专题12 应用气体实验定律解决“三类模型问题”

1.三大气体实验定律

(1)玻意耳定律(等温变化)：p1V1＝p2V2或pV＝C(常数).

(2)查理定律(等容变化)：p1

T1＝p2

T2或p

T＝C(常数).

(3)盖—吕萨克定律(等压变化)：V1

T1＝V2

T2或

V

T＝C(常数).

2.利用气体实验定律及气态方程解决问题的基本思路

3.玻璃管液封模型

求液柱封闭的气体压强时，一般以液柱为研究对象分析受力、列平衡方程，要注意：

(1)液体因重力产生的压强大小为p＝ρgh(其中h为至液面的竖直高度)；

(2)不要漏掉大气压强，同时又要尽可能平衡掉某些大气的压力；

(3)有时可直接应用连通器原理——连通器内静止的液体，同种液体在同一水平面上各处压强相等；

(4)当液体为水银时，可灵活应用压强单位“cmHg”等，使计算过程简捷.

考点二“汽缸活塞类”模型

汽缸活塞类问题是热学部分典型的物理综合题，它需要考虑气体、汽缸或活塞等多个研究对象，涉及热学、力学等物理知识，需要灵活、综合地应用知识来解决问题.

1.一般思路

(1)确定研究对象，一般地说，研究对象分两类：一类是热学研究对象(一定质量的理想气体)；另一类是力学研究对象(汽缸、活塞或某系统).

(2)分析物理过程，对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程，依据气体实验定律列出方程；对力学研究对象要正确地进行受力分析，依据力学规律列出方程.

(3)挖掘题目的隐含条件，如几何关系等，列出辅助方程.

(4)多个方程联立求解.对求解的结果注意检验它们的合理性.2.常见类型

(1)气体系统处于平衡状态，需综合应用气体实验定律和物体的平衡条件解题.

(2)气体系统处于力学非平衡状态，需要综合应用气体实验定律和牛顿运动定律解题.

(3)两个或多个汽缸封闭着几部分气体，并且汽缸之间相互关联的问题，解答时应分别研究各部分气体，找出它们各自遵循的规律，并写出相应的方程，还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式，最后联立求解.

说明当选择力学研究对象进行分析时，研究对象的选取并不唯一，可以灵活地选整体或部分为研究对象进行受力分析，列出平衡方程或动力学方程.

考点三：“变质量气体”模型

分析变质量气体问题时，要通过巧妙地选择研究对象，使变质量气体问题转化为定质量气体问题，用气体实验定律求解.

(1)打气问题：选择原有气体和即将充入的气体作为研究对象，就可把充气过程中气体质量变化问题转化为定质量气体的状态变化问题.

(2)抽气问题：将每次抽气过程中抽出的气体和剩余气体作为研究对象，质量不变，故抽气过程可以看成是等温膨胀过程.

(3)灌气问题：把大容器中的剩余气体和多个小容器中的气体整体作为研究对象，可将变质量问题转化为定质量问题.

(4)漏气问题：选容器内剩余气体和漏出气体整体作为研究对象，便可使问题变成一定质量气体的状态变化，可用理想气体的状态方程求解.

★考点一：“玻璃管液封”模型

◆典例一：(单独气体问题)（2019广东深圳二模）某同学设计了测量液体密度的装置。如图，左侧容器开口；右管竖直，上端封闭，导热良好，管长Lo=1m，粗细均匀，底部有细管与左侧连通，初始时未装液体。现向左侧容器缓慢注入某种液体，当左侧液面高度为h1=0.7m时，右管内液柱高度h2=0.2m。己知右管横截面积远小于左侧横截面积，大气压强p0=l.0×105Pa，取g=10m/s2。

