自考《实变函数与泛函分析初步(课程代码:02012)》试卷附答案和评分标...

(课程代码02012) 

专业________班级_______姓名     学号

注 意 事 项

1、本试卷共6页。

        2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

1．设是两集合，则 =（     ）

    (A)     (B)      (C)    (D)  

2. 下列说法不正确的是(     )

   (A) 的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点      

(B) 的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点    

(C) 存在中点列，使，则是的聚点   

(D) 内点必是聚点

3. 下列断言(    )是正确的。

（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； 

(C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；

4. 下列断言中(    )是错误的。

（A）零测集是可测集；         （B）可数个零测集的并是零测集；

（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 

5. 若，则下列断言（     ）是正确的

(A) 在可积在可积； 

(B) 

(C) ;

(D) 

2、设为Cantor集，则      ，_____，=________。

3、设是一列可测集，则

4、鲁津定理：______________________________________________________

_______________________________________________________________

5、设为上的有限函数，如果_________________________________

_____________________________________________________________________________________________则称为上的绝对连续函数。

1、由于，故不存在使之间对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

3、收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

1、设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。

2、求极限 .

1.(6分) 1、设f(x)是上的实值连续函数，则对任意常数 c， 是一开集.

2.(6分) 设使，则E是可测集。 

3. （6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。

4.（8分）设函数列 在有界集上“基本上”一致收敛于，证明：收敛于。

参及评分标准

一、1，C  2,  C   3, B  4, C  5, A

二、1，  2，c ；0 ；   3，    

4，设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使得在上是连续函数，且。

5，对任意，使对中互不相交的任意有限个开区间只要，就有

三、1．错误……………………………………………………2分

记中有理数全体

显然。……………………………5分

2．正确……………………………………………………………2分

设为零测度集， ，所以，

因此，是零测度集。………………………………………5分

3．错误……………………………………………………………2分

例如：取作函数列：

显然当。但当时，

且这说明不测度收敛到1.………………5分

4．错误…………………………………………………………2分

例如：显然是的连续函数。

如果对取分划，则容易证明

，从而得到…………………5分

四、1．在上不是可积的，因为仅在处连续，

即不连续点为正测度集………………………………………3分

因为是有界可测函数，所以在上是可积的…………………………………. …………………………….6分

因为与相等, 进一步，……8分

2设，则易知当时，…………………………………………………………2分

又………………………………………………4分

但是不等式右边的函数，在上是可积的……………6分

故有…………………………8分

五、1．………………………………………..1分

在点连续，对当时，

有…………………………………………3分

 ，……5分

因此，从而为开集………………………………..6分

2．对任何正整数，由条件存在开集使……………………………………………………1分

令，则是可测集…………………………………3分

又因对一切正整数成立，因而，即是一零测度集，所以也可测.…………………………………………………………………5分

由知，可测。…………………………………6分

3、易知是上的增函数………………………2分

令, 则对于有

所以是上的增函数……………………………………4分

因此，其中与均为上的有限增函数…………. ……………………………………………………….6分

4、因为在上“基本上”一致收敛于，所以对于任意的，存在可测集，在上一致收敛于，且…………………………………………………3分

令，则在上处处收敛到……………5分

，k=1,2

所以………………………………………………8分

5、证明：设由于在上有限，故………………………………………………..2分

由积分的绝对连续性，对任何，使………………………………………4分

令，在上利用鲁津定理，存在闭集和在上的连续函数使（1）（2）时，，且……………………6分

所以 

……………………...8分