已知{}为等比数列，，，则（   ）

A．7             B．5                  C．－5                 D．－7

（2012·新课标Ⅱ，5）已知{an}为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（    ）

A. 7            B. 5            C. -5        D. -7

二、填空题

 (2018·新课标Ⅰ，理14) 14.记为数列的前项和，若. 则            .

（2017·新课标Ⅱ，15）等差数列的前项和为，，，则          ．

（2017·新课标Ⅲ，14）设等比数列满足，，则___________．

（2016·新课标Ⅰ，15）设等比数列满足，，则的最大值为      ．

（2015·新课标Ⅱ，16）设Sn是数列{an}的前项和，且，，则Sn=________________．

（2013·新课标Ⅰ，14）若数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式是an＝__________.

（2013·新课标Ⅱ，16）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为____.

（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，16）数列{}满足，则{}的前60项和为______．

三、解答题

（2018·新课标Ⅱ，17）记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．

（2018·新课标Ⅲ，理17）等比数列中，．

（1）的通项公式；⑵记为的前项和．若，求．

（2016·新课标Ⅱ，17）（满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28. 记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.

（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1 000项和.

（2016·新课标Ⅲ，17）(本小题满分12分)已知数列的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．

(1) 证明是等比数列，并求其通项公式；(2) 若，求λ．

（2015·新课标Ⅰ，17）为数列的前项和.已知＞0，.

（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.

（2014·新课标Ⅰ，17）已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.

(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.

（2014·新课标Ⅱ，17）已知数列{an}满足a1 =1，an+1 =3 an +1.

（Ⅰ）证明是等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：.

（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，17）等比数列的各项均为正数，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和.

2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编

10．数列（解析版）

一、选择题

(2018·新课标Ⅰ，理4)记为等差数列的前项和，若，，则（  ）

A．      B.       C.       D. 

【答案】B 解析：且为等差数列的前项和.

            ，即，又，，

             ， 故选B

（2017·新课标Ⅰ，4）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（   ）

A．1                B．2                C．4                D．8

【答案】C 解析：，，联立求得

得，，，选C；

（2017·新课标Ⅰ，12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（   ）

A．440                  B．330                  C．220                  D．110

【答案】A 解析：设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．

设第组的项数为，则组的项数和为，由题，，令→且，即出现在第13组之后，第组的和为，组总共的和为，

若要使前项和为2的整数幂，则项的和应与互为相反数，

即，，→，则，

故选A；

（2017·新课标Ⅱ，3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ）

A．1盏               B．3盏             C．5盏                 D．9盏

【答案】B 解析：一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得.

（2017·新课标Ⅲ，9）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（   ）

A．            B．                C．3            D．8

【答案】A 解析：因为为等差数列，且成等比数列，设公差为.

则，即，

又因为，代入上式可得又，则，

所以.故选A.

（2016·新课标Ⅰ，3）已知等差数列前项的和为，，则（    ）

A．            B．            C．        D．

【答案】C 解析：由等差数列性质可知：，故，而，因此公差

 ∴．故选C．

（2016·新课标Ⅲ，12）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（　　）

A．18个        B．16个        C．14个        D．12个

【答案】C 解析：，共14个，故选C.

（2015·新课标Ⅱ，4）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =（    ）

A．21            B．42            C．63            D．84

【答案】B 解析：设等比数列公比为q，则a1+a1q2+a1q4=21，又因为a1=3，所以q4+q2-6=0，解得q2=2，所以a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42，故选B.

（2013·新课标Ⅰ，7）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)．

A．3      B．4      C．5      D．6

【答案】C 解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.     ∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.   ∵Sm＝ma1＋×1＝0，∴.

又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴.    ∴m＝5.故选C.

（2013·新课标Ⅰ，12）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则(　　)．

A．{Sn}为递减数列                       B．{Sn}为递增数列

C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列    D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

【答案】B 解析：略.

（2013·新课标Ⅱ，3）等比数列的前项和为，已知，，则（    ）

A.             B.            C.            D. 

【答案】C 解析：解析：由S3=a2+10a1，得，a1+a2+a3=a2+10a1即，a3=9a1，亦即a1q2=9a1，解得q2=9. ∵a5=a1·q4=9，即81a1=9，∴a1=.