(i)求此时右管内气体压强及该液体的密度；

(ii)若此时右管内气体温度T=260K ，再将右管内气体温度缓慢升高到多少K 时，刚好将右管中液体全部挤出？（不计温度变化对液体密度的影响）

【答案】T’=351K

【解析】（i ）对右侧管气体，由玻意耳定律，

p 0V 0=p 1V 1

其中：V 0=L 0S ，V 1=（L 0-h 2）S ，

解得：p 1=l.25×105Pa ，

又，p 1=p 0+ρg （h 1-h 2）

解得：ρ=5×103kg/m 3

（ii ）对右侧管气体，由理想气体状态方程，

11p V T =20'

p V T 其中：p 2=p 0+ρgh 1

解得：T ’=351K

◆典例二：关联气体问题(2016·全国卷Ⅲ·33(2))一U 形玻璃管竖直放置，左端开口，右端封闭，左端上部有一光滑的轻活塞.初始时，管内汞柱及空气柱长度如图3所示.用力向下缓慢推活塞，直至管内两边汞柱高度相等时为止.求此时右侧管内气体的压强和活塞向下移动的距离.已知玻璃管的横截面积处处相同；在活塞向下移动的过程中，没有发生气体泄漏；大气压强p 0＝75.0cmHg.环境温度不变.(保留三位有效数字)

图3

【答案】144cmHg ；9.42cm

【解析】设初始时，右管中空气柱的压强为p 1，长度为l 1；左管中空气柱的压强为p 2＝p 0，长度为l 2.活塞被下推h 后，右管中空气柱的压强为p 1′，长度为l 1′；左管中空气柱的压强为p 2′，长度为l 2′.以cmHg 为压强单位.由题给条件得学科#网

p 1＝p 0＋(20.0－5.00)cmHg ＝90cmHg

l 1＝20.0cm ①

l 1′＝(20.0－20.0－5.002

)cm ＝12.5cm ②由玻意耳定律得p 1l 1S ＝p 1′l 1′S

③联立①②③式和题给条件得

p 1′＝144cmHg ④依题意p 2′＝p 1′⑤l 2′＝4.00cm ＋20.0－5.002

cm －h ＝11.5cm －h ⑥由玻意耳定律得p 2l 2S ＝p 2′l 2′S

⑦联立④⑤⑥⑦式和题给条件得

h ≈9.42cm.

★考点二：“汽缸活塞类”模型

◆典例一：．(2018·高考全国卷Ⅰ)（10分）如图，容积为V 的汽缸由导热材料制成，面积为S 的活塞将汽缸分成容积相等的上下两部分，汽缸上部通过细管与装有某种液体的容器相连，细管上有一阀门K 。开始时，K 关闭，汽缸内上下两部分气体的压强均为p 0，现将K 打开，容器内的液体缓慢地流入汽缸，当流入的液体体积为8V 时，将K 关闭，活塞平衡时其下方气体的体积减小了6V ，不计活塞的质量和体积，外界温度保持不变，重力加速度大小为g 。求流入汽缸内液体的质量。

【答案】01526p S

m g

=【解析】设活塞再次平衡后，活塞上方气体的体积为V 1，压强为p 1；下方气体的体积为V 2，压强为p 2，在活塞下移的过程中，活塞上下方气体的温度均保持不变。由玻意耳定律得

112V p p V =①0

222

V p p V =②由已知条件得11326824

V V V V V =+-=③2=263V V V V =

-④设活塞上方液体的质量为m ，由力的平衡条件得

21p S p S mg =+⑤联立以上各式得

01526p S m g

=⑥◆典例二：关联气体问题(2017·全国卷Ⅰ·33(2))如图7，容积均为V 的汽缸A 、B 下端有细管(容积可忽略)连通，阀门K 2位于细管的中部，A 、B 的顶部各有一阀门K 1、K 3；B 中有一可自由滑动的活塞(质量、体积均可忽略).初始时，三个阀门均打开，活塞在B 的底部；关闭K 2、K 3，通过K 1给汽缸充气，使A 中气体的压强达到大气压p 0的3倍后关闭K 1.已知室温为27℃，汽缸导热.

图7

(2)接着打开K3，求稳定时活塞的位置；

(3)再缓慢加热汽缸内气体使其温度升高20℃，求此时活塞下方气体的压强.

【答案】(1)V

2

2p0(2)B的顶部(3)1.6p0

【解析】(1)设打开K2后，稳定时活塞上方气体的压强为p1，体积为V1.依题意，被活塞分开的两部分气体都经历等温过程.由玻意耳定律得

p0V＝p1V1①

(3p0)V＝p1(2V－V1)②

联立①②式得

V1＝V

2③

p1＝2p0④

(2)打开K3后，由④式知，活塞必定上升.设在活塞下方气体与A中气体的体积之和为V2(V2≤2V)时，活塞下气体压强为p2，由玻意耳定律得

(3p0)V＝p2V2⑤

由⑤式得

p2＝3V

V2

p0⑥

由⑥式知，打开K3后活塞上升直到B的顶部为止；

此时p2为p2′＝3 2 p0

(3)设加热后活塞下方气体的压强为p3，气体温度从T1＝300K升高到T2＝320K的等容过程中，由查理定

律得p2′

T1＝

p3

T2⑦

将有关数据代入⑦式得

p3＝1.6p0

★考点三：“变质量气体”模型

◆典例一：一氧气瓶的容积为，开始时瓶中氧气的压强为20个大气压。某实验室每天消耗1个大气压的氧气当氧气瓶中的压强降低到2个大气压时，需重新充气。若氧气的温度保持不变，求这瓶氧气重新充气前可供该实验室使用多少天。

【答案】

【解析】方法一：设氧气开始时的压强为，体积为，压强变为个大气压时，体积为．

根据玻意耳定律得

重新充气前，用去的氧气在压强下的体积为

设用去的氧气在个大气压压强下的体积为，则有

设实验室每天用去的氧气在下的体积为，则氧气可用的天数为

联立式，并代入数据得天

方法二：根据玻意耳定律，有

解得：

答：这瓶氧气重新充气前可供该实验室使用4天．

◆典例二某自行车轮胎的容积为V，里面已有压强为p0的空气，现在要使轮胎内的气压增大到p，设充气过程为等温过程，空气可看做理想气体，轮胎容积保持不变，则还要向轮胎充入温度相同、压强也是p0、体积为________的空气.

A.p0 p V

B.p

p0

V

C.(p

p0－1)V D.(p

p0＋1)V

【答案】C

【解析】设充入的气体体积为V0，根据玻意耳定律可得p0(V＋V0)＝pV，解得V0＝(p

p0－1)V，C项正确.

1.(2019·山西太原市模拟)(10分)如图所示，马桶吸由皮吸和汽缸两部分组成，下方半球形皮吸空间的容积为1000cm3，上方汽缸的长度为40cm，横截面积为50cm2。小明在试用时，用手柄将皮吸压在水平地面上，皮吸中气体的压强等于大气压。皮吸与地面及活塞与汽缸间密封完好不漏气，不考虑皮吸与汽缸的形状变化，环境温度保持不变，汽缸内薄活塞、连杆及手柄的质量忽略不计，已知大气压强p0＝1.0×105Pa，g＝10m/s2。

①若初始状态下活塞位于汽缸顶部，当活塞缓慢下压到汽缸皮吸底部时，求皮吸中气体的压强；

②若初始状态下活塞位于汽缸底部，小明用竖直向上的力将活塞缓慢向上提起20cm高度保持静止，求此时小明作用力的大小。

【答案】(2)①3×105Pa②250N

【解析】(2)①以汽缸和皮吸内的气体为研究对象，开始时封闭气体的压强为p0，

体积V1＝1000cm3＋40×50cm3＝3000cm3

当活塞下压到汽缸底部时，设封闭气体的压强为p，体积为V2＝1000cm3，

由玻意耳定律p0V1＝p2V2

解得：p2＝3p0＝3×105Pa。

②以皮吸内的气体为研究对象，开始时封闭气体的压强为p0，体积为V2＝1000cm3，活塞缓慢向上提起20cm 高度保持静止时，设小明作用力的大小为F，封闭气体的压强为p3，体积为V3＝1000cm3＋20×50cm3＝2000 cm3