（2012·新课标Ⅰ，5）已知{}为等比数列，，，则（   ）

A．7             B．5                  C．－5                 D．－7

【答案】D 解析：因为{}为等比数列，所以由已知得，解得或，

所以或，因此，故选择D．

（2012·新课标Ⅱ，5）已知{an}为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（    ）

A. 7            B. 5            C. -5        D. -7

【答案】D 解析：，，或，成等比数列，.

【答案】   解析：

二、填空题

 (2018·新课标Ⅰ，理14) 14.记为数列的前项和，若. 则            .

【答案】   解析：时，，即，解得；

当时，，所以；

数列是以为首项，为公比的等比数列， .

（2017·新课标Ⅱ，15）等差数列的前项和为，，，则          ．

【答案】解析：∵， ，∴，∵，∴∴，∵  ∴  ∴

∴， ∴

（2017·新课标Ⅲ，14）设等比数列满足，，则___________．

【答案】  解析：因为为等比数列，设公比为．

，即，显然，，得，即，代入式可得，

所以．

（2016·新课标Ⅰ，15）设等比数列满足，，则的最大值为      ．

【答案】  解析：由于是等比数列，设，其中是首项，是公比．

∴，解得：．故，∴

，当或时，取到最小值，此时取到最大值．所以的最大值为．

（2015·新课标Ⅱ，16）设Sn是数列{an}的前项和，且，，则Sn=________________．

【答案】 解析：由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．

（2013·新课标Ⅰ，14）若数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式是an＝__________.

【答案】  解析：∵，①       ∴当n≥2时，.②

①－②，得，即＝－2，∵a1＝S1＝，∴a1＝1.

∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.

（2013·新课标Ⅱ，16）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为____.

【答案】-49  解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝＝10a1＋45d＝0①，S15＝＝15a1＋105d＝25②，联立①②，得a1＝-3，，所以Sn. 令f(n)＝nSn，则，. 令f ′(n)＝0，得n＝0或. 当时，f ′(n)＞0,时，f ′(n)＜0，所以当时，f (n)取最小值，而n∈N＋，则f (6)＝-48，f (7)＝-49，所以当n＝7时，f (n)取最小值-49.

（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，16）数列{}满足，则{}的前60项和为______．

【答案】  解析：因为，所以，，，，，，……，，，．

由，可得；

由，可得；……

由，可得；

从而．

又，，，…，，，

所以

．

从而．

因此

    ．

方法2：由得，

由②①得，③ 

由①得， .

由③得， ，

所以.

三、解答题

（2018·新课标Ⅱ，17）记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．

解：（1）设的公差为d，由题意得，由得d=2，

所以，所以的通项公式为.

（2）由（1）得.

所以当n=4时,取得最小值,最小值为−16.

（2018·新课标Ⅲ，理17）等比数列中，．

⑴求的通项公式；⑵记为的前项和．若，求．

解析：（1）设数列的公比为，∴，∴.

∴或.

（2）由（1）知，或，

∴或（舍），

∴.

（2016·新课标Ⅱ，17）（满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28. 记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.

（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1 000项和.

解析：⑴设数列的公差为，，∴，∴，

∴．∴，，

．

⑵记的前项和为，则．

当时，；当时，；    

当时，；当时，．

∴．

（2016·新课标Ⅲ，17）(本小题满分12分)

已知数列的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．

(1) 证明是等比数列，并求其通项公式；

(2) 若，求λ．

解析：(1)， 

当时，，即，

即，即，∴是等比数列，公比，

当n=1时，，即，.

（2）若，    则，    

（2015·新课标Ⅰ，17）为数列的前项和.已知＞0，.

（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.

解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，

当时，==，即，因为，所以，

所以数列{}是首项为，公差为的等差数列，且=.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，则数列{}前项和为= =.

（2014·新课标Ⅰ，17）已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.

(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.

解析：(Ⅰ)由题设，，两式相减

，由于，所以   …………6分

（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知

假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；

证明时，{}为等差数列：由知

数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列

令则，∴

数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列

令则，∴

∴（），

因此，存在存在，使得{}为等差数列.      ………12分

（2014·新课标Ⅱ，17）已知数列{an}满足a1 =1，an+1 =3 an +1.

（Ⅰ）证明是等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：.

（2014·17）．解析：（Ⅰ）证明：∵，∴，即：，又，∴是以为首项，3为公比的等比数列．∴，即.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，∴，

∴

故： 

（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，17）等比数列的各项均为正数，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和.

解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以. 由条件可知a>0，故. 由得，所以. 故数列{an}的通项式为.

（Ⅱ ），

故，，

所以数列的前n项和为.