由玻意耳定律有p0V2＝p3V3

F＋p3S＝p0S

解得：F＝250N。

2.（2020四川泸州市泸县一中月考）一圆柱形气缸，质量M为10kg，总长度L为40cm，内有一活塞，质量m为5kg，截面积S为50cm2，活塞与气缸壁间摩擦可忽略，但不漏气（不计气缸壁与活塞厚度），当外界大气压强p0为1×105Pa，温度t0为7℃时，如果用绳子系住活塞将气缸悬挂起来，如图所示，气缸内气体柱的高L1为35cm，g取10m/s2．求：

①此时气缸内气体的压强；

②当温度升高到多少摄氏度时，活塞与气缸将分离？【答案】（1）此时气缸内气体的压强是0.8×105Pa ；（2）当温度升高到47℃，活塞与气缸将分离。

【解析】（1）以气缸为研究对象，受力分析，受到重力、外界大气压力，气缸内气体的压力。根据平衡条件得：

p 0S =pS +Mg p =p 0-

s

Mg =1×105

Pa-Pa=0.8×105

Pa，

（2）温度升高，气缸内气体的压强不变，体积增大，根据气体等压变化方程得：

当活塞与气缸将分离时，气柱的总长度为40cm，代入数据得：解得：T 2=320K =47℃

3.如图所示，一圆筒形汽缸静止于地面上，汽缸的质量为M ，活塞(连同手柄)的质量为m ，汽缸内部的横截面积为S ，大气压强为p 0，平衡时汽缸内的容积为V .现用手握住活塞手柄缓慢向上提．设汽缸足够长，不计汽缸内气体的重力和活塞与汽缸壁间的摩擦，求汽缸在开始以及刚提离地面时封闭气体的压强分别为多少？

【答案】：p 2＝p 0－

Mg

S

.【解析】：开始时由于活塞处于静止状态，对活塞进行受力分析，如图甲所示．由平衡条件可得p 0S ＋mg ＝

p 1S ，则p 1＝p 0＋mg S

；

当汽缸刚被提离地面时汽缸处于静止状态，汽缸与地面间无作用力，对汽缸进行受力分析，如图乙所示．由

平衡条件可得p 2S ＋Mg ＝p 0S

则p 2＝p 0－Mg

S

.

4.(2018·全国Ⅱ卷)如图，一竖直放置的汽缸上端开口，汽缸壁内有卡口a 和b ，a 、b 间距为h ，a 距缸底的高度为H ；活塞只能在a 、b 间移动，其下方密封有一定质量的理想气体，已知活塞质量为m ，面积为S ，厚度可忽略；活塞和汽缸壁均绝热，不计它们之间的摩擦，开始时活塞处于静止状态，上、下方气体压强均为p 0，温度均为T 0.现用电热丝缓慢加热汽缸中的气体，直至活塞刚好到达b 处，求此时汽缸内气体的温度以及在此过程中气体对外所做的功．重力加速度大小为g .

【答案】：

1＋h H 1＋

mg p 0S T 0(p 0S＋mg)h 【解析】：开始时活塞位于a 处，加热后，汽缸中的气体先经历等容过程，直至活塞开始运动．设此时汽缸

中气体的温度为T 1，压强为p 1，根据查理定律有p 0T 0＝p 1

T 1

，①

根据力的平衡条件有p 1S ＝p 0S ＋mg ，②联立①②式可得T 1＝

1＋

mg

p 0S T 0，③

此后，汽缸中的气体经历等压过程，直至活塞刚好到达b 处，设此时汽缸中气体的温度为T 2；活塞位于a

处和b 处时气体的体积分别为V 1和V 2，根据盖—吕萨克定律有V 1T 1＝V 2

T 2

，④

式中V 1＝SH ，⑤

V 2＝S (H ＋h )，⑥

联立③④⑤⑥式解得T 2＝

1＋

h H 1＋mg p 0S T 0.⑦

从开始加热到活塞到达b 处的过程中，汽缸中的气体对外做的功为

W ＝(p 0S ＋mg )h .

5.如图所示，一根粗细均匀的长l ＝72cm 的细玻璃管AB 开口朝上竖直放置，玻璃管中有一段长h ＝24cm 的水银柱，下端封闭了一段长x 0＝24cm 的空气柱，系统温度恒定，外界大气压强恒为p 0＝76cmHg.现将玻璃管缓慢倒置，若空气可以看做理想气体，求倒置后水银柱相对B 端移动的距离．

【答案】22cm

【解析】设水银密度为ρ，玻璃管横截面积为S ，重力加速度为g .如图所示，倒置前，下部空气压强为p B ＝p 0＋ρgh ＝100cmHg.

倒置后，若水银没有流出玻璃管，封闭空气柱的压强为

p ′＝p 0－ρgh .

由玻意耳定律得p B Sx 0＝p ′Sx 2，解得x 2＝46cm.

则x 2＋h ＜l ，故假设成立．

所以水银柱相对B 端移动46cm－24cm＝22cm.

6.(2018·全国Ⅰ卷)如图，容积为V 的汽缸由导热材料制成，面积为S 的活塞将汽缸分成容积相等的上下两部分，汽缸上部通过细管与装有某种液体的容器相连，细管上有一阀门K，开始时，K 关闭，汽缸内上下

两部分气体的压强均为p 0.现将K 打开，容器内的液体缓慢地流入汽缸，当流入的液体体积为V

8时，将K 关

闭，活塞平衡时其下方气体的体积减小了V

6

，不计活塞的质量和体积，外界温度保持不变，重力加速度大小

为g .求流入汽缸内液体的质量．

【答案】m ＝

15p 0S

26g

.【解析】设活塞再次平衡后，活塞上方气体的体积为V 1，压强为p 1；下方气体的体积为V 2，压强为p 2，在

活塞下移的过程中，活塞上下方气体的温度保持不变．由玻耳定律得p 0V

2＝p 1V 1

p 0V

2

＝p 2V 2由已知条件得V 1＝V 2＋V 6－V 8＝13

24V

V 2＝V 2－V 6＝

V 3

设活塞上方液体的质量为m ，由平衡条件得p 2S ＝p 1S ＋mg 联立以上各式得m ＝15p 0S

26g

.

7.如图所示,内壁光滑的圆柱形导热汽缸固定在水平面上,汽缸内部被活塞封有一定质量的理想气体,活塞横截面积为S,质量和厚度都不计,活塞通过弹簧与汽缸底部连接在一起,弹簧处于原长。已知周围环境温度为T 0,大气压强为p 0,弹簧的劲度系数k=

0l s

p (S 为活塞横截面积),原长为l 0,一段时间后,环境温度降低,在活塞上施加一水平向右的压力F,使活塞缓慢向右移动,当压力增大到一定值时保持恒定,此时活塞向右移动了0.2l 0,缸内气体压强为1.1p 0。

(ⅰ)求此时缸内的气体的温度T 1;

(ⅱ)对汽缸加热,使气体温度缓慢升高,当活塞移动到距离汽缸底部1.2l 0时,求此时缸内的气体温度T 2。【答案】T 1=0.88T 0T 2=1.8T 0

【解析】：(ⅰ)汽缸内的气体,初态时,压强为p 0,体积为V 0=Sl 0,温度为T 0

末态时,压强为p 1=1.1p 0,体积为V 1=S(l 0-0.2l 0)

根据理想气体状态方程可得=

解得T 1=0.88T 0

(ⅱ)当活塞移动到距汽缸底部1.2l 0时

体积为V 2=1.2l 0S,设气体压强为p 2,

由理想气体状态方程可得:=此时活塞受力平衡

p 0S+F-p 2S+k(1.2l 0-l 0)=0

当活塞向右移动了0.2l 0后压力F 保持恒定,活塞受力平衡

p 0S+F-1.1p 0S-0.2l 0k=0

解得T 2=1.8T 0

8.如图所示,体积为V、内壁光滑的圆柱形导热汽缸顶部有一质量和厚度均可忽略的活塞;汽缸内密封有温度为2.4T 0、压强1.2p 0的理想气体,p 0与T 0分别为大气的压强和温度。已知:理想气体内能U 与温度T 的关系

为U=αT,α为正的常量;容器内气体的所有变化过程都是缓慢的。求:

①汽缸内气体与大气达到平衡时的体积V 1;

②在活塞下降过程中,汽缸内气体放出的热量Q。

【答案】：V 1=V Q=p 0V+αT 0

【解析】：①在气体由压强p=1.2p 0下降到p 0的过程中,气体体积不变,温度由T=2.4T 0变为T 1

由查理定律得:=,解得T 1=2T 0

在气体温度由T 1变为T 0过程中,体积由V 减小到V 1,气体压强不变

由盖—吕萨克定律得=

解得V 1=V

②在活塞下降过程中,活塞对气体做的功为W=p 0(V-V 1)

在这一过程中,气体内能的减少为ΔU=α(T 1-T 0)

由热力学第一定律得,汽缸内气体放出的热量为Q=W+ΔU

解得Q=p 0V+αT 0

9.如图中两个汽缸质量均为M ，内部横截面积均为S ，两个活塞的质量均为m ，左边的汽缸静止在水平面上，右边的活塞和汽缸竖直悬挂在天花板下。两个汽缸内分别封闭有一定质量的空气A 、B ，大气压为p 0，求封闭气体A 、B 的压强各多大？

【答案】：p 0＋mg S p 0－Mg S

【解析】：题图甲中选m 为研究对象。

p A S ＝p 0S ＋mg 得p A ＝p 0＋mg S

题图乙中选M 为研究对象得p B ＝p 0－Mg S

。10.如图6所示，两端开口的汽缸水平固定，A 、B 是两个厚度不计的活塞，可在汽缸内无摩擦滑动，面积分别为S 1＝20cm 2，S 2＝10cm 2，它们之间用一根水平细杆连接，B 通过水平细绳绕过光滑的轻质定滑轮与质量为M ＝2kg 的重物C 连接，静止时汽缸中的气体温度T 1＝600K ，汽缸两部分的气柱长均为L ，已知大气压强p 0＝1×105Pa ，取g ＝10m/s 2，缸内气体可看做理想气体.

图6

(1)活塞静止时，求汽缸内气体的压强；

2时，求汽缸内气体的温度.

【答案】

(1)1.2×105Pa(2)500K

【解析】(1)设静止时汽缸内气体压强为p1，活塞受力平衡p1S1＋p0S2＝p0S1＋p1S2＋Mg

代入数据解得p1＝1.2×105Pa

(2)由活塞受力平衡可知缸内气体压强没有变化，设开始温度为T1，变化后温度为T2，由盖—吕萨克定律得

S1L＋S2L

T1＝S1·L

2＋S2

·3L

2

T2

代入数据解得T2＝500K.

11.某自行车轮胎的容积为V，里面已有压强为p0的空气，现在要使轮胎内的气压增大到p，设充气过程为等温过程，空气可看做理想气体，轮胎容积保持不变，则还要向轮胎充入温度相同、压强也是p0、体积为________的空气.

A.p0 p V

B.p

p0

V

C.(p

p0－1)V D.(p

p0＋1)V

【答案】C

【解析】设充入的气体体积为V0，根据玻意耳定律可得p0(V＋V0)＝pV，解得V0＝(p

p0－1)V，C项正确.